Лабораторно-практическое занятие с элементами исследования по темам "Прямая Эйлера" и "Окружность Эйлера"

Оборудование:

1. Портрет Л. Эйлера над доской.
2. Два плаката:
   «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, это наш общий учитель» (Лаплас)
   «Изучение работ Эйлера остаётся наилучшей школой в различных областях математики, и ничто другое не может это заменить» (К. Гаусс)
3. На стенде цитаты, оценивающие научную деятельность Эйлера.
4. Выставка книг, брошюр, статей, журналов, из которых взят материал.

Цели:

1. Формирование осознания того, что познание безгранично, что за каждым открытием стоит титанический человеческий труд.
2. Иллюстрация математического факта при выполнении лабораторно-практической работы.
3. Развитие умения выдвигать и проверять гипотезы; предположения при рассмотрении вопросов из «геометрии треугольника»: прямая Эйлера, окружность Эйлера. Развитие познавательных способностей учащихся, наблюдательности и активизация их учебной деятельности исследовательского характера.
4. Воспитание культуры математической мысли; культуры геометрических построений.

Ход урока

1. Вступительная часть. Сценка (страница жизни Л. Эйлера).
2. Актуализация знаний.
3. Практическая работа №1 «Прямая Эйлера».
4. Доказательство теоремы.
5. Решение задачи.
6. Практическая работа №2 «Окружность Эйлера».
7. Подведение итогов.

1. Вступительное слово учителя.

В какой-то мере каждый человек способен к творчеству. Однако мера творческих способностей для различных людей различна.

Необходимо направлять сознание на поиск лучшего, более совершенного; развивать чувство неудовлетворённости уже достигнутым; воспитывать в себе привычку к систематическому напряжённому самостоятельному труду.

"Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта, - совокупности идей, подобно совокупности красок или слов, должно обладать внутренней гармонией. Красота есть первый пробный камень для математической идеи, в мире нет места уродливой математике". (Английский математик Годфри Гарольд Харди.)

Сценка.

1 ученик. Стенные часы пробили половину третьего. Их удар, раздавшийся в ночной тиши, заставил взрогнуть так же, как выстрел крепостной пушки в полдень. Эйлер встал из-за стола. Комната была погружена во мрак, Свет единственной свечи стоявшей на столе и заботливо прикрытой абажуром, освещал лишь небольшой заваленный бумагами круг.

2 ученик. Несколько шагов по мягкому ковру, несколько взмахов руками. Ломило грудь, ныла поясница, несколько раз мучительно резко потянуло в глазу. Откуда такие немощи? Это в двадцать- то восемь лет! На какой- то миг пронзительно захотелось бросить всё и залечь сурком в тёплую мягкую постель. И отоспаться за все долгие-долгие бессонные ночи. Но это невозможно.

3 ученик. Смешно говорить о честолюбии, но именно оно явилось причиной этой изнурительной спешки. Работа была трудной, даже для него, привыкшего считать безделками то, перед чем другие в бессилии опускали руки. Цифры, цифры, цифры… Колонки цифр, страницы цифр, стопки исписанных страниц. Выкладки и ещё выкладки…

4 ученик (Эйлер). Честь, моя честь, честь ученого, поставлена на карту. Надо за трое суток выполнить, важное правительственное задание, выполнить во что бы то ни стало. Почему я так опрометчиво дал это обязательство? Просили же другие несколько месяцев! Работа и вправду оказалась трудной, но чем труднее, тем заманчивее. Это вызов уму, человеческому уму. Вызов должен быть принят, брошенная перчатка должна быть поднята. Иначе ты окажешься трусом, умственным трусом, что едва ли не хуже, чем быть трусом в поединке по поводу оскорблённой чести.

5 ученик. Математик перчатку поднял. Работа была трудной, но она была и чрезвычайно захватывающей, настолько захватывающей, что математик, забывая о сне и еде, весь отдавался во власть чарующей гармонии строгих и последовательных зависимостей. И снова цифры, формулы, цифры… Эйлер потёр глаз ладонью. Боль, кажется, немножко утихла.

4 ученик (Эйлер). Это – моя жизнь. Без наслаждения музыкой математики она не имеет смысла. Как хорошо сказал кто-то из старых геометров – жизнь хороша тем, что в ней можно заниматься математикой. Как бы порой и не хотелось бросить всё и не думать о гвоздём засевших в голове вопросах…

6 ученик. Работа была окончена в срок. Но оставила после себя страшный, чудовищный след – глаз, его правый глаз, так мучительно нывший в последнее время, не выдержал сверхчеловеческого напряжения и вытек. Но математик не перестал вычислять. А когда вычислять стало уже нельзя, прекратилась и жизнь. После его смерти сказали так: Эйлер перестал вычислять и жить. Именно так – вычислять, а поэтому и жить.

7 ученик. Это был один из величайших математиков всех времен. Родился он в самом начале XVIII ст. в Швейцарии, но почти половину своей долгой жизни прожил в России. Здесь он умер, здесь и покоится его прах. Мы по праву называем Эйлера отечественным математиком.

2. Актуализация знаний.

Каждому ученику предлагается лист с задачами по готовым чертежам для устной работы. Актуализируются следующие знания:
а) признаки подобия треугольников;
б) медианой является множество точек, которое состоит из середин отрезков, параллельных стороне, к которой она проведена;
в) в подобных треугольниках сходственным сторонам пропорциональны:

• сходственные высоты;
• сходственные биссектрисы;
• сходственные медианы;
• сходственные средние линии;
• произвольные сходственные отрезки.

3. Практическая работа №1. (Прямая Эйлера).

1. На доске построен прямоугольный треугольник. ABC с прямым углом С.

Учитель на данном чертеже строит:

1. Н – точку пересечения высот (совпала с точкой С);
2. О – точку пересечения серединных перпендикуляров;
3. М – точку пересечения медиан.

В результате построения наблюдаем, что точки Н(С), М, О лежат на одной прямой.

Как расположены эти точки в остроугольном и тупоугольном треугольниках?

2. Ученикам предлагается провести практическую работу на альбомных листах.

I варианту предлагается остроугольный треугольник;

II варианту – тупоугольный треугольник.

Необходимо построить (алгоритм построения):

1. точку пересечения серединных перпендикуляров (О);
2. точку пересечения медиан (М);
3. точку пересечения высот (Н).

Вопросы учителя:

1. Как расположены эти точки?
2. Сформулировать свое предположение, свою гипотезу относительно расположения этих точек?
3. Измерить отрезки НМ и ОМ, сравнить эти отрезки.

Учителю в начале дискуссии желательно «посеять» сомнения. Для этого нужно найти ту работу, в которой точки не лежат на одной прямой.В результате анализа результатов практической работы ребята приходят к выводу, что в большинстве работ эти три точки лежат на одной прямой(прямой Эйлера), но для того чтобы убедиться в истинности данного утверждения, нужно его доказать.

Впервые эта задача была решена Эйлером в 1765 г. и послужила началом так называемой "геометрии треугольника".

Перед тем, как приступить к доказательству, используя практическую работу, предлагается ответить на вопрос. Какие стороны пересекает прямая Эйлера: а) в остроугольном треугольнике (наибольшую и наименьшую), б) в тупоугольном треугольнике (наибольшую и среднюю)?

4. Доказательство того факта, к которому пришли в результате выполнения практической работы №1.

Доказать, что в любом треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой (прямой Эйлера).

Дано: М – точка пересечения медиан; Н – точка пересечения высот; О – точка пересечения серединных перпендикуляров. Доказать: О, М, Н лежат на одной прямой.

Доказательство.

1. Построим средние линии ∆АВС

2.

3.

4. ∆ОМС₁~∆ОСН (к=½)

Против СН лежит <СМН, против С₁О лежит <С₁МО

<СМН = <С₁МО

5.

СС1 – медиана, => <СМН = <С1МО

О,М,Н лежат на одной прямой.

Итак,

1. О, М, Н лежат на одной прямой;
2. ОМ : МН=1:2
3. Точка М лежит между О и Н

Удивительно, как математик, двигавший вперёд всю математику XVIII в., заметил маленький бриллиантик, который проглядели великие греки. Приведем замечательную теорему, которую можно найти во многих книгах по элементарной геометрии.

5. Задача из сборника олимпиадных задач, в которой используется понятие «прямая Эйлера».

Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана, т.е. а<b<c <=> m_a<m_b<m_c

Дано: ВС>АС Доказать: АА1<ВВ1

Доказательство:

М – точка пересечения медиан;

О – точка пересечения серединных перпендикуляров;

Н – точка пересечения высот

М, О, Н лежат на прямой Эйлера

6. Практическая работа №2 . Окружность Эйлера.

Ученикам предлагается выполнить практическую работу на трёх альбомных листах. На первом листе дан остроугольный треугольник, нужно построить окружность Эйлера. На втором листе дан прямоугольный треугольник, построить окружность Эйлера. На третьем листе дан тупоугольный треугольник, построить окружность Эйлера.

Построение окружности Эйлера выполнить по алгоритму:

1. Н – точка пересечения высот треугольника АВС;
2. Три точки Н₁, Н₂, Н₃ – основания высот;
3. Три точки М₁, М₂, М₃ – середины сторон;
4. Три точки К₁ – середина АН;
   К₂ – середина ВН;
   К₃ – середина СН.

Цветным карандашом отмечено 9 точек: Н₁, Н₂, Н₃, М₁, М₂, М₃, К₁, К₂, К₃.

Вопросы учителя:

1. Как расположены эти точки?
2. Сформулируйте свое предположение, свою гипотезу?

Ученики должны придти к формулировке следующего утверждения: «В произвольном треугольнике основания высот, основания медиан (середины сторон), а так же середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот треугольника с его вершинами, лежат на одной окружности. Эту замечательную окружность иногда называют окружностью Эйлера (окружностью 9 точек) ».

Ученикам сообщается, что центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанного круга. Радиус круга девяти точек равен R/2, гдеR - радиус круга, описанного около треугольника ABC. Построить окружность Эйлера. Практическим путем ученики пришли к открытию этого факта, доказательство будет рассмотрено позже.

7. Заключение.

1. На уроке мы прикоснулись к деятельности научного сотрудника, занимались научным поиском, исследовательской работой.
2. Построили некоторые замечательные точки треугольника. Одни лежат на прямой Эйлера, другие - на окружности Эйлера.
3. Нобелевский лауреат Жорес Алферов на встрече со студентами Московских вузов говорил: «Я призываю Вас быть научными сотрудниками: это приближает к Богу».
4. Совершенствуйте правление и устройство своего государства так, чтобы была такая атмосфера, как во времена Петра I: в Россию ехали итальянцы, голландцы, французы, испанцы; работали здесь, реализовывали свои способности, свой талант, обогащали страну, приносили ей славу. Так Л.Эйлер, швейцарец по происхождению, работал во славу России более 30 лет. Он по праву считается русским математиком, его прах покоится в Санкт-Петербурге.
5. Несомненно, Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времен. В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона, Декарта, Галилея. Он был не только математиком, но и физиком, и астрономом. Его труды оказали огромное влияние на развитие этих наук. Хотя он потерял в 1735г. один глаз, а в 1766г. – второй, ничто не могло ослабить его огромную продуктивность. Слепой Эйлер, пользуясь своей феноменальной памятью, продолжал диктовать свои открытия. В течение его жизни увидели свет 530 его книг и статей; умирая, он оставил много рукописей, которые Петербургская академия публиковала в течение последующих 47 лет. Огромная продуктивностьЭйлера была и остаётся поводом для изумления и восхищения каждого, кто пытался изучать его труды,- задача не столь трудная, как это кажется, так как латынь Эйлера очень проста и его обозначения почти современны,- пожалуй, было бы лучше сказать, что наши обозначения почти эйлеровы! Большие математики всегда признавали, что они обязаны Эйлеру многим. Самым лучшим делом было бы издать переводы некоторых трудов Эйлера с современными комментариями.

«В геометрии принимают, что при движении точки описывается линия" (Л. Эйлер)