Геометрическая прогрессия (9-й класс)

Цели урока:

обучающие:

• ознакомление учащихся с новой последовательностью - геометрической прогрессией, ее характеристическим свойством и формулой п-го члена;
• формирование умений распознавать геометрическую прогрессию среди других последовательностей; находить знаменатель геометрической прогрессии;
• обучение применению характеристического свойства и формулы п-го члена при решении задач;
• повторить и обобщить знания учащихся по теме "Арифметическая прогрессия".

развивающие:

• развитие умения проводить аналогию, сравнивать;
• развитие познавательного интереса учащихся;
• развитие навыков самостоятельной работы;
• развитие памяти, речи, мышления, внимания.

воспитательные:

• формировать умение высказывать свою точку зрения; доказывать свою правоту; признавать свои ошибки и правоту одноклассников;
• аккуратность при ведении тетради.

Тип урока - урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Вид урока - комбинированный.

Оборудование: листы с печатной основой, плакаты (презентация при наличии проектора)

Ход урока

Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать основную цель.

Актуализация знаний учащихся. Проверка домашнего задания.

Перед началом урока на доске выполняется таблица или используется презентация (приложение 1), учащимся раздаются листы с печатной основой.

Учитель:

- В левой части таблицы систематизированы все сведения об арифметической прогрессии. Расшифруйте записи, выполненные на математическом языке в указанной части таблицы.

Ответы:

В первой строке таблицы записан пример арифметической прогрессии с первым членом, равным 5, и разностью, равной 3.

Во второй строке таблицы записано определение и обозначение разности арифметической прогрессии.

- Сформулируйте определение разности.

(Разностью арифметической прогрессии называется число, на которое каждый следующий член этой прогрессии отличается от предыдущего.)

В третьей строке таблицы перечислены элементы, определяющие арифметическую прогрессию.

- Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

(Числовая последовательность а₁, а₂, а₃, :, а_n, :называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство а_n+1 = а_n + d, где d - некоторое число.)

В четвертой строке - классификация прогрессий в зависимости от d.

- d > 0, прогрессия возрастающая;

- d < 0, прогрессия убывающая;

- d = 0, прогрессия постоянная.

(выполнить соответствующие записи в листах и на доске)

В пятой строке записано характеристическое свойство арифметической прогрессии.

- Сформулируйте характеристическое свойство арифметической прогрессии.

(Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.)

В этих строках записаны формулы, позволяющие вычислить п-й член прогрессии и сумму первых п членов.

Изучение нового материала.

Проводится сравнительный анализ первой строчки правого и левого столбцов таблицы на основе следующих вопросов:

- Сравните примеры последовательностей, записанных в первой строке левого и правого столбцов таблицы. Что у них общего? Чем они отличаются?

Общее: обе последовательности заданы рекуррентным способом, имеют одинаковые первые члены.

Различное: у последовательности (а_n) следующий член получается из предыдущего сложением с числом 3, а у последовательности (b_n) - умножением на 3.

- Т.е. последовательность (b_n) имеет первый член равный 5, а каждый следующий получается из предыдущего умножением на 3.

Последовательность такого вида называется геометрической прогрессией.

- Найдите зависимость между каждым членом этой прогрессии и предшествующим ему. Как можно записать данную зависимость? При каких условиях она будет верна?

b₂ : b₁ = b₃ : b₂ = b_n : b_n-1 = b_n+1 : b_n = q, b₁ ? 0, q?0 ( заполняется вторая строка правой части таблицы).

- Сформулируем определение геометрической прогрессии:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Числовая последовательность b₁, b₂, b₃, :, b_n, :называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство b_n+1 = b_nq, где b_n ? 0, q - некоторое число, не равное нулю.

(Учащиеся записывают определение в тетрадь)

- Выделите элементы, определяющие геометрическую прогрессию.

b₁ > 0, q<>0, b_n = b₁q (заполняется третья строка правой части таблицы).

Далее рассматриваются примеры геометрических прогрессий. (Примеры заготовлены на плакатах или Слайд 3).

2, 8, 32, 128, : - геометрическая прогрессия со знаменателем q = 4;

1, , , , : - геометрическая прогрессия со знаменателем q = ;

, -1, 12, -144, :- геометрическая прогрессия со знаменателем q = - 12;

7, 7, 7, 7, :- геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1.

- Опираясь на рассмотренные примеры, классифицируем геометрические прогрессии в зависимости от знаменателя и заполним четвертую строку таблицы.

(Для определенности рассмотрим эту классификацию при b₁ > 0)

а) при 0 < q < 1, прогрессия убывающая;

при q > 1, прогрессия возрастающая;

при q = 1, прогрессия постоянная.

б) при q < 0, прогрессия колеблющаяся.

- Геометрическая прогрессия с положительными членами обладает характеристическим свойством в некоторой степени похожим на характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию (b_n). По определению b_n+1 = b_nq, b_n-1 = b_n : q, откуда b_n² = b_n-1  b_n+1, п > 1, или b_n = (Учащиеся записывают вывод формулы в тетрадь)

Таким образом, каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название "геометрическая" прогрессия. (Заполняется пятая строка правой части таблицы).

- Выведем формулу п-го члена геометрической прогрессии. (Учащиеся записывают вывод формулы в тетрадь).

Отметим, что если b₁ и q заданы, то остальные члены геометрической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле b_n+1 = b_nq.

Таким образом, b₂ = b₁q,

b₃ = b₂q = b₁q²,

b₄ = b₃q = b₁q³ и т. д.

Вообще b_n = b₁q^n-1.

(Заполняется шестая строка правой части таблицы).

Седьмую строку мы заполним через несколько уроков, а сейчас рассмотрим примеры решения задач. (Фронтальная работа с классом. Учитель записывает решения на доске, учащиеся - в тетрадях.)

Задача 1.

Доказать, что последовательность, заданная формулой b_n = 7^2п, является геометрической прогрессией.

Задача 2.

Найти седьмой член геометрической прогрессии, если b₁ = 81 и q = .

Задача 3.

Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, : . Найти номер этого члена.

Первичное закрепление знаний.

Задание № 406 (Устно.)

Назвать первый член и знаменатель геометрической прогрессии:

1) 4, 2, 1, :; 2) -10, 20, -40, :; 3) -50, 10, -2, : .

(Один из учащихся отвечает на вопрос 1), второй - на вопрос 2), третий - на вопрос 3). Остальные внимательно следят за работой.)

Ответ: 1) b₁ = 4, q = 0,5; 2) b₁ = -10, q = -2; 3) b₁ = -50, q = -0,2.

Задание № 407 (1) (Самостоятельно с последующей проверкой.)

Записать первые пять членов геометрической прогрессии, если: b₁= 12, q = 2.

Ответ: b₂ = 24, b₃ = 48, b₄ = 96, b₅ = 192.

Задание № 409 (1,2)

Для геометрической прогрессии вычислить:

b₄ , если b₁ = 3, q = 10; (Один ученик у доски.)

b₇ , если b₁ = 4, q = 0,5. (Самостоятельно с последующей проверкой.)

Ответ: 1) 3000; 2) .

Задание № 411 (1) (Один ученик у доски.)

Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии: 6; 12; 24; :; 192; :;

Ответ: 6.

Задание № 412(1) (Самостоятельно с последующей проверкой.)

Найти знаменатель геометрической прогрессии, если: b₁ = 2, b₅ = 162.

Ответ: q = 3.

О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствуют папирусы Ахмеса.. Например, можно встретить такую задачу:

 "В доме было 7 кошек.

Каждая кошка съедает 7 мышей.

Каждая мышь съедает 7 колосьев.

Каждый колос дает 7 растений.

На каждом растении вырастает 7 мер зерна.

Сколько всех вместе?".

Найдите ответ к этой задаче. Ответ: 19607. (Обратить внимание на скорость роста членов геометрической прогрессии)

Известна задача-легенда, которая относится к началу нашей эры (встречается у ал-Беруни):

"Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую - 2 зерна, за третью - 4 зерна и т.д."

Сначала царь обрадовался, такому "скромному" желанию Сеты, но потом оказалось, что такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой в 2000 раз больше всей поверхности Земли, т.к. их количество равно 18 446 744 073 709 551 615. А для их хранения потребуется амбар, с размерами: высота 4 м, ширина 10м, длина 30 000 000км - вдвое больше, чем расстояние от Земли до Солнца.

В старинной арифметике Магницкого есть забавная задача:

"Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу, говоря:

- Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

- Если по-твоему цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 0,25 коп., за второй - 0,5 коп., за третий - 1коп. и т.д. покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 руб. На сколько покупатель проторговался?

Ответ на этот вопрос мы с вами узнаем через два урока.

Подведение итогов работы, постановка домашнего задания.

 30, записи в тетради выучить, № 407(2), 409(3,4), 411(2), 412(2).

Литература:

1. Л.Ф. Пичурин "За страницами учебника алгебры" Москва, Просвещение,1990.
2. Г.И. Глейзер "История математики в школе 7-8 класс" Москва, Просвещение,1982.
3. Я.И. Перельман "Занимательная алгебра. Занимательная геометрия" Москва, АСТ, 2007.