Цель занятия. Повторить владение техникой составления уравнения касательной к графику функции, систематизировать основные типы задач, при решении которых используется метод касательной.
Оборудование: компьютер; мультимедийный проектор.
Ход занятия
Повторение.
Учащиеся отвечают на вопросы (тексты на экране):
Какие из ниже приведенных определений касательной верные, а какие неверные?
1) Касательная есть предельное положение
секущей при 
2) Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f – это прямая, проходящая через точку (х0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f \(х0).
3)Касательной к графику функции называется прямая, имеющая с данной кривой единственную общую точку.
Если функция непрерывна в точке, но не имеет в этой точке производной, то какой вывод можно сделать относительно касательной к графику функции в этой точке?
Учащиеся отвечают, что, вообще говоря, неверным является третье определение. В этом случае достаточно привести один пример.
Прямая х=2 имеет с параболой у=(х-1)2 одну общую точку (2;1), но касательной не является. Прямая у=2х-3, проходящая через эту точку, является касательной к графику данной функции.
Покажем это. Мы знаем, что если существует производная функции у=f(x) в точке х0, то существует и касательная к графику этой функции. Уравнение касательной имеет вид:
у= f(x0)+f \(x0)(х-х0)
у \(х)=2х-2, у \(х0)=у \(2)=2, у(х0)=у(2)=1. Уравнение касательной
у=1+2(х-2)=2х-3, у=2х-3.
Ответ на второй вопрос дан в п.19,с.129.Алгебра и
начала математического анализа.10-А45 11 классы:
учебник для общеобразовательных учреждений с
приложением на электронном носителе / [
А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.Н.Дудницын и др.]; под
редакцией А.Н. Колмогорова-18-е изд.-М.:
Просвещение, 2009 , а именно, если же f \(x0)
не существует( как у функции 
, в точке (0;0), либо вертикальна (
как у графика функции 
в точке (0;0))
Учитель. На сегодняшнем занятии мы с вами рассмотрим четыре основных типа задач на касательную:
- составить уравнение касательной к графику функции в точке на этом графике;
- составить уравнение касательной к графику функции, параллельной данной прямой;
- составить уравнения касательных к графику данной функции, проходящих через заданную точку;
- составить уравнения общих касательных для графиков двух функций.
Первые два типа задач вам хорошо известны; решения этих задач рассмотрим на экране.
Задача 1. Составить уравнение касательной к графику функции у=х3-2х+3 в точке А(-1;4), лежащей на графике.
Решение. Уравнение касательной к графику функции f в точке А(х0;f(х0)) имеет вид:
y=f(x0)+f \(x0)(x-x0)
В нашей задаче х0= -1,f(x0)=f(-1)=4, f \(x0)=f
\(-1)=
.
Подставляя эти числа в уравнение касательной, получим уравнение у=4+(х+1), т.е. у=х+5
Ответ: у=х+5
Задача 2. Написать уравнение всех касательных к графику функции
у=х3-2х+7, параллельных прямой у=х.
Решение. Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты, поэтому у \(x0)=1, где у \(х0) – значение производной функции у=х3-2х+7,х0- абсцисса точки касания.
Находим у\(х)= 3х2-2, 
, х0=1 или х0= -1
Для каждой из этих точек составляем уравнение касательной.
y=f(x0)+f \(x0)(x-x0)
x0 =1,f(x0)=f(1)=6;f \(x0)=f \(1)=1; y=6+(x-1)=x+5; y=x+5
x0= -1, f(x0)=f(-1)=8;f \(x0)=f \(-1)=1;у=8+(х+1)=х+9; у=х+9
Ответ: у=х+5,у=х+9
Следующие задачи решаются у доски с записью решений в тетрадях.
Задача 3. Написать уравнение всех касательных к графику функции у=х2—4х+3, проходящих через точку А(3;-2).
Учитель. При решении таких задач составляется уравнение касательной, а затем это уравнение решается относительно х0 и для каждого х0 находится соответствующее уравнение касательной.
Решение. Убедимся, что точка А(4;-1) не лежит на графике данной функции.
Действительно, 42-4
+3
.
Находим f(x0)=
-4
Уравнение касательной у=
(х-х0)
Так как касательная проходит через точку А(4;-1), то ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.
Составим уравнение касательной для каждого значения х0.
При х0=6 имеем f(x0)=15, 
, у=15+8(х-6)=8х-33,
у=8х-33- уравнение первой касательной.
При х0=2 имеем f(x0)=-1, f(х0)=-1,f\(х0)=0, у= -1- уравнение второй касательной. Это уравнение касательной можно составить, учитывая, что вторая координата вершины параболы имеет значение -1.
Ответ: у=8х-33,у= -1
Задача 4. Найдите уравнение всех общих касательных к графикам функций у=3х2-5х-2 и у=2х2-х-6.
Решение. Пусть х=t – абсцисса точки касания всех касательных к графику функции у=3х2-5х-2 .
Уравнение всех касательных к графику этой функции имеет вид:
у=3t2-5t-2+(6t-5)(x-t)
Пусть и – абсцисса всех касательных к графику функции у=2х2-х-6.
Получим уравнение всех касательных:
у=2и2-и-6+(4и-1)(х-и)
Полученные два уравнения задают одну и туже прямую. Следовательно, надо решить систему
Учитывая равенство 6t-5=4u-1, второе уравнение системы запишем в виде
3t2-5t-2-(6t-5)t=2u2-u-6-(4u-1)u
или после упрощения 3t2-2u2-u=0
Из первого уравнения системы 
.
Подставляя в последнее уравнение, получим (t-2)2=0, t=2, тогда u=2.
Получили уравнение единственной касательной у=7х-14
Ответ: у=7х-14
Учитель. Рассмотрим еще две задачи на касательную. Прежде всего, представляют интерес задачи, где требуется определить является ли прямая у= кх+b касательной к графику функции у=f(x) и как уравнение касательной используется при нахождении площадей фигур.
Задача 5. При каких значениях параметра а
прямая 
у= ах+ 
касается
графика функции 
.
Решение. Если существует хотя бы одно
значение х0, для которого имеет решение
система 
, где х0
- абсциссы общих точек графиков функций у=кх+b
и у=f(x), то прямая у=кх+b является
касательной к графику у=f(x).
Находим 
.
Решим систему
Из первого уравнения системы 
Подставляя во второе уравнение системы, получим
Откуда 
Ответ: а=
Задача 6. Найти площадь треугольника, образованного касательными, проведенными к графику функции f(x)=3x-x2, проходящими через точки А(1;3) и В(1;2).
Решение. Запишем уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой х0
y=f(x0)+f \(x0)(x-x0)
Точка А(1;3) находится вне параболы, так 
.
Находим f \(x0)=3-2x, f \(x0)=3-2x0, f(x0)=3x0 – x02.
Тогда уравнение касательной примет вид
или у =
Касательная проходит через точку А(1;3), поэтому
Получили, что через точку А(1;3) проходит две касательные к параболе f(x)=3x-x2, а именно у=3х и у = - х+4.
Точка В(1;2)лежит на параболе, так как 2=
, и уравнение
касательной имеет вид у=2+(х-1)=х+1
На рис.1 изображена парабола с вершиной 
,точками
пересечения с осью абсцисс О(0;0),Е(3;0) и
касательными, которые образуют треугольник АСD,
площадь которого требуется найти.
Рис.1
Найдем координаты точек пересечения касательной у=х+1 с касательными у=3х и у = -х+4. Для этого решим совокупность двух систем
Получили 
Теперь найдем длины сторон треугольника ACD по формуле расстояния между двумя точками
, 
Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона
Вычислим отдельно:
Далее имеем:
Ответ: 0,5
Задание на дом.
1. Составьте уравнение касательной к графику функции у=х3-2х+3 в точке А(-1;4).
2. Составить уравнения касательных, проведенных к графику функции у = -2х2-х-3 в точках пересечения графика с прямой у = -х-11. Сделать чертеж.
3. Составьте уравнения всех общих касательных к графикам функций
у = х2-х+1 и у=2х2-х+0,5
Для более подготовленных учащихся вместо
задачи №1 можно предложить задачу: Вычислить
площадь треугольника, образованного тремя
касательными, проведенными к графикам функции 
в точках с
абсциссами х1= -2, х2 =2, х3=6
Литература
1. Звавич Л.И. и др.Алгебра и начала анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы \ .И.Звавич, Л.Я.Шляпочник,М.В. Чинкина, Дрофа, 1999.\
2.Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. Решение задач письменного экзамена.11кл\Л.И.Звавич, Л.Я.Шляпочник, И.Кулагина.-М.: Дрофа,2000\
3.Кравцев СВ. и др Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных \С.В. Крацев и др..-М.:Издательство: “Экзамен”, 2005/
4.Нараленков М.И. Вступительные экзамены по математике. Алгебра: как решать задачи: Учебно- практическое пособие \М.И. Нараленков.-М.: Издательство “Экзамен”,2003\
5.Математика. Подготовка к ЕГЭ-2009. Вступительные испытания. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко.- Ростов – на – Дону: Легион,2008 (“Готовимся к ЕГЭ”)
6.СадовничийЮ.В. Алгебра. Конкурсные задачи с решениями: учебное пособие \Ю.В.Садовничий.-М.:Издательство “Экзамен”,2007\