Логарифмическая функция

Цели:

• образовательная – обеспечить усвоение каждым учащимся понятия логарифмической функции, ее свойств и графика;
• развивающая – создать условия для развития умений получать знания посредством проведения исследовательской деятельности и анализа ситуации.
• воспитательная – воспитание чувства ответственности, самостоятельности.

Оборудование: Компьютеры с выходом в сеть Интернет, интерактивная доска, мультимедийный проектор, документ-камера.

Тип урока: комбинированный (первичное ознакомление с материалом, образование понятий, установление связей и закономерностей, применение полученных знаний на практике).

План урока:

1. Организационный момент
2. Актуализация опорных знаний
3. Формирование новых понятий
4. Формирование умения применять полученные знания на практике
5. Выполнение теста первичного закрепления
6. Работа в сети Интернет
7. Выполнение заданий из тестов ЕГЭ
8. Разгадывание кроссворда
9. Подведение итогов урока
10. Домашнее задание

Ход урока

I. Организационный момент

Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока, ставит перед классом цель урока. (Приложение 1: слайды 1, 2, 3.)

II. Актуализация опорных знаний

Фронтальный опрос.

1) Дайте определение показательной функции
2) Изобразите график показательной функции:

а) при a > 1 (слайд 4)
b) при 0 < a < 1 (слайд 6)

3) Перечислите свойства показательной функции:

a) при a > 1 (слайд 5)
b) при 0 < a < 1 (слайд 7)

III. Объяснение нового материала

Вспомним теорему из курса алгебры:

Если функция y = f(x) определена и возрастает (или убывает) на промежутке Х и область ее определения является Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает (или убывает) на Y.

Вернемся к показательной функции и выясним, существует ли для нее обратная функция. Учащиеся должны обратить внимание, что показательная функция y = a^x, где a >0, a 1 обладает всеми свойствами, которые гарантируют существование обратной функции.

Итак, мы выяснили, что у показательной функции существует обратная функция, давайте попробуем построить ее график.

Ранее было доказано, что графики данных функций являются симметричными относительно прямой y = x, поскольку состоят из точек, симметричных друг другу относительно указанной прямой. Например, если А(2,4) принадлежит графику y = a^x при при х 0, то точка В(4,2) будет принадлежать графику обратной функции. (слайд 8)

Поскольку график показательной функции в зависимости от основания а имеет различный вид, то рассмотрим два случая: при a > 1; при 0 < a < 1.

Для этого разделим класс на две группы. Первая группа будет работать с графиками данных функций при a > 1, а вторая – при 0 < a < 1

Ребята рассаживаются за компьютеры и с помощью программы MS Excel строят сначала график показательной функции. У всех членов группы основания показательной функции различны.

Первая группа: y = a^x, y = 3^x, y = 6^x...

Вторая группа: y = , y = , y = ... (Приложение 2).

Далее, исходя из того что графики обратных функций симметричны относительно прямой y = x, построим график обратной функции. (слайд 9)

Для этого нам достаточно поменять местами координаты точек графика показательной функции. Если точка с координатами (x,y) принадлежала графику показательной функции, то точка с координатами (y,x) будет принадлежать обратной функции.

Итак, мы построили графики новой функции, которая называется логарифмической функцией и задается формулой y = log_ax.

Действительно, если точка с координатами (2,4) принадлежит графику функции y = 2^x, то выполняется равенство 2² = 4, следовательно, точка с координатами (4,2) будет принадлежать графику обратной функции y = log2^x, а значит, должно выполняться равенство log2⁴ = 2. По определению логарифма имеем 2² = 4, 4=4. Равенство верно. Какими же свойствами обладает логарифмическая функция?

Используя построенные график, ребята перечисляют все свойства логарифмической функции.

Свойства логарифмической функции при a > 1 (слайд 10)

1. Область определения (0; )
2. Область значений
3. Функция не является ни четной, ни нечетной
4. Нули функции: y = 0 при x = 1
5. Промежутки знакопостоянства:

y > 0 при x (1; )
y < 0 при x (0;1)

6. Функция экстремумов не имеет
7. Функция возрастает при x (0;+ )
8. Асимптота x = 0

Свойства логарифмической функции при 0 < a < 1 (слайд 12)

1. Область определения (0; )
2. Область значений (– ; )
3. Функция не является ни четной, ни нечетной
4. Нули функции: y = 0 при x = 1
5. Промежутки знакопостоянства:

y > 0 при x (0;1)
y < 0 при x (1; )

6. Функция экстремумов не имеет
7. Функция убывает при x (0;+ )
8. Асимптота x = 0

IV. Закрепление изученного материала

1. Определите знак числа: (слайд 13)

a) ;
b) ;
c) log_0,4 1,8;
d) log_0,1 0,3

2. Определите, какие из перечисленных ниже функций являются возрастающими, а какие убывающими? (слайд 14)

3. В одной координатной плоскости построить графики следующих функций:

1 группа (слайды 15, 16)

2 группа (слайды 17, 18)

Ребята делают вывод:

• При 0 < a < 1 – чем больше основание a логарифмической функции, тем дальше от осей координат располагается график логарифмической функции.
• При a > 1 – чем больше основание логарифмической функции, тем ближе к осям координат располагается график логарифмической функции.

4. Опираясь на вывод, сделанный в задании 3, сравните: (слайд 19)

log₃ 5 и lg5
log₃ 0,5 и log₅0,5
log_0,1 0,7 и log_0,50,7
log_0,36 и log_0,56

V. Выполнение теста первичного закрепления материала

Условие теста выводится на интерактивную доску.

I вариант	II вариант
1.Найти D(logx) а)( б)( в)[ г)( д)R	1.Найти D(logx) а)( б)( в)[ г)( д)R
2.Точка пересечения графика функции y=logx с осью ОХ имеет координаты: а) (0;0) б) (0;1) в) (1;0) г) (1;1)	2.Точка пересечения графика функции у= logx с осью ОХ имеет координаты: а) (0;0) б) (0;1) в) (1;0) г) (1;1)
3.Если y=logx, верно ли утверждение: а) если 0<x<1, то у<0 б) если х>1, то у>0	3.Если у= logx, верно ли утверждение: а) если 0<x<1, то у<0 б) если х>1, то у>0
4. Вставьте пропущенное слово: Функция y=logx __________ на всей области определения а) возрастает б) убывает в) возрастает и убывает	4. Вставьте пропущенное слово: Функция у= logx __________ на всей области определения а) возрастает б) убывает в) возрастает и убывает
5. Верно ли утверждение: функция y=logx непрерывна на всей области определения. а) да б) нет	5. Верно ли утверждение: функция у= logx непрерывна на всей области определения. а) да б) нет
6. Определите знак выражения: а) log3; 1) >0 б) log3; 2) <0	6. Определите знак выражения: а) log; 1) >0 б) ) log9; 2) <0
7. Сравнить числа а) log 3 и log 7; 1) > б)log 5 и log 7; 2) < в) log 10 и log 12	7. Сравнить числа а) log 3 и log 7; 1) > б) log 5 и log 7; 2) < в) log 10 и log 12
8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=logx на промежутке	8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у= logx на промежутке [–2; 3]

Проверка результатов теста осуществляется с помощью документ-камеры. Учащиеся самостоятельно оценивают выполненную работу, и результат сдают учителю.

VI. Работа в сети Интернет

На итерактивной доске записаны адреса сайтов, где учащиеся смогут найти тесты ЕГЭ:

http://www.ege-trener.ru/izbrannoe/
http://uztest.ru/simulator
http://fipi.ru/view/sections/142/docs/

Ребята получают задание:
Проанализировать задания тестов ЕГЭ: встречаются ли задания на применение свойств логарифмической функции, какие, сколько их может быть в одном тесте, в какой части теста, что нужно знать для их выполнения. В результате работы ребята должны сделать подборку заданий из тестов ЕГЭ для дальнейшего их решения. (слайды 20, 21)

VII. Решение заданий из тестов ЕГЭ

После того, как ребята сделают подборку заданий из тестов ЕГЭ, некоторые из них, если позволит время, можно решить на уроке.

За три минуты до звонка предложить учащимся разгадать кроссворд, где центральное слово по вертикали будет являться ключевым в теме урока.

По горизонтали: (слайды 22, 23, 24)

1. Математический смысл переменной n в выражении .
2. Значение переменной, при которой из уравнения получается верное равенство.
3. Множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
4. Математический смысл переменной х в выражении .
5. Равенство, содержащее неизвестную величину.
6. Результат умножения двух чисел.
7. Зависимость переменной у от переменной х.
8. Запись какого-либо выражения с помощью букв.

Ответы:

VII. Подведение итога урока

(слайд 25)

• организуется самооценка учениками своей деятельности;
• фиксируется степень соответствия поставленной цели и результатов деятельности;
• намечаются цели последующей деятельности;
• проводится анализ работ учащихся;
• выставляются оценки;
• комментируется домашнее задание.

VIII. Домашнее задание

(слайд 26)

1 уровень:

1. п.49 (определение логарифмической функции, свойства, график).
2. Выполнить № 1463(а, б); № 1467(а, б); № 1470.Учебник “Алгебра и начала анализа10-11”, автор А. Г. Мордкович.

2 уровень:

1. п.49 (определение логарифмической функции, свойства, график), №1480 (а, б), №1488(в, г).
2. Решить два задания из тех, которые были найдены в сети Интернет (часть В) на уроке.