Вычисление объемов геометрических тел с помощью определенного интеграла

1. Научить применять интегрирование функций в качестве способа решения геометрических задач на нахождение объёмов.
2. Развивать логическое мышление, пространственное воображение, умения действовать по алгоритму, составлять алгоритмы действий.
3. Воспитывать познавательную активность, самостоятельность.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютерный класс.

На уроке используются в качестве дидактического обеспечения:

Электронные учебные модули Открытых Мультимедиа Систем (ОМС) http://eor.edu.ru/.

1. Организационный момент. Постановка проблемы.
2. Подготовка к восприятию материала: повторение определения интеграла, формул объёмов прямой призмы и прямого цилиндра.
3. Объяснение нового материала: раскрытие связи между двумя науками: алгеброй и геометрией. Вывод основной формулы для нахождения объёмов геометрических тел. Приложение 1
4. Коллективное решение ЗАДАЧИ 1. Составление алгоритма действий.
5. Групповая работа. Решение задач на нахождение объёмов геометрических тел с помощью интеграла.
6. Защита решений и формулировка теорем.
7. Самостоятельная работа. Решение задач с практическим содержанием на нахождение объёмов геометрических тел.
8. Итоги урока. Рефлексия. Домашнее задание.

Трудно назвать чаще встречающиеся задачи на практике, чем задачи на вычисление объёмов. О них задумываются и строя дома, и переливая воду из одного сосуда в другой. Правила и приёмы вычисления объёмов должны были возникать, другое дело, насколько они были точны и обоснованны.

1612 год был для жителей австрийского города Линц, где жил тогда известный астроном Иоганн Кеплер очень урожайным, особенно на виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определить их объёмы. (Слайд 2)

Этот вопрос как раз входил в круг интересов Иогана Кеплера, лишь недавно выпустившего труд “новая астрономия”. Так родилась его “Новая стереометрия винных бочек”, вышедшая в свет в 1615 году. Кеплер вычислял объёмы геометрических тел, основываясь на идее разложения тела на “тончайшие кружочки”, из этих частей составлял тело, объём которого ему уже известен. (Слайд 3)

Рассмотрим отрывок из известной сказки А. С. Пушкина “Сказка о царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной царевне Лебеде” (Слайд 4):

…..
И привез гонец хмельной
В тот же день приказ такой:
“Царь велит своим боярам,
Времени не тратя даром,
И царицу и приплод
Тайно бросить в бездну вод”.
Делать нечего: бояре,
Потужив о государе
И царице молодой,
В спальню к ней пришли толпой.
Объявили царску волю –
Ей и сыну злую долю,
Прочитали вслух указ,
И царицу в тот же час
В бочку с сыном посадили,
Засмолили, покатили
И пустили в окиян –
Так велел-де царь Салтан.

Какими же должны были быть размеры бочки, чтобы в ней поместились царица и её сын? Рассмотрим бочку стандартных размеров.

Могли ли поместиться Царевна с сыном в бочке, если радиус её основания 30 см, максимальная ширина – 80 см, а высота бочки - 1 метр? (слайд 5)

Цель нашего сегодняшнего урока – научиться вычислять объёмы тел с помощью интегрирования.

Основное понятие интегрирования – интеграл.

• Что мы называем определённым интегралом некоторой функции f(x)?
• Какие практические задачи можно решать с помощью нахождения интеграла?
• Объёмы каких геометрических тел вы уже умеете находить?

Как ветвь математики интегральное исчисление появилось в 1696 году, ввёл его Бернулли. (Слайд 6)

Итак, рассмотрим геометрическое тело Т и вычислим его объём.

Выводится формула объёма в общем виде через определённый интеграл. (Слайды 7, 8)

Рассмотрим задачу, которую решим с помощью метода интегрирования.

Задача. Найти объём наклонной треугольной призмы с основанием S и высотой h.

Задача решается в соответствии со слайдом . (Слайд 9)

На примере этой задачи составьте алгоритм вычисления объёма геометрического тела с помощью определённого интеграла. (Слайд 10)

А теперь вам предлагается групповая работа за компьютерами. (Слайд 11)

Объем пирамиды.

1. Изучите содержание учебного модуля “Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла. Объем наклонной призмы. Объем пирамиды. И1”
2. Выведите формулу для нахождения объема пирамиды.
3. Приготовьте защиту вывода формулы объема пирамиды.
4. Решите задачи на вычисление объема пирамиды.
5. Придумайте свои задачи на нахождения объема пирамиды практического содержания.

Задачи:

1. Какой объем молока может войти в тетрапак в виде пирамиды, основание которой равносторонний треугольник со стороной 20см, высотой 24см.
2. Египетские пирамиды – древнейшее и вместе с тем единственное сохранившееся до наших дней чудо света. Пирамида Хеопса - самая большая пирамида. Она была самым большим зданием мира, пока в 1889 года не уступила Эйфелевой башни. Сейчас высота пирамиды составляет 137 м, основание 230*230м, вес 6400000тонн. Вычислите объем пирамиды.

1. Изучите содержание учебного модуля “Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла. Объем наклонной призмы. Объем пирамиды. И1”
2. Выведите формулу для нахождения объема усеченной пирамиды.
3. Приготовьте защиту вывода формулы объема усеченной пирамиды.
4. Решите задачи на вычисление объема усеченной пирамиды.
5. Придумайте свои задачи на нахождения объема усеченной пирамиды практического содержания.

1. Сколько литров воды вмещает водоём, имеющий форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если глубина его равна 1,2 м, а стороны оснований – 10м и 5м?
2. Бак, имеющий форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды, вмещает 190л бензина. Найдите глубину этого бака, если стороны его оснований равны 60см и 40см.

1. Изучите содержание учебного модуля “Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла. Объём конуса. И1”
2. Выведите формулу для нахождения объема конуса.
3. Приготовьте защиту вывода формулы объема конуса.
4. Решите задачи на вычисление объема конуса.
5. Придумайте свои задачи на нахождения объема конуса практического содержания.

Задачи:

1. Два цилиндра на этом рисунке тождественны. Сравните объемы конуса. Вписанного в левый цилиндр, и двух конусов, вписанных в правый цилиндр.

2. Стальной конус, имеющий в диаметре 25см и высоту 30см, стачивается до 20см в диаметре, причем остается та же высота. На сколько уменьшится объём конуса?

Объем усеченного конуса.

1. Изучите содержание учебного модуля “Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла. Объем конуса. И1”
2. Выведите формулу для нахождения объема усеченного конуса.
3. Приготовьте защиту вывода формулы объема усеченного конуса.
4. Решите задачи на вычисление объема усеченного конуса.
5. Придумайте свои задачи на нахождения объема усеченного конуса практического содержания.

Задачи:

1. Бак имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 30см и 20см, а высота – 24см. Определите вместимость этого бака.
2. Сколько литров воды вмещает ведро, имеющее форму усеченного конуса, если диаметры его оснований равны 28см и 24 см, а образующая – 24,5см?

Объем шара, шарового сектора и сегмента.

1. Изучите содержание учебного модуля “Объем шара. Объём шарового сегмента. И1”
2. Выведите формулу для нахождения объема шара, шарового сектора и сегмента.
3. Приготовьте защиту вывода формулы объема шара, шарового сектора и сегмента.
4. Решите задачи на вычисление объема шара, шарового сектора и сегмента.
5. Придумайте свои задачи на нахождения объема шара, шарового сектора и сегмента.

Задачи:

1. Диаметр Луны приблизительно составляет четвертую часть диаметра Земли. Сравните объемы Луны и Земли.
2. Два стальных шара имеют в диаметре: один – 10см, а другой – 5см. Во сколько раз первый шар тяжелее второго?

1. Выполните упражнения из учебника №№ 673, 674, 675.
2. Выполните задания модуля “Вращение криволинейной трапеции. П3”, сгенерировав 3 задачи.
3. Выведите формулу нахождения объема бочки, радиус основания которой R1, максимальная ширина D2, высота H.
4. Приготовьте защиту решения задач.

На выполнение работы 30 минут. Задания могут выполняться на бумаге или в программе Power Point. После выполнения каждая группа защищает свой проект решения и предлагает решить одноклассникам придуманные задачи.

Самостоятельная работа.

Задачи для самостоятельного решения. (Слайд 13)

1. Металлический шар радиусом 100мм надо перелить в цилиндр, высота которого равна 100мм. Найдите длину радиуса основания цилиндра.
2. Стаканчик для мороженного конической формы имеет 12см глубину и 5см по диаметру верхней части. На него сверху положили две ложки мороженного в виде полушарий диаметра 5см. Переполнит ли мороженное стаканчик если позволить ему растаять.
3. Инженер, рост которого 180см пришел рассмотреть новую сферическую цистерну для хранения воды. Он забрался в пустую цистерну, и, когда он поднялся на место, находящееся в 5м 40см над точкой, в которой цистерна упирается на землю, его голова коснулась верхнего края цистерны. Зная, что город потребляет в час 40тысяч литров воды, он немедленно рассчитал, на сколько часов может хватить полной цистерны. Как он это сделал и как он получил результат.
4. На полке в магазине стоят две банки земляничного варенья одного и того же сорта. Одна банка в 2 раза выше другой, но зато её диаметр в 2 раза меньше. Высокая банка стоит 23 цента, а низкая 43 цента. Какую купить выгоднее?
5. Основание прямого кругового конуса имеет диаметр 12 см, а высота конуса равна 12см. Конус наполнили водой, затем в конус опустили шар так, что он оперся на стенки конуса. Над водой при этом оказалось ровно половина шара. Сколько воды осталось в конусе после того, как шар был вынут?

Подведение итогов урока. Решение задачи по сказке А. С. Пушкина. Повторение формул объёмов геометрических тел (слайды 14, 15). Рефлексия.

Домашнее задание.

Учебник Л. С. Атанасяна Геометрия 10-11, §3, № 679, 685, 690, 702.