Урок обобщающего повторения по теме "Решение показательных уравнений"

Цели урока:

1. Обобщить теоретические знания, используемые при решении показательных уравнений.
2. Организовать работу учащихся на уровне, который соответствует уровню уже сформированных знаний.

Оборудование:

• мультимедийная установка (на уроке используется презентация «Решение показательных уравнений»);
• на столах лежат конверты с карточками для организации самостоятельной работы, которые учащиеся используют на различных этапах урока.

Ход урока

I этап урока – организационный.

Учитель сообщает учащимся тему урока и для каждой группы сообщает основную цель:

• первая группа – развить умение решать показательные уравнения на базовом уровне;
• вторая группа – закрепить и развить умения решать показательные уравнения базового и повышенного уровня сложности;
• третья группа – закрепить умения решать показательные уравнения повышенного уровня сложности;

II этап урока – повторение теоретического материала по теме.

Учитель: Прежде чем начать решать показательные уравнения, необходимо вспомнить теоретический материал, на котором базируется решение показательных уравнений.

Первый вопрос. Сформулируйте определение показательной функции.

(Ответ: функция, заданная формулой у = а^х, где а › 0, а ≠ 1, называется показательной функцией с основанием а.)

Второй вопрос. Сформулируйте основные свойства показательной функции.

Для повторения основных свойств показательной функции используется мультимедийная презентация. На экране последовательно появляется первая часть предложения или левая часть формулы и, после ответа учащихся, к ним присоединяется вторая часть предложения или правая часть формулы.

1. Область определения – множество действительных чисел.
2. Область значений – множество всех положительных действительных чисел.
3. При а ›1 функция возрастает на всей области определения; при 0 ‹ а ‹ 1функция убывает на всей области определения.
4. При любых действительных значениях х и у справедливы равенства:

а^х * а^у = а^х+у

(ав)^х = а^х * в^х

(а^х)^у = а^ху

По завершении опроса все свойства высвечиваются на экране.

Третий вопрос. Дайте определение показательного уравнения.

(Ответ: уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.)

Четвертый вопрос. Какие из уравнений являются показательными:

1) 2^х = 8

2) х² = 16

3) х^0,5 =2

4) 7^х-2 =

5) 3^6-х = 3^3х-2

6) 5^1-х = 1

(Ответ: 1, 4, 5, 6.)

(Ответ: два уравнения называются равносильными если множества их корней совпадают.)

Пятый вопрос. Равносильны ли уравнения:

1) 8х + 1=5х + 3 и 3х = 9

2) (х + 5)(х – 2) = 0 и х² + 3х – 10 = 0

3)

(Ответ: 1 – нет, 2 – да, 3 – да.)

Шестой вопрос. Перечислите утверждения, на которых основаны решения показательных уравнений (учащиеся перечисляют утверждения).

1. Простейшее показательное уравнение а^х = b, где а › 0, а ≠ 1 не имеет корней при b ≤ 0 и имеет единственный корень х = log_а b при b › 0

В частности, уравнение а^х = а^α, а › 0, а ≠ 1 имеет единственный корень х = α

2. Уравнение а^f(x) = a^g(x), а › 0, а ≠ 1 равносильно уравнению f(x) = g(x)

3. Уравнение а^f(x) = b^g(x), а › 0, b › 0, а ≠ 1 равносильно каждому из уравнений а^f(x) = а^{g(x) log}_a^b, f(x) = g(x).log_ab

На экране появляется слайд – утверждения, на которых основаны решения показательных уравнений:

1) а^х = а^α ‹=› х = α, а › 0, а ≠ 1.

2) а^х = b, а › 0, а ≠ 1

а) если b › 0, то x = log_аb

б) если b ≤ 0, то уравнение не имеет корней.

3) a^f(x) = a^g(x) ‹=› f(x) = g(x), при a › 0, a ≠ 1.

4) а^f(x) = b^g(x) ‹=› a^f(x) = a^g(x).log_a^b ‹=› f(x) = g(x).log_ab при a › 0, a ≠ 1, b › 0.

Седьмой вопрос. Решите устно уравнения, которые вы видите на следующем слайде.

1) 4^х = 64

2)

3) 3^6-х = 3^3х-2

4)

5)

6) 2^х = - 8

Учащиеся комментируют решения уравнений.

III этап урока – работа в разноуровневых группах.

Со всеми учащимися класса рассмотреть решения уравнений:

1) 3^х = 19

2) 4^х+1 + 4^х = 320

3) 36^х – 4 * 6^х – 12 = 0

4) 5^х = 625

Учащиеся приводят решения:

1) 3^х = 19 → х = log₃19

Ответ: log₃19.

2) 4^х+1 + 4^х = 320

4^х (4 + 1) = 320

4^х = 64

4^х = 4³

х = 3

Ответ: 3.

3). 36^х – 4 * 6^х – 12 = 0

6^2х – 4 * 6^х – 12 = 0

6^х = t, t > 0

t² – 4t – 12 = 0

t₁ = 6, t₂ = -2 – не удовлетворяет условию: t › 0

6^х = 6 → х = 1

Ответ: 1.

4) 5^х = 625

5^х = 5⁴

х = 4

Ответ: 4.

Далее первая группа учащихся самостоятельно выполняют задания (карточка 1.1).

Карточка 1.1. Решите уравнения:

1) 3^х = 81

2) 5^х = 8

3) 5^х+1 = 625

4) 49^х – 8 * 7^х + 7 = 0

5) 3 * 5^х+3 + 2 * 5^х+1 = 77

Ответы: 1) 4; 2) log₅8; 3) 3; 4) 1; 0; 5) -1.

В это время учитель с учащимися второй и третьей группы рассматривает задания повышенного уровня сложности.

Решите уравнение:

3^х+1 – 2 * 3^х-2 = 75

Решение:

3^х-2 (3³ – 2) = 75

3^х-2 * 25 = 75

3^х-2 = 3

х – 2 = 1

х = 3

Ответ: 3.

Учащиеся второй группы приступают к самостоятельному выполнению заданий (карточка 1.2).

Карточка 1.2. Решите уравнения:

1)

2)

Ответ: 1) -2; 2) 2.

С учащимися третьей группы учитель рассматривает следующее уравнение:

5^х+1 = 8^х+1

Решение:

х + 1 = 0

х = -1

Ответ: -1.

Далее учащиеся третьей группы выполняют задание самостоятельно (карточка 1.3).

Карточка 1.3. Решить уравнение:

7^х-2 = 4^2-х

Ответ: 2.

Учитель в это время проверяет правильность выполнения заданий у учащихся первой и второй группы. Если возникает необходимость, то корректирует решение. Проверка ответов производится с использованием мультимедийной презентации, на слайдах которой записаны верные ответы. Далее проверяются задания третьей группы.

По завершении проверки со всеми учащимися класса рассматриваются следующее задание:

Укажите наименьший корень уравнения:

6^х+1 – 18 * 2^х = 3^х+1 – 9

Решение:

6^х+1 – 18 * 2^х – 3^х+1 + 9 = 0

6 * 6^х – 18 * 2^х – 3 * 3^х+ 9 = 0

6 * 2^х (3^х – 3) – 3(3^х – 3) = 0

(3^х – 3) (6 * 2^х – 3) = 0

3^х = 3 или 6 * 2^х = 3

х = -1

Ответ: -1.

Учитель предлагает учащимся первой группы приступить приступить к самостоятельному выполнению задания (карточка 2.1).

Карточка 2.1.

Укажите положительный корень уравнения 4^5х – 4^2х-1 = 4^{3х +1} – 1

Ответ:

С учащимися второй и третьей группы учитель рассматривает следующее задание.

Решить уравнение:

27^х + 12^х = 2 * 8^х

Решение:

27^х + 12^х = 2 * 8^х │: 8^х › 0

t³ + t – 2= 0

(t³ – 1) + (t – 1) = 0

(t – 1)(t² + t + 1) + (t – 1) = 0

(t – 1)(t² + t + 2) = 0

(t – 1) = 0 или (t² + t + 2) = 0

t = 1 нет решения

х = 0

Ответ: 0.

Далее вторая и третья группы учащихся самостоятельно выполняют задание (карточка 2.2).

Карточка 2.2. Решить уравнение:

3 * 16^х + 2 * 81^х = 5 * 36^х

Ответ: 0; 0,5.

Пока учащиеся второй и третьей группы выполняют задание, учитель проверяет решение учащихся первой группы, комментируя их при необходимости, после чего проверяется решение второй и третьей групп. Все верные ответы представлены на слайдах.

IV этап урока – разноуровневая самостоятельная работа.

Учитель предлагает учащимся карточки с заданиями.

Карточка 3.1.

1) Решить уравнение:

а) 3^4х-3 = 27

б)

в) 5^2х = 3

г) 2^2х-3 + 2^2х+2 = 132

2) Найти наибольший корень уравнения 9^х + 8*3^х = 9

Карточка 3.2.

1) Решить уравнение:

а) 2^х-3 = 9

б)

в) 2^2х+1 + 7 * 2^х = 4

г)

2) Укажите отрицательный корень уравнения 2^3х+1 – 2^2х = 2^х+1 – 1.

Карточка 3.3.

1) Решить уравнение:

а) 3^2х+3 = 5

б) 4^х + 2^х = 12

в) 36 * 16^х – 91 * 12^х + 48 * 9^х = 0

г) 5^4х-1 + 5^3х+1 = 5^х +25

2) Найдите сумму корней уравнения 5^2х+1 – 26 * 5^х + 5 = 0.

По истечении времени учащиеся сдают работы.

V этап урока – подведение итога занятия.

Учитель обращает внимание учащихся на теоретические факты, которые вспомнили на уроке. В качестве домашнего задания учащиеся обмениваются вариантами самостоятельной работы.