Цель урока: Систематизация и обобщение знаний учащихся по решению основных видов иррациональных неравенств; развитие сознательного подхода к решению задач по теме урока.
Оборудование: мультимедийная аппаратура.
Методический комментарий. На данном двухчасовом занятии подводится итоговое закрепление навыков решения наиболее типичных иррациональных неравенств. Особое внимание уделяется основным утверждениям, основанных на понятии равносильности.
Ход урока
Учитель. При решении иррациональных неравенств гораздо чаще допускаются ошибки по сравнению с решением уравнений. Это объясняется тем, что при решении уравнений после преобразований посторонние корни можно выявить с помощью проверки.
При решении неравенств этого сделать нельзя, так как в подавляющем большинстве случаев неравенства, в том числе и иррациональные, имеют бесконечно много решений. Конечно, при решении уравнений возможна потеря корней, но это отдельный вопрос. Избежать приобритение посторонних корней, их потерю и не наделать других ошибок, позволяет равносильность преобразований. Особенно это важно при решении неравенств, в частности иррациональных.
Если требуется решить неравенства f(x)<g(x),
f(x)>g(x), f(x)
,
где f(x) и g(x) определены на некотором
множестве, то это значит найти все значения
переменной х на рассматриваемом множестве,
для которых выполняется числовое неравенство
при подстановке х в исходное неравенство.
Вообще, неравенства называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают. Заметим, что неравенства, не имеющие решений, являются равносильными.
На сегодняшнем занятии мы обобщим знания по решению наиболее типичных иррациональных неравенств
Решение неравенств.
Для того чтобы учащиеся наиболее осознанно
подошли к решению иррациональных неравенств,
следует повторить схему решения уравнений двух
простейших типов: 
и 
.
На экране высвечивается материал:
(2) 
Учащимся предлагается объяснить равносильность перехода от исходных уравнений (1) и (2) к системе и совокупности систем соответственно.
Полезно задать вопросы:
1) В каком случае х0 является решением
уравнения 
?
Ответ: Если х0 – корень
уравнения f(x)=g2(x) и выполняется условие g(x0)
, то х0
решение уравнения. Если же f(x0)<0, то х0
не является решением уравнения.
2) Обязательно ли находить решение
неравенства 
,
чтобы убедиться, что х0- решение
уравнения (1)?
Ответ: Нет, необязательно.
Достаточно проверить истинность неравенства 
.
3) Почему для решения уравнения (2) неверен переход
и уж
тем более 
Ответ: Произведение двух множителей равно нулю, если равен нулю хотя бы один из множителей в области определения второго.
Далее учитель предлагает учащимся проанализировать запись на экране:
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
Следует напомнить еще раз о распространенной ошибке:
или 
Чтобы опровергнуть неверные утверждения, достаточно привести один пример: 3>-5, но 32<(-5)2.
Напомним учащимся, что функция h(x)=t2 монотонно возрастает лишь при неотрицательных значениях t, так что возводить обе части неравенства в квадрат можно лишь в том случае, когда обе части неравенства неотрицательны.
Можно рекомендовать три – четыре неравенства решить учителю у доски при активном участии учащихся в процессе решения с записью решений в тетрадях учащихся.
Задача 1. Решить неравенство
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
Далее имеем:
Неравенство х2+33х-34>0 решим, используя схематический график функции у=х2+33х-34
Рис. 1
-
решение этого неравенства.
Решение первой системы совокупности 
найдем,
используя рис.1.
Рис.2
Второе неравенство второй системы совокупности находим, используя метод интервалов (рис. 2)
Рис.3.
Получим 
Рис.3 дает нам наглядное представление о решении второй системы совокупности.
Рис.4
Решение двух систем совокупности и будет решение исходного неравенства.
Два промежутка 
можно записать в виде одного
промежутка 
Ответ: 
.