Методические рекомендации по изучению тем: 1. Квадратные уравнения. 2. Квадратичная функция. 3. Квадратные неравенства методом УДЕ

Введение

“Противопоставление облегчает и ускоряет наше здоровое мышление” Академик И.Павлов

“В каждый момент – в нашем мозгу происходит развертывание впечатлений, сопоставление наблюдений с уже известными образами. Отличительная особенность этого состоит в широком, использовании аналогий и прототипов” Академик И. Пригожин

Все согласны с тем, что нет “царского пути в математику”. Много труда в терпения, настойчивости и внимания требуется от учителя и школьника, чтобы последний смог освоить программный минимум знание по этому предмету.

Мы привыкли сейчас к открытиям, одно поразительнее другого:

• изобретены лазеры и голография;
• расшифрован код наследственности;
• синтезирован ген;
• научались выращивать копии животных...

Недалеко, видимо, то время, когда и в психологии в педагогике будут найдены такие средства обучения, эффективность которых трудно сейчас представить.

Н.Е. Жуковский имел основания считать, что методы обучения математике можно сделать столь совершенными, что ее будет понимать “всякий желающий из публики”.

Добиться того, чтобы человек за меньшее, чем прежде, время овладел большим объемом основательных и действенных знаний, – такова одна из главных забот современной педагогики.

Нередко структура учебника математики определяет лишь формально – логическими связями самой науки математики, вне учета закономерностей усвоения математических знаний.

Между тем средства формальной логики ограничены, они упорядочивают отвлеченные результаты мышления, но никак не сам процесс мышления, к этим результатам приводящий.

Формально – логические соображения не только не являются единственными, но и не являются главными при решении вопросов методики: дело в том, что категории формальной логики не учитывают фактора времени, учет которого являются важнейшем элементом для совершенствования процесса обучения.

Как при изобретении новых механизмов, так и при конструировании новых методов обучения исходным толчком к удачным находкам и обобщениям могут стать соображения, связанные с любой из указанных наук. Это человек для удобства создал разные науки, а “природа не знает деления на науки”.

Укрупненная дидактическая единица – это клеточка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью. Укрупненная дидактическая единица обладает качествами системности и целостностями, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти.

Понятие укрупнения единицы усвоения достаточно общо, оно вбирает следующие взаимосвязанные конкретные подходы к обучению:

1. совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций теорем и т.п. (в частности, взаимно обратных);
2. обеспечение единства процессов составления и решения задач (уравнений, неравенств т.п.);
3. рассмотрение во взаимопереходах определенных и неопределенных заданий (в частности, деформированных упражнений);
4. обращение структуры упражнения, что создает условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий;
5. выявление сложной природы математического знания, достижение системности знаний;
6. реализация принципа дополнительности в системе упражнений (понимание достигается в результате межкодовых переходов между образным и логическим в мышлении, между его сознательным и подсознательным компонентами).

Общность выводов теоретического анализа позволяет предвидеть и выгоды переноса указанной методической системы с младших классов на старшие, с математики на друга учебные предметы, от школьной практики в вузовскую дидактику.

Фактором, обеспечивающим высокое качество укрупненного знания, может выступить:

• общий графический образ;
• общность символов для группы формул;
• наличие одних и тех же слов или словосочетаний в сравниваемых высказываниях, в цепи доказательств и в ткани развивающихся системных знаний, предыдущие и последующие во времени звенья должны иметь, как правило, больше общих носителей информации, начиная, с возможно более низкого, кода.

Цели: формирование умения решать квадратные уравнения и неравенства, строить графики квадратичных функций, развитие самостоятельного и творческого мышления, воспитание самостоятельной и творческой личности, потребности к учению.

Задачи:

• изучить одновременно взаимообратные действия и операции;
• обеспечить единство процессов составления и решения уравнений, неравенств;
• сформировать общеучебные, интеллектуальные практические умения.

Тематическое планирование курса алгебры 8-го класса
(3 ч. в неделю, всего 102 часа)

Сейчас существует множество учебников я методических рекомендаций по изучению “Алгебры 7-11 кл.”. Учителю в данной сфере важно выбрать для своих учеников наиболее оптимальный и адаптированный вариант для контингента учащихся данного класса. А самое главное, расположить изучаемый материал в логической последовательности, чтобы повысить эффективность и качество усвоения изучаемого материала. Так например, можно укрупнить и преподать в логической цепи такие темы “Линейная функция. Решение линейных уравнений и неравенств. Решение систем линейных уравнений и неравенств”. Мне бы хотелось остановиться на изложении следующих тем “Квадратные уравнения Квадратичная функция. Квадратные неравенства”.

Примерное тематическое планирование курса алгебры 8 класса
(3 часа в неделю, всего 102 часа)

Планирование тем в такой последовательности предусматривает работу учащихся 8 классов по учебнику О.П. Эрдниева, П.М. Эрдниева “Математика” 8 класс.

Изучение темы “Квадратные уравнения” начинается с III четверти, на которую я отвожу – 20ч.

Важно, что на обобщающем уроке учащиеся вместе с учителем систематизируют и упорядочивают всю информацию по решению квадратных уравнений, заполнив следующую таблицу:

Виды квадратных уравнений

ах2+bx+c=0
Если b=0 или c=0, то уравнение имеет вид ax2+c=0; ax2+bx=0 и называется неполным	Если a=1, то уравнение имеет вид x2+px+q=0 и называется приведенным	Если b, c, a ? 0, то уравнение имеет вид ax2+bx+c=0 и называется полным
Формулы корней квадратных уравнений
1. ax2+bx=0 x(ax+b)=0 x1=0, или x2=-b/a (2-а корня) 2. ax2+c=0 ax2=-c x2=-c/a x1,2= ± если –c/a >0 (2 корня) если –c/a <0 (нет корней) 3. Если c<0 и a>0 ax2-c=0 x2-c/a=0 (x-)(x+)=0 x1=- или x2=	x2+px+q=0 x2+2? p/2+q=0 x1,2=-p/2± если p2/4-q>0, то 2 корня если p2/4-q=0, то 1 корень если p2/4-q<0, то нет корней	ax2+bx+c=0 x1,2= b2-4ac=D – называется дискриминант если D>0, то 2 корня если D=0, то 1 корень если D<0, то нет корней
	Теорема Виета
	x2+px+q=0 x1+x2=-p x1? x2=q	ax2+bx+c=0 a a x1+x2=-b/a x1? x2=c/b
	Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятом с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

На изучение темы “Квадратичная функция” отвожу 17 часов и распределяю материал следующим образом:

График квадратичной функции у = ах2 Построение графика функции у = ах2 + bх + с переносом графика функции у = ах2. Применение метода неопределенных коэффициентов Построение графика квадратного трехчлена выделением полного квадрата Координаты вершины параболы Исследование квадратного трехчлена Обобщающей урок Контрольная работа

2 часа 4 часа 4 часа 2 часа 3 часа 1 час 1 час

Можно изучение квадратичной функции вида у = ах² провести в форме лабораторной работы. Урок можно построить следующим образом.

Урок №1-2
Тема: Функция у = ах²

Цель: Построение функции у = ах², свойства данной функции; построение графиков функции вида у = ах², изучение влияния значения коэффициента а на форму и расположение параболы.

Ход урока

1. Построение графика функции у = ах², изучения ее свойства

Рассмотрим функцию у = ах², то есть квадратичную функцию у = ах²+bх+с при a= 1, b =с = 0. Для построения графика этой функции составим таблицу ее значений:

Построив указанные в таблице точки и соединив их плавной кривой, получим график функции у = ах².

Кривая, являющаяся графиком функции у = ах², называется параболой.

Рассмотрим свойства функции у = ах².

1. значениями аргумента (абсциссами) могут быть любые числа. Говорят, областью изменения аргумента является множество действительных чисел;
2. график функции у = ах² симметричен относительно оси ординат, то есть, ось ординат является осью симметрии параболы;
3. парабола у = ах³ проходит через начало координат, то есть, парабола у = ах³ касается оси абсцисс в точке (0;0), которая является вершиной параболы;
4. функция у = аx² является возрастающей на промежутке х>0.
5. функция у = ах² является убывающей на промежутке х<0;
6. значениями функции (ординатами) могут быть только положительные числа и нуль, т.е., парабола расположена выше оси абсцисс в I и II координатных четвертях.

2. Лабораторная работа

Тема: Функция у = ах²

Цель: изучение влияния значения коэффициента а на форму и расположение параболы.

Оборудование:

• Матрица “Расположение и форма параболы у = ах² в зависимости от значения коэффициента а”.
• Таблицы функции у = х²_, у = 2х², у = 0,5х².
• Маркеры трех цветов (красный, зеленый, синий).

Ход работы:

I часть

1. Построить таблицу значений функций у = ах², а>0.

2. Построим на одном чертеже графики трех данных функция е₁ – у=0,5х² – синим цветом; е₂- у=х² – красным цветом; и е₃ – у=2x² – зеленым цветом.

3.. Учащееся сравнивают положение графиков функции вида у = ах² (а>0) и отмечают чем похожи все три параболы:

а) они имеют одинаковую форму;
б) ветви парабол неограниченно стремятся ветвями вверх;
в) ветви всех парабол симметричны относительно оси ординат 0_у;
г) все эти параболы имеют самую низкую общую точку (0; 0), т.е. функция имеет минимум.

4. Чем отличаются положения графиков функций вида функции у = ах² (а>0):
функция вида у=ах² (а>О) возрастает тем круче (а соответствующая парабола тем быстрее поднимается вверх), чем больше коэффициент при х²

II часть

5. Сравнить графики двух функций вида у = ах² (например, у = 0,5 х² и у = – 0,5 х²), у которых коэффициентами а являются противоположные числа 0,5 и – 0,5.

6. Построить таблицу значений функций у = 0,5х² и у = -0,5х²

7. Достроим в той же таблице недостающий график функции у = -0,5х² (см. таблицу)

8. Сравнить положения графиков функции у = 0,5х² и y=-0,5x²

а) точка О (0; 0) есть самая низшая точка параболы у = 0,5 х² и наибольшая параболы у=-0,5х²
б) графики (e₁ и e₁¹) двух функций у = 0,5х² и у = – 0,5х² симметричны друг другу относительно оси абсцисс.

9. Чем отличаются положение графиков функций вида у=0,5x²,у=-0,5х²

Запомним важное правило:

Если в уравнении квадратичной функции у=ах² коэффициент, то парабола неограниченно стремится ветвями

Верно и обратное:

Если парабола стремится ветвями , то коэффициент a в уравнении квадратичной функции y=ax²

 

После прохождения всех способов построения графика функции у =ах²+bх+с переносом графика функции у=ах² можно провести урок по решению взаимно обратных задач: по заданному графику составить уравнение функции и обратные задачи – это по заданному уравнению функции у = ах²+bх+с построить её график. На этом же уроке необходимо завершить работу над матрицей “Взаимное расположение квадратной функции у=ах²+bх+с относительно оси абсцисс”.

Урок №10

Тема: Построение графика функций у=ах²+bх+с переносом графика функций у=ах²

Цель:

• Закрепление навыков учащихся по построению графиков функций вида у=ах²+bх+с, выполнение обратных задач, завершение работы над матрицей.
• Формирование умения выделять существенные признаки и свойства функция вида у=ах²+bх+c и построение её графика
• Воспитание положительного отношения к знаниям.

Ход урока

I. Устная работа

1. Назовите основные свойства функции у=ах²?
2. Как можно записать квадратичную функцию?
3. Что значит, построить график функции у=ax²+bx+c?
4. Что нужно вычислять в первую очередь при построении графика функции у=ax²+bx+c?
5. Сколько вы знаете способов их нахождения?

II. Выполнение заданий на чтение графиков

Задача: По заданному графику составить уравнение функции. (У доски работают трое учащихся, выполняют задания по трём заданным графикам).

(По завершении работы дети проверяют решение и выставляют оценки)

По результатам решенных заданий, делаем вывод и заносим в матрицу:

Взаимное расположение квадратичной функции y=ax²+bx+с относительно оси абсцисс

III Решение обратной задачи

Задачи: Дан квадратный трехчлен y=x²-10x+27. Построить его график.

Работают трое учащихся, решают одновременно тремя различными способами.

Тот учащийся, который решает первым, чертит с помощью шаблона на доске график функции y=x²-10x+27

Оборудование:

1. Матрица “Взаимное расположение квадратной функции y=ax²+bx+с относительно оси абсцисс”.
2. Плакат с расчетной системой координат.
3. Таблицы функций y=x², y=2x², y=0,5x²
4. Маркеры четырех цветов (красный, синий, зеленый, коричневый)

По завершению изучения темы “Квадратичная функция” можно провести контрольную работу по следующему тексту:

1 вариант

Задание №1.
Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат:

y=-8x2-2x+1

y=3x2+13x-10

Задание №2.
По заданному графику составить уравнение функции

Задание №3.
Построить график функции y=2x²-4x+5 (тремя способами найти координаты вершины параболы), выяснить какими свойствами обладает эта функция.

На изучении темы “Квадратные неравенства отвожу Квадратное неравенство и его решение Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции Метод интервалов Обобщающий урок Контрольная работа

13 часов: 3 часа 4 часа 4 часа 1 час 1 час

На обобщающем уроке целесообразно вернуться к матрице “Взаимное расположение функции y=ax²+bx+с относительно оси абсцисс”, которую мы начали заполнять, когда изучали тему “Квадратичная функция”, чтобы дополнить ее информацией о решении квадратных неравенств и уравнений.

Таблица решений квадратных уравнений и неравенств

Данную таблицу заполняют ученики, конечно, с помощью учителя в процессе изучения материала, а в дальнейшем она служит им как опорный конспект при решении заданий по данной теме.

Такая матрица, составленная совместно учителем и учащимися, облегчает обобщение по пройденному материалу и вносит системность в знания.

Заключение

С развитием кибернетики появилось новое научное направление – общая теория систем. В пример можно привести энергосистему страны, всемирную метеослужбу автоматизированные заводы в многое другое. В связи с этим имеет смысл говорить о системе знаний человека. Возникновение системного качества званий зависит от множества факторов: от порядка расположения изучаемых разделов и их оформления в учебнике; от структуры упражнения на уроке в наличия информационных связей между соседними заданиями; от логики объяснений учителя и т.п. П.М. Эрдниев считает, что если освоение знаний осуществляется укрупненными дозами, то создаются лучшие условия благодаря многообразным связям между этими элементами.

Традиционное обучение нередко “разводит” во времени прямые и обратные операции, соответствующие понятия и т.п. (сложение – вычитание, умножение – деление, показательная функция – логарифмическая функция, дифференцирование – интегрирование). Методика УДЕ академика РАО П.М. Эрдниева сводит подобные операции, понятия, отношения в пары, беря каждую как проявление одной в той же дидактической единицы. Такой прием как раз и приносит желаемый эффект повышения информационной емкости знания, поскольку при образовании, например, пары “умножение – деление” происходят непросто суммирование количества информации, которая несет каждая из составляющих пару операций, а именно, приращение информационного содержания. При таком подходе учащиеся больше рассуждают, больше производят самостоятельных мыслительных операций. И это вполне объяснимо дидактически: укрупнение единиц усвоения непременно ведет к возрастанию информационного потока, проходящего в единицу времени через органы восприятия учащегося. Важно отметить, что позитивный эффект имеет место в том случае, когда достигается ускорение подачи учебной информации и другими путями.

Он также считает, что точкой роста укрупненного знания становится связь между генетически родственными понятиями: если решено уравнение, то надо сопоставить его с одноименным неравенством; если решена задача, то имеет смысл исследовать обратную задачу; если выполнено тождественное преобразование в буквах, то необходимо проверять его подстановкой числовых значений; если же закон интерпретирован в числах, то важно трансформировать его в буквенные обобщения.

Методология УДЕ – это создание информационно совершенной последовательности тем школьной математики, обеспечивающей целостность таких разделов, как тождественные преобразования; линейные (и нелинейные) функции, уравнения, неравенства; многоугольники и многогранники (площади и объемы); пространственные координаты (векторы) и т.п.

Сегодня в мире, перенасыщенном информацией, дети больше знают, чем умеют. А я надеюсь, что, занимаясь в школе по методике УДЕ, они научатся и умению.