Разработка урока по алгебре и началам анализа по теме "Решение логарифмических уравнений"

Цели:

• Образовательная: научить решать логарифмические уравнения трех видов, добиться осознания необходимости проверки корней на наличие посторонних; научить выбирать преобразования, не приводящие к потере корней.
• Воспитательная: развить внимание, аккуратность, инициативу, творчество в труде.
• Развивающая: развить мыслительные операции (анализ, сравнение, обобщение), культуру устной и письменной речи, навыки самоконтроля и самооценки.

Ученик проходит в несколько лет
дорогу, на которую человечество
употребило тысячелетие.
Однако его следует вести к цели
не с завязанными глазами, а
зрячим: он должен воспринимать
истину, не как готовый  результат,
а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой
 экспедицией открытий, следовательно,
также присутствовать не только в качестве простого зрителя.
Но ученик должен напрягать свои силы; ему ничто не должно
доставаться даром. Даётся  только тому, кто стремится.
(А. Дистервег)

Сегодня следуя этим словам мы с вами отправляемся в экспедицию за знаниями и навыками решения логарифмических уравнений. Как вы думаете, что это за уравнения?

Предполагаемый ответ: уравнения содержащие логарифм.

Где и как? Рассмотрим 3 вида уравнений:

I. a ^x = b

II. log_a x=b

III. log_x a=b

В каждом из этих уравнений, левая часть является функцией, которая либо возрастает либо убывает, а значит на её области определения каждому значению аргумента соответствует одно значение функции, поэтому каждое из уравнений будет иметь решение (по теореме о корне).

I. 2 ^x =3 => 2 ^x =2^log2³ => x=log₂3

II. log₂ x=4 => x=2⁴, => x=16

III. log₂4=2 => x?=4 => x=2, т.к. x>0; x?1

На ЭГЕ предлагаются задания на распознание графиков функций. Сейчас мы устно проверим ваше домашнее задание, а заодно подготовимся к решению логарифмических уравнений. Внимание на экран.

Какие из следующих графиков не могут быть графиком функции y=log_ax?

 

Вычислите:

а) log₃ 9

б) log₉27

в) log₃₂64

(Приведите свои примеры)

Решим уравнения № 512 (а, б), вспомнив определение логарифма, любое число b можно представить b=a .

(К доске выходят два ученика.)

а) 9^x=0,7 => 9 ^x =9^log9^0,7 => x=log₉ 0,7

б) 0,3 ^x =7 => 0,3^x=0,3^log 0,3⁷ => x=log_0,37

№ 513

а) log₅ x=2 => x=5² => x=25

б) log_0,4 x=-1 => x=(0,4)^-1 => x=5/2 => x=2,5

№ 514

а) log_0,5 (2x-4)=-2 => 2x-4=(0,5)^-2 => 2x-4= 4 => 2x=8 => x=4

б) log_п(x²+2x+3)=log_п6 => x²+2x+3=6 => x²+2x-3=0; x₁=1; x₂=-3;

Выполнив проверку, убеждаемся, что числа 1 и -3 корни уравнения.

№ 515

а) 0,2^{4 -x}=3 => 0,2^{4 -x}=0,2^log0,2 ³ => 4-x=log_0,23 => x=4- log_0,23; x= log_0,20,2⁴- log_0,23;

x= log_0,21/625:3 => x= log_0,21/1875; x= log₅1875

б) 5^x?=7 => 5^x?=5^log5⁷ => x²=log₅7 => x=+v log₅7

№ 518

а) log_a x=2log_a3+ log_a5 б) lg(x-9)+ lg(2x-1)=2

log_a x=2log_a3+ log_a5 lg(x-9)*(2x-1)= lg100

log_a x=2log_a9+ log_a5 2x²-19x+9=100

log_a x=log_a45 2x²-19x-91=0

x=45 Д=361+482+91=361+725=1089

x_1;2=19+33/4

x₁=13 x₂=-3,5-посторонний корень.

Самостоятельно решите уравнение:

log₂ x²=2

просматривая работы, проходя между рядами, обнаруживается два разных решения:

I. log₂ x²=2,

II. log₂ x²=2,

2log₂ x =2, x²=2²,

log₂ x =1, x²=4,

x=2 x=+2,

какое же решение является верным? В первом случае произошла потеря корня, поэтому, решая логарифмические уравнения нужно следить за преобразованиями. Кто сможет исправить первое решение? log₂ x²=2 => 2log₂ |x|=2 => log₂ |x|=1 => |x|=2; x₁=2 x₂=-2 если никто не решит, то это решение появится на экране.

Задание на дом прочитать № 39, решить № 512, 513, 515, 518 (в, г), а также в дополнительной литературе или с помощью Интернет ресурсов постарайтесь найти другие способы решения уравнений.

Внимание на экран.

Рефлексия

Если вы ответили на три вопроса вариантами из 1 категории, вы провели урок не зря, если их 5-6, то вы провели его весьма хорошо, если их более 6, вы провели время урока отлично!

Сейчас подумайте и поставьте себе оценку за урок (была проведена самооценка).

"5"-1

"4"-12

"3"-4

Подведите итоги урока. Что вы узнали на этом уроке? Чему научились?

Литература:

1. Алгебра и начала анализа 10-11 под редакцией А.Н. Колгоморова.
2. Сборник упражнений по алгебре В.Я. Солодухин.