Урок алгебры в 8-м классе "Решение квадратных уравнений" с применением ИКТ и метода проектов

Разделы: Математика

Движенью истина нужна, но если взвесить строго,
Важна не истина, важна до истины дорога.
М. Дудин

Задача урока: изучить специальные и общие методы решения квадратных уравнений.

Цели урока.

Образовательные:

  • повторить - определения квадратного уравнения, приведённого квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, алгоритмы их решения; формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, теорему Виета (прямую и обратную).
  • знать - виды и суть общих и специальных методов решения квадратных уравнений, фамилии учёных, связанных с открытиями в области квадратных уравнений.
  • уметь - выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений; делать мультимедийные презентации; осуществлять поиск и отбор учебного материала.

Воспитательные: воспитывать ответственность, дисциплинированность, взаимопомощь.

Развивающие: развивать логическое мышление, умение аргументировать, делать выводы, умение работать в группе; расширять кругозор, грамотную математическую речь, интерес к математике.

Тип урока: урок формирования знаний, презентация минипроектов.

Формы работы: групповая, фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, листы самоконтроля.

 Предварительная подготовка.

За неделю до урока ученики делятся учителем на группы (разноуровневые). Каждая группа получает задание (с комментариями и рекомендациями учителя) - рассмотреть один из специальных или общих методов решения квадратных уравнений, а также сделать презентацию по этому материалу. Перед представлением на уроке проделанной работы группы отчитываются перед учителем (контролируется участие каждого ребёнка), получают у него консультации, а также решают вопрос о том, кто будет представлять группу на уроке.

Ход урока

I. Организационный момент

(формирование мотивации работы учащихся).

 Учитель:

- приветствует учащихся,

- проверяет готовность к уроку,

- объявляет тему "Специальные и общие способы решения квадратных уравнений",

- объявляет цели урока,

- озвучивает план работы (Приложение 2, слайд - 1-3):

  1. Теоретическая разминка.
  2. Энциклопедия квадратных уравнений.
  3. Думающий колпак.
  4. Историческая справка.
  5. Копилка ценных мыслей.
  6. Домашнее задание.
    Oбъясняет правила заполнения листа самоконтроля. Приложение 1.

II. Теоретическая разминка (актуализация знаний).

Презентация "Квадратные уравнения" (Приложении 2, слайд 3, 4, далее по ссылкам 14-18).

Форма работы: фронтальная.

Ученики отвечают на вопросы теоретической разминки, которые размещены на слайдах презентации.

Проверка ответов осуществляется с помощью слайдов № 14-20.

После этого ученики ставят отметку в листе самоконтроля.

III. Энциклопедия квадратных уравнений

(презентация групповых минипроектов).

Презентацию "Квадратные уравнения" (Приложениие2, слайд 5).

Комментарий учителя. Решать квадратные уравнения можно разными методами.

Помимо традиционных методов решения есть ещё специальные методы. Рассмотрим каждый из них в отдельности. И выясним, когда их лучше всего использовать.

От каждой группы один представитель рассказывает об одном из специальных способов решения квадратных уравнений, используя свою презентацию. Члены его группы, в случае возникновения вопросов у других учащихся, помогают отвечать на них.

Специальные методы.

  • Метод выделения квадрата двучлена (Приложение 2, слайд 21).

Суть метода: привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.

Используются формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.

Иногда имеет смысл применить формулу разности квадратов.

Пример. Решим уравнение х2 - 6х + 5 = 0.

х2 - 6х + 5 = 0.

(х -3)2 - 4 = 0.

(х -3)2 = 4.

х - 3 = 2 ; х - 3 = -2.

х = 5, х =1.

Ответ: 5; 1.

Примечание: метод можно применять для любых квадратных уравнений, но он не всегда удобен в использовании. Используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения.

  • Метод "переброски" старшего коэффициента (Приложение 2, слайд 22)

Суть метода: известно, что корни квадратных уравнений ax2 + bx + c = 0 и y2+ by + ac = 0 связаны соотношениями: х1 = у1/a, х2 = у2/а .

Поэтому иногда удобно решать сначала не данное уравнение ax2 + bx + c = 0, а приведенное y2 + by + ac = 0, которое получается из данного "переброской" коэффициента а, а затем разделить найденные корни на a для нахождения корней исходного уравнения.

Пример. Решите уравнение 2х2 - 9х - 5 = 0.

Заменим данное уравнение приведённым квадратным уравнением с "переброской" коэффициента а: у2 - 9у - 10 = 0.

D>0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: -1; 10, далее возвращаемся к корням исходного уравнения: - 0,5; 5.

Ответ: 5; -0,5.

Примечание: метод применяется для квадратных уравнений с "удобными" коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

Теоремы (Приложение 2, слайды 24, далее по ссылкам 30, 31).

Теорема 1. Если в квадратном уравнении a + b + c = 0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен (с/а).

Пример. Решите уравнение 137х2 + 20х - 157 = 0.

137х2 + 20х - 157 = 0.

a = 137, b = 20, c = -157.

a + b+ c = 137 + 20 - 157 =0.

x1 = 1,

x2 = с:а =-157/137. .

Ответ: 1; -157/137.

Теорема 2. Если в квадратном уравнении a + c = b, то один из корней равен (-1), а второй по теореме Виета равен (-с/а).

Пример. Решите уравнение 200х2 + 210х + 10 = 0.

200х2 + 210х + 10 = 0.

a = 200, b = 210, c = 10.

a + c = 200 + 10 = 210 = b.

х1 = -1, х2 = - 0,05.

Ответ: -1; -0,05.

Вывод: при решении квадратного уравнения стандартного вида полезно сначала проверить являются ли числа 1 и -1 корнями уравнения.

IV. ДУМАЮЩИЙ КОЛПАК

(Приложение 2, слайд 7).

Это упражнение помогает учащимся сосредоточить внимание на собственном слухе и процессе слушания, а также способствует развитию памяти. Оно также снимает напряжение в мышцах головы. В этом упражнении большим и указательным пальцами мягко оттягивают назад и прижимают, массируя, раковины ушей. Массаж начинают сверху и идут вниз вдоль "свернутых" частей ушной раковины вплоть до мочек ушей.

УЧЕБНЫЕ ИНСТРУКЦИИ.

1. Держите голову прямо, чтобы подбородку было удобно.

2. Упражнение повторяют трижды или более раз.

 Общие методы (Приложение 2, слайд 6)

(продолжение раздела "Энциклопедия квадратных уравнений").

При выборе способа решения квадратного уравнения следует помнить, что помимо специальных методов можно применить и общих методов решения уравнений.

К таким методам относятся:

  • Разложение на множители;
  • Введение новой переменной;
  • Графический способ.

Презентация общих методов решения уравнений (Приложение 2, слайд 6).

Метод разложения на множители (Приложение 2, слайд 24).

Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х) · В(х) = 0, где

А(х) и В(х) - многочлены относительно х.

Способы:

  • Вынесение общего множителя за скобки;
  • Использование формул сокращенного умножения;
  • Способ группировки.

Пример. Решите уравнение 4х2 + 5х + 1 = 0.

4х2 + 5х + 1 = 0.

4х2 + 4х + х + 1 = 0.

4х(х+1) + (х+1) = 0.

4х(х + 1) = 0.

4х = 0 или х + 1 = 0.

х = 0, х = -1.

Ответ: 0; -1.

Метод введения новой переменной (Приложение 2, слайд 25).

Умение удачно ввести новую переменную - важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

Пример: Решите уравнение (2х+3)2 = 3(2х+3) - 2.

(2х+3)2 = 3(2х+3) - 2.

Пусть: t = 2х + 3.

Произведем замену переменной: t2 = 3t - 2.

t2 -3t + 2 = 0. D > 0.

По теореме, обратной теореме Виета: t1 = 1, t2 = 2.

Произведем обратную замену и вернемся к переменной х, получим следующие корни:

-1; -0,5.

Ответ: -1; -0,5.

Вывод: при решении уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Посмотрите, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную.

Графический метод (Приложение 2, слайд 26).

Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций y = f(x), y = g(x) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.

Применение этого метода при решении квадратного уравнения х2 =х+2.

Построим график функции у=х2.

x 1 2 3
y 1 4 9

Графиком является парабола, "ветви" которой направлены вверх, (0;0) - вершина параболы, график симметричен относительно оси ординат.

 Построим график функции y = x + 2

x 0 -2
y 2 0

Линейная функция. Графиком является прямая.

  Точки пересечения: А (-1;1) и В (2;4)

Ответ: -1;2

Применяя графический метод, в этом случае мы нашли точное значение корней, но так бывает не всегда. Однако, графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

V. Исторический справка

(Приложение 2, начало - слайд 8-10).

VI. Копилка ценных мыслей

(Приложение 2, слайд 34, ответ по ссылке - слайд 36).

Комментарий учителя. Решение квадратных уравнений, возможно, осуществлять разными методами. Для квадратных уравнений применимы не только традиционные и специальные методы решения, но и общие методы решения уравнений.

А теперь проверим, насколько вы умеете хорошо выбирать рациональные способы решения для квадратных уравнений.

Попробуйте расшифровать высказывание из копилки "Ценных мыслей".

Для этого проанализируйте представленные уравнения, выберите для каждого более рациональный метод решения и укажите номер этого метода. Затем согласно ключу расставьте в нижней таблице слоги и прочтите высказывание.

Итак, получили высказывание Т. Вейерштрасса "Математик немного поэт".

Я думаю, эти слова лучшим образом подтверждает проделанная вами к данному уроку работа.

VI. Домашнее задание

(Приложение 2, слайд 11).

Решите уравнение 3х2 + 5х + 2 = 0:

  • Используя формулу дискриминанта - "3",
  • Двумя способами - "4".
  • Тремя способами -"5".

Дополнительно.

Решите уравнение (х2-х)2 - 14(х2-х) + 24 = 0 методом введения новой переменной.