Урок обобщения и расширения знаний по теме "Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными"

Разделы: Математика

Цели урока:

Образовательные:

  • Обобщить, расширить и систематизировать знания учащихся по теме урока;
  • Повторение, обработка способов решения систем уравнений;
  • Знакомство с простейшими симметрическими системами уравнений;
  • Выработка умений выбрать нужный способ решения, умений решать поставленную проблему поиска способа решения.

Развивающие:

  • Развитие логического мышления, памяти, внимания;
  • Развитие мыслительных операций, общеучебных умений: сравнивать, обобщать, искать аналогию.

Воспитательные:

  • Воспитание трудолюбия;
  • Воспитание математической культуры;
  • Воспитание взаимопомощи;
  • Воспитание умения работать в команде, сотрудничать в обучении;
  • Воспитание ответственности;
  • Воспитание умения оценивать свои знания, давать оценку другим.

ХОД УРОКА

I. Этап мотивации, постановки задач и целей урока.

Учитель совместно с учащимися определяет цели и задачи урока, важность изучения темы.

II. Устная работа.

Задания команде “Дружба”: Какие уравнения называются уравнениями с двумя переменными? Дайте понятие системы уравнений с двумя переменными. Что называют решением системы уравнений? Всегда ли число переменных должно равняться числу уравнений? Что значит “решить систему”?

Задания команде “Поиск”: Дать определения совместной и несовместной систем уравнений. Дать определения определённой и неопределённой системы. Какие две системы называются равносильными? Какая есть теорема о равносильности систем уравнений? Какое существует следствие из этой теоремы?

Презентация группы № 1
Теоретики”: “Способы решения систем уравнений с двумя переменными”

Автор презентации: Олейник Сергей.
(по материалам “Виртуальной школы Кирилла и Мефодия”,
алгебра 9 класс “Системы рациональных уравнений”.)
Сопровождается презентация выступлениями членов группы “Теоретики”.

1 участник группы: Метод подстановки

Метод подстановки заключается в следующем: Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором “y” выражено через “x” (или “x” через “y”). Полученное выражение подставляют вместо “y” (или вместо “x”) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной. Находят корни этого уравнения. Воспользовавшись выражением из первого шага, находят другие соответствующие значения “x” (или “y”).

Возможные риски (по нашим наблюдениям):

1. Если сворачивали уравнение по формулам квадрата разности или суммы, то мы, избавляясь от квадрата, теряли отрицательный корень. Например: (x – 3)2 = 16, отсюда

x – 3 = 4 , а правильное решение

(x – 3)2 = 16,

x – 3 = ±V16,

x – 3 = 4 или x – 3 = – 4.

2) Теряли последний 3-й шаг.

3) Решая уравнение относительно переменной “y” в формуле корней квадратного уравнения по привычке писали “x1,2” вместо “y1,2”.

4) Записывали в ответ не те пары чисел.

2 участник группы “Теоретики”
Я напомню суть метода сложения на конкретном примере: № 262 (а)

x2 – y2 = 14,
x2 + y2 = 18

2 x2 = 32

x2 = 16

x = ± 4

Исходная система равносильна совокупности двух систем:

1)

x = 4,
42 + 2y2 = 18
2y2 = 18 – 16

2y2 = 2

y2 = 1

y = ± 1

(4 ; 1) (4 ; – 1).

2)

x = – 4 ,
(– 4)2 + 2y2 = 18
2y2 = 18 – 16

y2 = 1

y = ± 1

(– 4 ; 1) (– 4 ; – 1).

Ответ: (4 ; 1), (4 ; – 1), (– 4 ; 1), (– 4 ; – 1).

3 участник группы “Теоретики”
Я напомню суть графического метода сложения

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отысканию координат общих точек графиков уравнений, построенных в одной системе координат.

4 участник группы “Теоретики”

Если система содержит 3 и более уравнений, то применяют для её решения Метод Гаусса – т.е. метод исключения неизвестных и построения системы, имеющей ступенчатый вид.

Учитель:

Группа № 1 предлагает вам задания, которые решают графическим способом (на столах листочки с нарисованной системой координат, доски).

1) Cтр. 35. № 2.

Решите систему уравнений:

y = x2 - 4x + 3,
y = x - 1

Решение:

Графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: (1 ; 0 ; 4 ; 3).

2) Cтр. 35. № 3.

Указать систему уравнений, которая не имеет решения.

А.

y = x2 - 2,
y = - x + 6

Б.

y = x2 - 2,
y + 5 = 0

В.

y = x2 - 2,
x + 5 = 0

Г. Все три указанные системы

Ответ: Б.

3) Cтр. 36. № 6.

Из данных уравнений подберите второе уравнение системы

y = 2 / x
... , так чтобы система имела 2 решения.

А. y = - x

Б. y = - x2

В. y = x

Г. y = x2

Ответ: В. y = x

y = 2 / x,
y = x.

4) Из части II (стр. 41). № 18.

Используя графики функций y = x3 и y = - x2 – 2, укажите число решений системы уравнений:

y - x3 = 0,
y + x2 + 2 = 0.

Решение:

y - x3 = 0, y = x3 кубическая парабола,

y + x2 + 2 = 0, y = - x2 – 2 парабола, ветви вниз, вершина (0 ; - 2).

Ответ: решение 1).

Группа “Поиск”.
Наша группа кратко поделится с вами о симметрических системах уравнений

1) Многочлен называется симметрическим, если P (x ; y) = P (y ; x). Например: x2 + y2; x + y; xy; x2 + xy + y2; x2y + yx2; x3 + xy + y3; x3 + y3; x5 + y5.

2) Система уравнений

P (x ; y) = 0,
Q (x ; y) = 0

называется симметрической, если оба многочлена P (x ; y) и Q (x ; y) являются симметрическими многочленами.

3) Простейшие системы вида:

x + y = а, 
xy = b (1)

решаются с использованием обратной теоремы Виета, с переходом к уравнению t2 – at + b = 0 (2).

Система (1) и уравнение (2) связаны следующим образом: если t1 и t2 – корни квадратного уравнения (2), то система (1) имеет симметрические решения: (t1 ; t2) и (t2 ; t1) и не имеет других решений.

4) Приведём пример:

x + y = 5,
xy = 6 (1) , получим уравнение

t2 – 5t + 6 = 0

t1 = 2; t2 = 3.

Отсюда (2 ; 3) и (3 ; 2) – решения системы (1).

    ТЕСТ

1) Какая из перечисленных пар чисел является решением системы уравнений:

x + y = 5,
2x – y2 = 7.

А. (- 3 ; 2)

Б. (1 ; 4)

В. (4 ; 1)

Г. (8 ; 3)

Ответ: В.

2) Укажите значение x1 + y1, где x1 и y1 – решение системы:

x – y = 2,
2x + y = 1

    А. 2

    Б. 1

    В. -3

    Г. 0

1) I + II получаем:

3x = 3

x = 1.

2) 1 – y = 2

1 – 2 = y

y = - 1.

3) x1 + y1 = 1 + (- 1) = 0.

Ответ: Г.

3) Укажите значение произведения x1y1; где (x1 ; y1) – решение системы

x + y = 1,
x2 – y2 = 5

    А. 12

    Б. - 12

    В. 6

    Г. - 6

x + y = 1,
(x + y) (x – y) = 5

x + y = 1,
x – y = 5

1) I + II получаем:

2x = 6

x = 3.

2) 3 + y = 1

y = 1 – 3

y = - 2

3) x1y1 = 3* (- 2) = - 6

Ответ: Г.

4) Определите, сколько решений имеет система уравнений

y = 1/ x,
y - 2x = 0

воспользуйтесь графиками функций

    А. 2

    Б. 1

    В. 0

    Г. 3

Ответ: А.

5) Решите систему уравнений:

3x + 5y = 12,
3x - 2y = 5

1) I – II получаем:

7y = 7

y = 1.

2) 3x + 5*1 = 12

3x = 12 – 5

3x = 7

x = 7 / 3.

Ответ: (7/3 ; 1).

Проверка теста осуществляется сперва в группах, а затем каждый член группы выбирает одно из заданий и защищает его решение от всей группы перед учителем или у доски. Оценку в лист ответов ставит командир группы, сам ученик, затем учитель.

Самостоятельная работа по трём уровням сложности, задания выбирают сами учащиеся (из рабочей тетради авторов В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина “Алгебра. Тестовые задания к основным учебникам” Москва Эксмо 2008 г).

В ходе самостоятельной работы учащиеся пытаются набрать максимальное количество баллов.

(Стр. 32) № 13, 9.

(Стр. 31) № 3, 5.

Работа № 7 (задание 4).

Итог урока:

    Игра “Переставляшки”

Каждой команде выдаётся по два листочка со словами, в которых буквы перемешаны, их задача расшифровать загаданные слова.

ЯНЕШРЕИ (решения)
ДЕМЫТО (методы) 		ЖЛЕНОСЕЙ (сложение)
ПОСНОТАДАКВ (подстановка)		 МАНЕАЗ (замена)
КАФИРИГ (графики)
  1. Что повторили и обобщили?
  2. Что нового узнали на уроке?
  3. Понравилась ли работа в группах?

Учитель: Мы сегодня на уроке обобщили, и расширили свои знания по теме: “Системы уравнений второй степени с двумя переменными”, узнали новое о видах систем и способах решения. Тема очень важна для изучения алгебры не только в 9-м, но и в 10–11-м классах.

Умение быстро, рационально, правильно решать системы уравнений облегчает прохождение других тем, таких как:

  • решение текстовых задач в курсе алгебры и курсе геометрии, в которых по условию можно составить систему уравнений;
  • решение задач по темам: “Арифметическая прогрессия”, “Геометрическая прогрессия”;
  • решение тригонометрических уравнений и неравенств, их систем;
  • решение показательных и логарифмических систем уравнений;
  • решение сложных смешанных систем.

    • В экзаменационных работах в курсе 9-го класса (по старой и новой форме итоговой аттестации), а также в ЕГЭ по математике в 11-м классе системы уравнений представлены достаточно широко на трёх уровнях сложности заданий.

А теперь заполните лист оценки вашей домашней и классной работы. (Самооценка и оценка старшего группы).

Далее идёт краткое обсуждение работы в группах.

Домашнее задание:

Три системы по выбору учащихся, каждую решить разными способами решения. Уровень сложности выберите сами.