Программа элективного курса по математике "Решение линейных, квадратных уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля" для учащихся 8–9-х классов в рамках предпрофильной подготовки

Пояснительная записка

Данный курс “Решение линейных, квадратных уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля” поддерживает изучение основного курса математики и способствует лучшему усвоению базового уровня математики.

Материал данного курса может использоваться на уроках в 8–9-х классах, дополнительных занятиях, в кружковой работе, также будет хорошим дополнительным материалом для подготовки к олимпиадам. Наряду с основной задачей обучения математике - обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых каждому члену современного общества, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету , выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии , существенным образом связанные с математикой . выбору профиля дальнейшего обучения.

Цели курса:

• восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса;
• создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;
• помочь осознать степень своего интереса к предмету;
• формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для жизни в современном обществе.

Задачи курса:

• научить учащихся преобразовывать выражения, содержащие модуль;
• научить решать уравнения и неравенства, содержащих переменную под знаком модуля;
• овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования;
• помочь ученику оценить свои возможности с точки зрения образовательной перспективы.

Данный курс рассчитан на 13 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу.

Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа, семинар. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

Программа может быть использована в 8-9 классах с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, мышления учащихся, представляет возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения.

Учебно-тематический план

Содержание курса и методические рекомендации по его изучению

Общие сведения о модуле. Преобразование выражений, содержащих модуль (1 ч)

Краткое изложение содержания элективного курса. Акцентировать внимание на том, что учащимся предстоит изучить модуль более глубоко. Общие сведения о модуле. Дать геометрическую интерпретацию модуля. Выполнение тренировочных упражнений в преобразование выражений, содержащих модуль, используя его определение:

׀х׀ ={ х ,если х>0,
         -х ,если х<0.

Решение линейных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля (2 ч)

При решении уравнений такого рода наиболее распространенным является метод, при котором знак модуля раскрывается на основании самого определения модуля.

– Решение уравнений вида ׀f(x)׀=׀g (x)׀.

Так как ׀a׀ =׀b ׀, если a=±b ,то ׀ f(x)׀= ׀g(x)׀ ↔ f (x)= ±g(x).

– Решение уравнений вида ׀f(x) ׀=g(x)

Уравнения данного вида имеет корни ,если g(x)≥0. Следовaтельно,

׀f(x)׀ = g(x) ↔ {f(x)=±g(x),
                         g(x)≥0

Поэтому достаточно решить два уравнения f(x)=g(x),f(x)= -g(x) и для найденных значеий х проверить справедливость неравенства g(x)≥0.

– Решение уравнений вида ׀f₁(x)׀ +׀f₂(x) ׀+ …+׀ f_n(x)׀ = g(x)

Нули каждой функции разбивают общую область определения на промежутки , в каждом из которых каждая из функций сохраняет постоянный знак. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, подлежащее решению. Объединение множества решений, найденных на всех частях области допустимых значений уравнения, составляет множество всех решений заданного уравнения.

Решение квадратных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля (3 ч)

При решении квадратных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля применяется тот же метод решения , что и при решении линейных уравнений в теме 2.

На занятиях особое внимание уделяется решению тренировочных упражнений, проверке самостоятельно решенных задач.

Решение линейных неравенств ,содержащих переменную под знаком модуля (3 ч)

В данной теме необходимо напомнить прежде всего одно свойство числовых неравенств:

Если а> b , a>0 ,b>0 , то а²>b².

Из этого следует ,что неравенства ׀f(x)׀≤a (где а≥0; при a <0 решений нет) и ׀f(x)≤׀g(x)׀ можно заменить равносильными им неравенствами f ²(x)- a² ≤ 0 и f²(x)- g²(x)≤ 0. Аналогичные рассуждения верны и для неравенств ׀ f(x)׀ ≥a , где a≥0,и ׀f(x) ׀≥ ׀g(x) ׀. Заметим, что неравенство ׀f(x)׀ ≥ a, где a<0, выполняется при любом значении x из области определения функции f.

Неравенство вида ׀f(x)׀ ≤ g(x) равносильно двум системам неравенств:

Аналогичные рассуждения верны и для неравенства ׀ f(x) ׀≥g(x).

При решении неравенств вида ׀f₁(x)׀ + ׀f₂(x)׀ + … + ׀f_n(x)׀ ≤ g(x) следует использовать тот же прием, что и при решении уравнений, содержащих сумму модулей нескольких функций.

Решение квадратных неравенств ,содержащих переменную под знаком модуля (3 ч )

При решении данных неравенств используется тот же метод ,что при решении линейных неравенств. На занятиях также особое внимание отводится решению тренировочных упражнений, самостоятельной работе.

Модуль в заданиях итоговой государственной аттестации (1 ч)

Рассмотреть решение заданий, содержащихся в вариантах итоговой аттестации. Обратить внимание на выполнение тестов и проверке самостоятельно решенных заданий.

Рекомендуемая литература

1. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8–9 классов:Учеб.пособие для учашихся и классов с углубленным изучением курса математики. – М.: Просвещение, 1992.
2. Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6–8-х классах: книга для учителя. – М.: Просвещение, 1984.
3. Егерман Е. Задачи с модулем. 9–10-е классы. / Математика. – № 23. – 2004. – С. 18–20.
4. Карп А.П. Сборник задач по алгебре для учащихся 8–9-х классов школ с углубленным изучением математики. – СПб.: Образование, 1993.
5. Коршунова Е. Модуль и вкадратичная функция. / Математика. – № 7. – 1998.
6. Скворцова М. Уравнения и неравенства с модулем. 8–9-е классы. / Математика. – № 20. – 2004. – С. 17.
7. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7–9-х кл. сред. шк. / Сост. И.Л.Никольская. – М.: Просвещение, 1991.