Разработка урока по теме "Применение производной к исследованию функции и построению графика"

Разделы: Математика

Цели урока:

  • Научить применять производную для исследования функции.
  • Развивать творческую сторону мышления в процессе исследования функции.
  • Формировать навыки умственного труда- поиска рациональных путей выполнения работы при вычислении производных.

Оборудование:

  • Компьютер.
  • Таблица- алгоритм исследования функции.
  • Каточки с заданиями.

"Величие человека в его способности мыслить"
(Паскаль)

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель. Сегодня мы продолжаем работать над темой "Применение производной к исследованию функции и построению графика". Наша задача: учиться применять производную для исследования функции, учиться строить график по результатам исследования. А еще, мне бы хотелось, чтобы в конце урока вы ответили на вопрос: "Может ли компьютер заменить интеллект человека?"

II. Актуализация знаний.

Задание №1 (ученик у доски).

Установите соответствие между функциями и соответствующими им производными и узнайте имя известного математика:

1. f (x) = cos (7- 6x ) 1. f ' (x) = 3?23x-1 ln 2 p
2. f (x) = tg (x/2) 2. f ' (x) = л
3. f (x) = 3. f ' (x) = 6е2x - е
4. f (x) = 3e2x- 4. f ' (x) = й
5. f (x) = 23x-1 5. f ' (x) =6sin( 7-6x ) э

Ответ: 1>5;2>4;3>2;4>3;5>1.

ЭЙЛЕР

Задание №2 (ученик у доски).

По результатам таблицы постройте эскиз графика.

x (-100;0) 0 (0;2) 2 (2;+ 100)
f '(x) + Не существует - 0 +
f (x)   0   -4  

Ответ:y= -4  

Задание №3 (ученик у компьютера).

На компьютере построить графики функций и определить точки максимума и минимума.

f (x) = x - 6x + 9x - 4, (xmax =1, xmin =3)

f (x) = 3x - 14x +7, (xmax 2 )

f (x) = x - 9x, (xmax  -, xmin  )

f (x) = -x+ 8x - 15, (xmax =4)

Остальные работают устно:

1. Вычислить производные:

y = 3x + 2x + 5

y = 5 - 2x

y = sin 2x

y = e -2x+5

y = x( 3+4x)как вычислить проще? (преобразовать функцию)

y =

2. По графику производной функции y =f (x) (на доске) определить промежутки возрастания, убывания функции, точки экстремума.

3. Подумайте, почему функции y = , y = tg x, y = x + x + 2 не имеют экстремумов?

Ответ: "Так как производные этих функций имеют постоянный знак".

Задание №4

На компьютере построить график функции y =

Проверим задания, которые выполнялись у доски. Если вы правильно нашли производные, то вы должны узнать имя ученого.

Эйлер - известный математик, физик и астроном. Внес большой вклад в развитие науки. Швейцарец по происхождению, долгое время жил и работал в России. Потерял зрение, работая над составлением первых карт России.

Проверим задание, которое выполнял ученик у компьютера:

f (x) = x - 6x + 9x - 4, (xmax =1, xmin =3)

f (x) = 3x - 14x +7, (xmax 2 )

f (x) = x - 9x, (xmax  -, xmin )

f (x) = -x + 8x - 15, (xmax = 4)

Всегда ли можно с помощью графика определить точное значение точек экстремума? (Нет, не всегда)

А что же нужно сделать для этого? (Найти производную)

Что еще можно найти с помощью производной? (Промежутки возрастания и убывания функции)

Какую аналитическую деятельность мы при этом выполняем? (Исследуем функцию)

Для чего надо исследовать функцию?

Для чего нужны графики?

На каких уроках вы встречались с графиками?

Вывод: изучаемая тема важна, имеет широкое приложение в разных отраслях науки и практики.

III. Работа над исследованием функции.

Учитель. Вспомним основные этапы исследования функции, но прежде обратимся к заданию которое выполнял ученик у компьютера. Как вы думаете, почему компьютер не дает изображение графика функции

y =? ( функция не определена, так как -x+ 2x - 2 < 0).

Прежде чем строить график, что нужно найти? ( область определения функции).

Вспомним план исследования функций.

Как удобно оформить результат?

Давайте выполним все этапы исследования функции f (x) =

Результат проверим на компьютере.

 Решение:

1. ООФ: x = 0

2. f ' (x) = = (x? - 3x)' = 3x? - 3 = 3(x-1)(x+1)

3. f ' (x) = 0, 3(x-1)(x+1) =0,

4. x =1, x = -1.

5. x = -1 точка максимума, f (-1) = 2

x = 1 точка минимума, f (1) = -2

6. Дополнительные точки:

f (x) = 0, x4 - 3x? = 0,

x (x - 3) =0,

x1 = 0, x2 = , x3 = -.

Вывод: о чем заставило задуматься это задание?

(Прежде чем выполнять задание, нужно подумать - нельзя ли преобразовать функцию, обратить внимание на область её определения)

IV. Самостоятельная работа.

Исследуйте функцию y = x?- 3x? + 4 и постройте ее график. Результат проверьте на компьютере.

Резерв: придумайте функцию, графиком которой будет прямая с выколотой точкой.

V. Итог урока.

1. Что нового вы узнали на уроке?

Сможете ответить на вопрос, поставленный в начале урока?

Что помог понять компьютер?

Может он полностью заменить человека? (компьютер является мощным инструментом, облегчающим человеческую деятельность, но высока роль аналитической деятельности человека)

2. Оценки за работу.

VI. Домашнее задание.

№ 930 (4), № 933 (2).

Творческое задание: отыскать функции, описывающие реальные физические процессы, которые вы встречали на уроках физики. Исследуйте эти функции. У кого есть возможность, выдайте график на компьютере.