При решении уравнений с модулями ученики задаются вопросом: «Почему при решении уравнений с модулями система заменяется совокупностью?». Это можно обосновать, используя алгебру высказываний. Напомним свойства операций над множествами, которые будут использоваться далее.
| № | На языке множеств | На языке алгебры высказываний |
| 1 |  |
С |
| 2 |  |
 |
| 3 |  Ø |
 |
| 4 |  |
 |
| 5 |  |
 |
| 6 |  |
 |
| 7 |  |
 |
| 8 |  |
 |
| 9 |   |
 |
| 10 | A Ø=Ø, А Ø=A |
 , |
Все эти свойства доказываются составлением таблиц истинности для обеих частей равенства, опираясь на таблицы истинности основных логических операций:
Например, докажем свойство 1:
| С | А |  |
 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| С | А | С А |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Так как значения в крайних колонках таблиц одинаковы, то 
.
Обозначим заглавными латинскими буквами некоторое условие (уравнение, неравенство, …). По определению модуля можно записать:
(в дальнейшем под A будем понимать уравнение, в котором 
заменен на A, а под 
- уравнение, в котором 
заменен на
).
Запишем получившуюся систему условий
на языке алгебры
высказываний и выполним преобразования, используя свойства операций над множествами: 
(на основании свойств 6,2,3 и 10).
Таким образом,
Отсюда следует ответ на вопрос учеников, почему при решении уравнений с модулем мы приходим к объединению решений двух уравнений, в одном из которых 
заменяется на A при условии C, а в другом – на 
при условии 
.
Алгебру высказываний удобно также применять при решении систем и совокупностей уравнений и неравенств, используя следующие логические структуры (под «А», «В», «С», «D» здесь понимается некоторое уравнение или неравенство):
Рассмотрим два примера решения системы уравнений второй степени на применение алгебры высказываний.
Пример 1.
Эта система равносильна следующей системе
Ответ: (11;1), (16;11), (-9;-9), (-4;1).
Пример 2.
Сделав замену 
, второе уравнение примет вид 
, решая которое находим корни 
.
Тогда
Ответ: (2;1), (-2;-1).
Алгебру высказываний можно также применять на уроках физики. Параллельное соединение переключателей аналогично понятию суммы высказываний, а последовательное – произведению высказываний:
Рассмотрим применение алгебры высказываний при решении следующей задачи: «Электрическая цепь имеет только двухпозиционные переключатели (при одном состоянии переключателя х ток проходит через него, при другом 
- не проходит). Упростите электрическую цепь. При каком состоянии переключателей проходит ток?».
Запишем данную схему на языке алгебры высказываний и упростим по ее законам:
Данная задача свелась к анализу упрощенной схемы, составляя к ней таблицу истинности, делаем вывод: ток не проходит только в одном случае, когда переключатель «х» разомкнут, а «у» замкнут.
Рассмотрим еще одно применение алгебры высказываний в юриспруденции. Решим задачу.
Таким образом, применение алгебры высказываний позволяет выработать навыки перехода из одной логической структуры к другой, продемонстрировать применение математики в
в разных областях знаний. Алгебру высказываний можно вводить в восьмом математическом классе при изучении темы «Алгебра множеств». Изучение алгебры высказываний и ее применений лучше на факультативных занятиях.
Использованная литература
- А.Д. Кутасов «Элементы математической логики»