Урок алгебры в 10-м классе "Решение тригонометрических уравнений"

Разделы: Математика

Цели урока:

Главная цель: Развитие интеллекта и мышление ребенка

Обучающие:

  • Применение различных способов решения уравнения sinx +cosx=1;
  • Знакомство с новым способом решения уравнения, через введение вспомогательного угла;
  • Формирование умений применять полученные знания по математике на уроках физики, музыки, геометрии, т.е. формирование целостного мировосприятия:
  • Отработка у учащихся приемов учебно-познавательной деятельности;
  • Активизирование личностного смысла учащихся к изучении темы.

Развивающие:

  • Развитие творческих способностей и познавательного интереса;
  • Развитие самостоятельности учащихся в выборе способа решения уравнения sinx +cosx=1;
  • Развитие общекультурного уровня устной речи учащихся;
  • Развитие навыков самостоятельности и работы в группах.

Воспитательные:

  • Воспитание воли и настойчивости в достижении конечного результата;
  • Стимулирование любознательности, творческой деятельности;
  • Критичности мышления;
  • Сознательное отношение к учебе и коммуникативных умений

Задачи урока:

  • Организовать деятельность учащихся по обобщению и систематизации знаний решения тригонометрических уравнений через решения уравнения вида sinx +cosx=1;
  • Развивать интерес учащихся к занятию, придав ему проблемно-исследовательский характер, что отвечает личностным интересам и потребностям учащихся;
  • Развивать потребность в исследовательской деятельности.

Оборудование:

  1. Листы опорных знаний.
  2. Магнитная доска.
  3. Прибор для показа колебания упругой пружины.
  4. Электрический колебательный контур (электрическая цепь: конденсатор С, катушка индуктивности L).
  5. Гитара.

Основные этапы урока

  1. Организационный момент (2 мин.)
  2. Актуализация опорных знаний и умений (5 мин.)
  3. Решение уравнения sinx + cosx=1; (6 способов) (15 мин.)
  4. Знакомство с новым способом: введение вспомогательного угла (15 мин.)
  5. Подведение итога урока и постановка домашнего задания (3 мин.)

ХОД УРОКА

Лучше всего продвигается   естественное исследование,
когда физическое завершается в математическом
Ф.Бэкон (1561-1626)
английский философ

1. Организационный момент.

Задача этапа: Создать у учащихся рабочий настрой и обеспечить деловую обстановку в классе.

Метод обучения: словесный.

Форма обучения: коллективная.

Деятельность учителя: Приветствие учащихся. Цитирует эпиграф. Сообщает тему урока: “У нас сегодня урок одного уравнения. Вам было дано задание на дом найти, как можно способов решения уравнения sinx + cosx=1. Работа велась в группах. Мы проверим, чья группа нашла больших способов решения этого уравнения уравнений и познакомимся со способом решения уравнения через введение вспомогательного угла, понятие которого используется в гармонических колебаниях, т.е. тем самым установим связь с физикой и музыкой.

Деятельность учащихся:

Приветствуют учителя. Слушают. Записывают тему урока.

2. Актуализация опорных ЗУН.

На этапе актуализации знаний происходит воспроизведение и коррекция необходимых знаний и умений.

Ребята, предложившие свой способ, проходят к доске и решают. В это время проводится программированный контроль ЗУН по решению простейших уравнений:

1 вариант

№ 1. Решить уравнение: sinx =

1) (-1)k + 2Пk; k Є Z 2) (-1)k + Пk; k Є Z 3) (-1)k+1 + Пk; k Є Z 4) + 2Пk; k Є Z

№ 2. Решить уравнение: cos = -1

1) х= 2П+ 4Пп, пЄZ; 2) 4Пп пЄZ ; 3) ± Пп, пЄZ ; 4) +Пп, пЄZ

№ 3. Решить уравнение tg(x - ) =

1) П/6 +Пп, пЄZ ; 2) П/6 +2Пп, пЄZ; 3) 2П +4Пп, пЄZ ; 4) П/2 + Пп, пЄZ

2 вариант

№ 1. Решить уравнение: sinx = -

1) (-1)kП/4 + 2Пk; k Є Z ; 2) (-1)kП/4 + Пk; k Є Z ; 3) (-1)k+1П/4 + Пk; k Є Z; 4) П/4 + 2Пk; k ЄZ

№ 2. Решить уравнение: cos = 1

1) х= 2П+ 4Пп, пЄZ 2) 4Пп, пЄZ 3)±Пп, пЄZ 4) П/2 +Пп, пЄZ

№ 3. Решить уравнение tg(x - ) = -

1) П/6 +Пп, пЄZ ; 2) П/6 +2Пп, пЄZ ; 3) 2П +4Пп, пЄZ ; 4) П/2 + Пп, пЄZ

Задача этапа:

Стимулировать практическую деятельность учащихся по применению и закреплению ЗУН при решении уравнения sinx +cosx=1

Поддерживать учащихся, проявлять и развивать свои способности, обеспечивать успешное протекание процессов самопознания и самореализации (осознанное восприятие материала)

3. Решение уравнения sinx +cosx=1.

Задача этапа: продолжить формирование мотивации учения учащихся, закрепляя уверенность в себе: “Я умею - я знаю - я могу”. Формирование целостного мировосприятия

Методы обучения: словесный, частично-поисковый.

Форма обучения: групповая, коллективная и индивидуальная.

Аукцион идей (каждая группа как можно больше предлагает способов решения).

Осуществляется самоконтроль и взаимоконтроль. Обращение к имеющимся знаниям детей, понятийность через интерес самих детей. Выслушивание различных точек зрения. Учащиеся учатся слышать друг друга, уступать или отстаивать свою точку зрения. Данная форма работы побуждает и развивает у ребят исследовательский инстинкт, развивает способность анализировать, обобщать, выделять главное.

Предложив способ решения – учащийся выходит к доске и решает самостоятельно.

1 способ (разложением на множители)

sinx +cosx=1 (используя формулы двойного угла)

2sin cos +cos2 – sin2 = cos2 + sin2

2sin(cos – sin ) =0

Ответ:

Х = П/2 + 2Пп; х= 2Пп, п Є Z

2 способ (приведение к однородному уравнению второй степени)

sinx +cosx=1

sinx + (cosx-1) =0 sinx - (1-cosx) =0; 2sincos - 2 sin2 = 0

2sin(cos – sin ) =0

Ответ: х = П/2 + 2Пп; х= 2Пп пЄZ

3 способ (преобразование суммы тригонометрических функций в произведение)

sinx +cosx=1

cosx = sin(П/2 –x); sinx + sin(П/2 –x) = 1

2sin ·cos = 1; cos(x - П/4) = Ответ:х = П/2 + 2Пп; х= 2Пп пЄZ

4 способ (выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка)

sinx + cosx =1

Sinx = ; cosx = Используя эти формулы получим:

Ответ: х = П/2 + 2Пп; х= 2Пп пЄZ

5 способ (возведение в квадрат обеих частей уравнения)

sinx +cosx=1 (при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, необходима проверка)

2sinx cosx = 0 х = П/2 + Пп; х= Пп пЄZ

Проверка корней:

х = П/2 + Пп х= Пп пЄZ

п=0 х= П/2 ; п=0 х=0

п=1 х = 3П/2 посторонний корень п=1 х=П посторонний корень

п=2 х = П/2 + 2Пп; п=2 х=2П

п=3 х=3П посторонний корень

Ответ: Х = П/2 + 2Пп; х= 2П пЄZ

6 способ (введение вспомогательного угла)

Сообщение учащегося, увлекающегося физикой:

Тригонометрические функции широко применяются в математике, физике, технике. Такие процессы как колебание пружины, колебание маятника, напряжение в цепи переменного тока описываются функцией, которая задается формулой у = Аsin (ωx +φ)

Например

1. Конец упругой пружины (точка Р) описывает колебательные движения зависимость координаты Р от времени t будет иметь вид х = Аsin (ωt +П/2) ω- коэффициент упругости пружины.

2. Электрический колебательный контур

Если взять электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора С и катушки индуктивности L и замкнуть, то по цепи пойдет ток, напряжение которого будет меняться со временем и эта зависимость будет иметь вид U = U0 sin (ωt +α)

Мы видим, что и эта зависимость выражается формулой вида у = Аsin (ωx +φ).

Сообщение учащегося, увлекающегося музыкой (гитара).

3. Чистый звуковой тон представляет собой колебание с некоторой постоянной частотой. Чистый тон можно представить в виде любой ноты. Наложение тонов - это любой аккорд. Высота звука зависит от октавы. Чем больше октава, тем выше звук. Чем ниже октава, тем ниже звук. Высота звука определяется частотой колебания Музыка, которую мы слышим, представляет собой наложение различных чистых тонов. Преобладание той или иной частоты (скажем, низких или высоких) связано с амплитудой соответствующих колебаний. На языке математики это означает, что любую периодическую функцию можно представить с наперед заданной точностью как сумму синусов. Этот замечательный факт обнаружил еще в XVIII веке Бернулли при решении задачи о колебании струны.

Учащиеся осмысливают практическую значимость, полезность приобретенных знаний и умений, происходит выявление личностного отношения через межпредметную связь.

Учитель:

Иногда на точку действует несколько сил, каждая из которых вызывает гармоническое колебание и при сложении их получается снова гармоническое колебание одной и той же частоты,т.е. если у = А1  sin (ωx +α1 ) и у = А2 sin (ωx +α2 ) и сложить данные функции, то получим: А1 sin (ωx +α1 ) + А2  sin (ωx +α2) = А3sin (ωx +φ)

Или

Итак, рассмотрим решение нашего уравнения sinx + cosx=1 данным способом, т.е через введение вспомогательного угла sinx +cosx=1.

Самоконтроль

При помощи введения вспомогательного угла данное тригонометрическое уравнение преобразовали к более простому. Восстановить правую часть.

Подведение итога урока и домашнее задание

Рефлексия

  • Сегодня на уроке я узнал, что…
  • Я прочитаю…
  • Мне понравилось…
  • Я бы хотел...

Дома: Решить задачу.

Определить углы прямоугольного треугольника, если длины его сторон являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Решить уравнения через введение вспомогательного угла.