Цель урока: Систематизация и обобщение знаний учащихся по решению сновных видов иррациональных неравенств; развитие сознательного подхода к решению задач по теме урока.
Оборудование: мультимедийная аппаратура.
Методический комментарий. На данном двухчасовом занятии подводится итоговое закрепление навыков решения наиболее типичных иррациональных неравенств. Особое внимание уделяется основным утверждениям основанных на понятии равносильности.
Ход урока
Учитель. При решении иррациональных неравенств гораздо чаще допускаются ошибки по сравнению с решением уравнений. Это объясняется тем, что при решении уравнений после преобразований посторонние корни можно выявить с помощью проверки.
При решении неравенств этого сделать нельзя, так как в подавляющем большинстве случаев неравенства, в том числе и иррациональные, имеют бесконечно много решений. Конечно, при решении уравнений возможна потеря корней, но это отдельный вопрос. Избежать приобретение посторонних корней, их потерю и не наделать других ошибок, позволяет равносильность преобразований. Особенно это важно при решении неравенств, в частности иррациональных.
Если требуется решить неравенства f(x)<g(x), f(x)>g(x), f(x),
где f(x) и g(x) определены на некотором множестве, то это значит
найти все значения переменной х на рассматриваемом множестве, для которых
выполняется числовое неравенство при подстановке х в исходное
неравенство.
Вообще, неравенства называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают. Заметим, что неравенства, не имеющие решений, являются равносильными.
На сегодняшнем занятии мы обобщим знания по решению наиболее типичных иррациональных неравенств
Решение неравенств.
Для того чтобы учащиеся наиболее осознанно подошли к решению иррациональных
неравенств, следует повторить схему решения уравнений двух простейших типов:
и
.
На экране высвечивается материал:
(1)
(2)
Учащимся предлагается объяснить равносильность перехода от исходных уравнений (1) и (2) к системе и совокупности систем соответственно.
Полезно задать вопросы:
1) В каком случае х0 является решением уравнения
?
Ответ: Если х0 – корень уравнения f(x)=g2(x)
и выполняется условие g(x0)
,
то х0 решение уравнения. Если же f(x0)<0, то
х0 не является решением уравнения.
2) Обязательно ли находить решение неравенства
,
чтобы убедиться, что х0– решение уравнения (1)?
Ответ: Нет, необязательно. Достаточно проверить истинность неравенства
.
3) Почему для решения уравнения (2) неверен переход
и уж тем более
Ответ: Произведение двух множителей равно нулю, если равен нулю хотя бы один из множителей в области определения второго.
Далее учитель предлагает учащимся проанализировать запись на экране:
(3)
(4)
(5)
(6)
Следует напомнить еще раз о распространенной ошибке:
или
Чтобы опровергнуть неверные утверждения, достаточно привести один пример: 3>-5, но 32<(-5)2.
Напомним учащимся, что функция h(x)=t2 монотонно возрастает лишь при неотрицательных значениях t, так что возводить обе части неравенства в квадрат можно лишь в том случае, когда обе части неравенства неотрицательны.
Можно рекомендовать три – четыре неравенства решить учителю у доски при активном участии учащихся в процессе решения с записью решений в тетрадях учащихся.
Задача 1. Решить неравенство
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Далее имеем:
Неравенство х2+33х-34>0 решим, используя схематический график функции
у=х2+33х-34
Рис. 1
–
решение этого неравенства.
Решение первой системы совокупности
найдем, используя рис.1.
Рис. 2
Второе неравенство второй системы совокупности находим, используя метод интервалов (рис. 2)
Рис. 3
Получим
Рис. 3 дает нам наглядное представление о решении второй системы совокупности.
Рис. 4
Решение двух систем совокупности и будет решение исходного неравенства.
Два промежутка
можно записать в виде одного промежутка
Ответ:
Задача 2. Решить неравенство
Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе:
Ответ:
Задача 3. Решить неравенство
Решение. При решении неравенств подобного типа используется следующий равносильный переход
(7)
Вместо неравенства
достаточно писать f(x)>0, так как потери решений не будет ввиду f(x)=0
в уравнении первой системы совокупности.
Первый множитель исходного неравенства определен при любом значении х,
второй – при условии
,
поэтому данное неравенство равносильно совокупности
По теореме обратной теореме Виета корнями уравнения х2-8х+15=0 являются х1=3,х2=5. Эти значения будут являться решением данного неравенства.
Используем найденные значения корней для решения неравенства
х2-8х+15>0. Получим
.
Решение второй системы совокупности:
Ответ:
Задача 4 (факультет психологии МГУ, 1989 г.)
При каждом значении параметра а найти все решения неравенства
Решение. При решении данного неравенства с параметрами используется равносильный переход (3). Поэтому
Рассмотрим три случая: a=0, a>0, a<0.
Если а=0,система принимает вид:
Если a>0, то получим систему:
Неравенство x(x-8a)>0 следует решить, используя метод интервалов, заметив, что при a>0 имеет место неравенство 8а>a.
Если a<0, имеет место система
(см. замечание для случая a>0)
Ответ: Если а<0,то неравенство решений не имеет,
если a>0, то
Решение неравенств учащимися у доски.
Задача 5. Решить неравенство:
Решение. При решении данного неравенства используем равносильный переход (6).
Ответ:
Задача 6. Решить неравенство
Решение. Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:
.
1).
.
Неравенство примет вид:
Применим равносильный переход (4).
Решение системы
,
т.е. х
является решением исходного неравенства.
2).
.
Получим в этом случае:
Выполним следующие равносильные преобразования:
Поскольку рассматривается случай х<2, решением исходного неравенства
будет промежуток
.
Объединяя промежутки
,получим
ответ.
Ответ:
Домашнее задание.
Решите неравенства.
1.
2.
3.
4.
5*.
Методический комментарий.
- Предложить учащимся решить неравенство № 4 и методом интервалов.
- Объем предлагаемого занятия является примерным и в зависимости от уровня знаний учащихся, его можно как уменьшить, так и увеличить.
Например, часть неравенств рассмотреть по заготовленному решению на экране.
В виду важности материала изучение его провести на обычном занятии при 4-х часах в неделю или на факультативном занятии при необходимом изменении методики его проведения.
Литература:
- Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 1999.
- Кравцев С.В.,Макаров Ю.Н., Максимов М.И.,Нараленков М.И.,Чирский В.Г. М54 Методы решения задач по алгебра: от простых до самых сложных – М.: Экзамен, 2001.
- Садовничий Ю.В. Алгебра. Конкурсные задачи с решениями: учебное пособие – М.: “Экзамен”, 2007.