Урок обобщения и расширения знаний по теме "Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными"

Цели урока:

Образовательные:

• Обобщить, расширить и систематизировать знания учащихся по теме урока;
• Повторение, обработка способов решения систем уравнений;
• Знакомство с простейшими симметрическими системами уравнений;
• Выработка умений выбрать нужный способ решения, умений решать поставленную проблему поиска способа решения.

Развивающие:

• Развитие логического мышления, памяти, внимания;
• Развитие мыслительных операций, общеучебных умений: сравнивать, обобщать, искать аналогию.

Воспитательные:

• Воспитание трудолюбия;
• Воспитание математической культуры;
• Воспитание взаимопомощи;
• Воспитание умения работать в команде, сотрудничать в обучении;
• Воспитание ответственности;
• Воспитание умения оценивать свои знания, давать оценку другим.

ХОД УРОКА

I. Этап мотивации, постановки задач и целей урока.

Учитель совместно с учащимися определяет цели и задачи урока, важность изучения темы.

II. Устная работа.

Задания команде “Дружба”: Какие уравнения называются уравнениями с двумя переменными? Дайте понятие системы уравнений с двумя переменными. Что называют решением системы уравнений? Всегда ли число переменных должно равняться числу уравнений? Что значит “решить систему”?

Задания команде “Поиск”: Дать определения совместной и несовместной систем уравнений. Дать определения определённой и неопределённой системы. Какие две системы называются равносильными? Какая есть теорема о равносильности систем уравнений? Какое существует следствие из этой теоремы?

Презентация группы № 1
Теоретики”: “Способы решения систем уравнений с двумя переменными”

Автор презентации: Олейник Сергей.
(по материалам “Виртуальной школы Кирилла и Мефодия”,
алгебра 9 класс “Системы рациональных уравнений”.)
Сопровождается презентация выступлениями членов группы “Теоретики”.

1 участник группы: Метод подстановки

Метод подстановки заключается в следующем: Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором “y” выражено через “x” (или “x” через “y”). Полученное выражение подставляют вместо “y” (или вместо “x”) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной. Находят корни этого уравнения. Воспользовавшись выражением из первого шага, находят другие соответствующие значения “x” (или “y”).

Возможные риски (по нашим наблюдениям):

1. Если сворачивали уравнение по формулам квадрата разности или суммы, то мы, избавляясь от квадрата, теряли отрицательный корень. Например: (x – 3)² = 16, отсюда

x – 3 = 4 , а правильное решение

(x – 3)² = 16,

x – 3 = ±V16,

x – 3 = 4 или x – 3 = – 4.

2) Теряли последний 3-й шаг.

3) Решая уравнение относительно переменной “y” в формуле корней квадратного уравнения по привычке писали “x_1,2” вместо “y_1,2”.

4) Записывали в ответ не те пары чисел.

2 участник группы “Теоретики”
Я напомню суть метода сложения на конкретном примере: № 262 (а)

x² – y² = 14,
x² + y² = 18

2 x² = 32

x² = 16

x = ± 4

Исходная система равносильна совокупности двух систем:

1)

x = 4,
4² + 2y² = 18
2y² = 18 – 16

2y² = 2

y² = 1

y = ± 1

(4 ; 1) (4 ; – 1).

2)

x = – 4 ,
(– 4)² + 2y² = 18
2y² = 18 – 16

y² = 1

y = ± 1

(– 4 ; 1) (– 4 ; – 1).

Ответ: (4 ; 1), (4 ; – 1), (– 4 ; 1), (– 4 ; – 1).

3 участник группы “Теоретики”
Я напомню суть графического метода сложения

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отысканию координат общих точек графиков уравнений, построенных в одной системе координат.

4 участник группы “Теоретики”

Если система содержит 3 и более уравнений, то применяют для её решения Метод Гаусса – т.е. метод исключения неизвестных и построения системы, имеющей ступенчатый вид.

Учитель:

Группа № 1 предлагает вам задания, которые решают графическим способом (на столах листочки с нарисованной системой координат, доски).

1) Cтр. 35. № 2.

Решите систему уравнений:

y = x² - 4x + 3,
y = x - 1

Решение:

Графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: (1 ; 0 ; 4 ; 3).

2) Cтр. 35. № 3.

Указать систему уравнений, которая не имеет решения.

А.

y = x² - 2,
y = - x + 6

Б.

y = x² - 2,
y + 5 = 0

В.

y = x² - 2,
x + 5 = 0

Г. Все три указанные системы

Ответ: Б.

3) Cтр. 36. № 6.

Из данных уравнений подберите второе уравнение системы

y = 2 / x
... , так чтобы система имела 2 решения.

А. y = - x

Б. y = - x²

В. y = x

Г. y = x²

Ответ: В. y = x

y = 2 / x,
y = x.

4) Из части II (стр. 41). № 18.

Используя графики функций y = x³ и y = - x² – 2, укажите число решений системы уравнений:

y - x³ = 0,
y + x² + 2 = 0.

Решение:

y - x³ = 0, y = x³ кубическая парабола,

y + x² + 2 = 0, y = - x² – 2 парабола, ветви вниз, вершина (0 ; - 2).

Ответ: решение 1).

Группа “Поиск”.
Наша группа кратко поделится с вами о симметрических системах уравнений

1) Многочлен называется симметрическим, если P (x ; y) = P (y ; x). Например: x² + y²; x + y; xy; x² + xy + y²; x²y + yx²; x³ + xy + y³; x³ + y³; x⁵ + y⁵.

2) Система уравнений

P (x ; y) = 0,
Q (x ; y) = 0

называется симметрической, если оба многочлена P (x ; y) и Q (x ; y) являются симметрическими многочленами.

3) Простейшие системы вида:

x + y = а, 
xy = b (1)

решаются с использованием обратной теоремы Виета, с переходом к уравнению t² – at + b = 0 (2).

Система (1) и уравнение (2) связаны следующим образом: если t₁ и t₂ – корни квадратного уравнения (2), то система (1) имеет симметрические решения: (t₁ ; t₂) и (t₂ ; t₁) и не имеет других решений.

4) Приведём пример:

x + y = 5,
xy = 6 (1) , получим уравнение

t² – 5t + 6 = 0

t₁ = 2; t₂ = 3.

Отсюда (2 ; 3) и (3 ; 2) – решения системы (1).

ТЕСТ

1) Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений:

x + y = 5,
2x – y² = 7.

А. (- 3 ; 2)

Б. (1 ; 4)

В. (4 ; 1)

Г. (8 ; 3)

Ответ: В.

2) Укажите значение x₁ + y₁, где x₁ и y₁ – решение системы:

x – y = 2,
2x + y = 1

А. 2

Б. 1

В. -3

Г. 0

1) I + II получаем:

3x = 3

x = 1.

2) 1 – y = 2

1 – 2 = y

y = - 1.

3) x₁ + y₁ = 1 + (- 1) = 0.

Ответ: Г.

3) Укажите значение произведения x₁y₁; где (x₁ ; y₁) – решение системы

x + y = 1,
x² – y² = 5

А. 12

Б. - 12

В. 6

Г. - 6

x + y = 1,
(x + y) (x – y) = 5

x + y = 1,
x – y = 5

1) I + II получаем:

2x = 6

x = 3.

2) 3 + y = 1

y = 1 – 3

y = - 2

3) x₁y₁ = 3* (- 2) = - 6

Ответ: Г.

4) Определите, сколько решений имеет система уравнений

y = 1/ x,
y - 2x = 0

воспользуйтесь графиками функций

А. 2

Б. 1

В. 0

Г. 3

Ответ: А.

5) Решите систему уравнений:

3x + 5y = 12,
3x - 2y = 5

1) I – II получаем:

7y = 7

y = 1.

2) 3x + 5*1 = 12

3x = 12 – 5

3x = 7

x = 7 / 3.

Ответ: (7/3 ; 1).

Проверка теста осуществляется сперва в группах, а затем каждый член группы выбирает одно из заданий и защищает его решение от всей группы перед учителем или у доски. Оценку в лист ответов ставит командир группы, сам ученик, затем учитель.

Самостоятельная работа по трём уровням сложности, задания выбирают сами учащиеся (из рабочей тетради авторов В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина “Алгебра. Тестовые задания к основным учебникам” Москва Эксмо 2008 г).

В ходе самостоятельной работы учащиеся пытаются набрать максимальное количество баллов.

(Стр. 32) № 13, 9.

(Стр. 31) № 3, 5.

Работа № 7 (задание 4).

Итог урока:

Игра “Переставляшки”

Каждой команде выдаётся по два листочка со словами, в которых буквы перемешаны, их задача расшифровать загаданные слова.

1. Что повторили и обобщили?
2. Что нового узнали на уроке?
3. Понравилась ли работа в группах?

Учитель: Мы сегодня на уроке обобщили, и расширили свои знания по теме: “Системы уравнений второй степени с двумя переменными”, узнали новое о видах систем и способах решения. Тема очень важна для изучения алгебры не только в 9-м, но и в 10–11-м классах.

Умение быстро, рационально, правильно решать системы уравнений облегчает прохождение других тем, таких как:

• решение текстовых задач в курсе алгебры и курсе геометрии, в которых по условию можно составить систему уравнений;
• решение задач по темам: “Арифметическая прогрессия”, “Геометрическая прогрессия”;
• решение тригонометрических уравнений и неравенств, их систем;
• решение показательных и логарифмических систем уравнений;
• решение сложных смешанных систем.

В экзаменационных работах в курсе 9-го класса (по старой и новой форме итоговой аттестации), а также в ЕГЭ по математике в 11-м классе системы уравнений представлены достаточно широко на трёх уровнях сложности заданий.

А теперь заполните лист оценки вашей домашней и классной работы. (Самооценка и оценка старшего группы).

Далее идёт краткое обсуждение работы в группах.

Домашнее задание:

Три системы по выбору учащихся, каждую решить разными способами решения. Уровень сложности выберите сами.