Программа элективного курса для 10-го класса по теме "Параметры в математике"

Разделы: Математика

Пояснительная записка

Курс рассчитан на 68 часов для учащихся 10-х классов, определивших собственный выбор пути дальнейшего образования. Элективный курс «Параметры в математике» дополняет и развивает школьный курс математики, кроме того, дает широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа.

Курс построен по модульному (блочному) принципу, что позволяет учащимся выбирать темы посещаемых занятий, хотя целесообразнее изучать курс полностью.

В курсе решаются и разбираются, и учителем и учащимися, большое число сложных задач, многие из которых понадобятся как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ.

Курс ориентирован на удовлетворение и поощрение любознательности старших школьников, на развитие их аналитических и синтетических способностей.

В процессе работы по изучению данного курса ученики овладевают новыми знаниями, развивают умения, связанные с работой с научной и справочной литературой.

Усвоение предметного содержания курса и сам процесс изучения его становятся средствами, которые обеспечивают переход от обучения к самообразованию.

Предлагаемый элективный курс соответствует современным целям общего образования, основным положениям концепции профильной школы, так как создает благоприятные возможности для развития творческих способностей учащихся и позволяет на основе интересного учебного материала освоить навыки самостоятельного проектного действия.

Основная цель курса

Целью данного курса является развитие представлений об исследовательской и проектной деятельности в математике через решение уравнений и неравенств с параметрами; расширение представлений школьников о математике и своих собственных возможностях (помочь ученикам проверить себя, ответить на вопросы: могу ли я, хочу ли я учить это, заниматься этим?); выработка умений самостоятельного применения изученных приемов и схем к решению уравнений различного уровня сложности, умений сделать выбор рационального способа решения; познакомить учащихся со спецификой видов деятельности, которые будут для него ведущими, если он совершит тот или иной выбор.

Задачи курса

  • Расширить сферу математических знаний учащихся.
  • Создать условия для формирования умений учащихся проводить математические исследования.
  • Привить навыки применения нестандартных методов рассуждения при решении задач.
  • Создать образовательное пространство для осуществления проектной деятельности учащихся, повышать информационную и коммуникативную компетентность учащихся.
  • Повысить уровень математической подготовки учащихся для успешной сдачи экзаменов.
  • Заинтересовать учащихся содержанием курса и убедить в практической необходимости владения способами решения задач с параметрами.
  • Развивать интерес к изучению собственно математики.

Примерный учебно-тематический план. (Приложение 1)

Содержание курса

Основное содержание курса составляют методы и приёмы решения задач, содержащих параметры, и существенное место на занятиях занимает решение таких задач и выполнение заданий, предусматривающих исследовательскую деятельность учащихся.

Основные содержательные единицы курса:

Вводное занятие:

1. Знакомство уч-ся с темами элективного курса, чем завершается спецкурс, организацией и проведением аттестации учащихся по завершении изучения курса;

2. Анкетирование уч-ся – диагностика ожидаемых результатов изучения курса:

Карта диагностики ожиданий учащихся

Вопросы

Ответы

Почему я выбрал этот курс?

 

Что я ожидаю от этого курса?

 

Чему хочу научиться, что узнать?

 

Имею ли я представление о решении задач с параметрами? Нужно ли мне это знать? Зачем?

 

Насколько я оцениваю свои способности решать задачи с параметрами? Готов ли я к решению задач данного типа?

 

Могу ли я изучать математику на повышенном и углубленном уровне?

 

Дополнительная информация

 

3. Определение параметра, его двойственная природа и так называемая «независимость» (неподчинение свойствам, вытекающим из условия задачи), примеры заданий с параметрами, что значит решить задачу с параметрами, «ветвление» решений, обоснование полученного ответа.

(ƒ (х,а) = 0 называется уравнением с параметром а и переменной х, если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х. Решить задачу с параметром а - это значит для каждого значения а найти значение х, удовлетворяющее этому уравнению.

Общая схема решения уравнения вида ƒ (х;а) = 0 :

1) Разбиение совокупности всех частных уравнений ƒ (х;а1) = 0 на непересекающиеся типы;

2) Поиск общих решений частных уравнений ƒ (х;а1) = 0 каждого типа;

В процессе разбиения частных уравнений выделяются:

  • Совокупность особых частных уравнений типа Ǿ - все ложные числовые равенства;
  • Совокупность особых частных уравнений типа ∞ - все истинные числовые равенства;
  • Тип неособых частных уравнений, не имеющих решение;
  • Типы (один или несколько) частных уравнений с одинаковыми общими решениями.

Задачи с параметрами носят исследовательский характер

  • тема для обсуждения: где я встречал задачи с параметрами, сколько решений может иметь задача с параметром, от чего зависит количество решений, что я об этом уже знаю, чего не знаю и не понимаю, какую проблему буду решать, что мне мешает решить эту проблему и т.д.?
  • задание для самостоятельной работы: подберите из школьных учебников по математике задания с параметрами, выделите из них наиболее легкие и наиболее трудные на ваш взгляд, обоснуйте свой выбор, попробуйте решить эти задания.

Линейные уравнения, содержащие параметры и модуль:

  • определение;
  • правила решения уравнения стандартного твида - исследование решения проводится с опорой на субъектный опыт учащихся;
  • уравнение с модулем и параметрами;
  • способы решения: аналитический и графический (комментарий: исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметрами настолько увлекают изучающих тему, что уч-ся начинают игнорировать другие способы решения, поэтому на начальной стадии изучения курса «опасно» начинать с графических приемов решения задач с параметрами);
  • исследование количества решений систем линейных уравнений, содержащих параметры;
  •  «собирание» ответа при решении задач с параметрами.

Общая схема решения уравнения вида ƒ (а)х + ĝ(а) = 0:

  • На числовой прямой отмечаются все значения параметра , для которых соответствующие частные уравнения не определены.
  • На области допустимых значений параметра исходное уравнение при помощи равносильных преобразований приводится к виду ƒ(а)х + ĝ(а) = 0.
  • Определяются контрольные значения параметра, для которых ƒ (а) = 0. В множестве таких значений выделяются подмножества А∞ =  │ƒ (а) = 0 , ĝ(а)= 0 - тип ∞, и АǾ =  │ƒ (а) = 0 , ĝ(а) ╪ 0 - Ǿ.
  • Для значений параметра из множества Ач =  │ƒ (а) ╪ 0 соответствующие частные уравнения принадлежат типу с общим решением х = .
  • тема для обсуждения: сколько решений может иметь линейное уравнение, содержащее параметр, от чего зависит количество корней такого уравнения?
  • примерные задания для самостоятельной работы:

Сколько решений в зависимости от параметра а имеют уравнения?

х – 1 = ах

ах – 3 = 5х + а

│х - 1│= ах

│х – 2│ + х = ах

││х│ - 2│ = а

│х - 5│ + │х - 3│= а

Найдите все значения параметра а, при которых уравнения имеют единственное решение:

│х + 3│= │2х - а│+1

3 - │2х - 3│= │х + а│

│х + 3│= а │х - 2│

При каких значениях параметра а корни уравнения │х – а2│= а2 + 2а + 3 имеют одинаковые знаки?

Решите графически уравнения:

 ах = 2

│х + 2│= а + 4

Решите двумя способами (графическим и аналитическим) уравнения:

 ах = │х│

│х +2│ = ах + 1

При каких значениях параметра а система *

имеет единственное решение?

Решите задачу:

В седьмом, восьмом и девятом классах учится 105 учащихся. В восьмом классе учащихся было на а больше, чем в седьмом, а в девятом - на 3 меньше, чем в седьмом. Сколько учащихся в каждом классе, если известно, что в каждом классе их не менее 30 человек? и т.д.

Выделите наиболее интересные для себя задания, наиболее трудные.

Подберите задания по теме, используя сборники для подготовки к ЕГЭ, другую справочную и научно-методическую литературу по математике,

Презентуйте выставку таких заданий, рассмотрите несколько способов решения выбранных вами заданий и прокомментируйте все «за» и «против» выбранного вами метода решения, защита своего способа решения (например рассмотреть три способа решения (аналитический; с использованием координатной плоскости(х;а); использование поворота прямой) задачи: определить количество решений уравнения │х + 2│ = ах + 1).

Составьте свои уравнения с параметрами, обоснуйте выбор.

Квадратные уравнения, содержащие параметры и модуль:

  • определение;
  • исследование квадратного трехчлена для решения квадратногоуравнения, содержащего параметры, теоремы Виета;
  • способы решения (замена переменной, метод разложения, геометрический способ);
  • исследование знаков корней квадратногоуравнения, содержащего параметры;
  • исследование расположения корней квадратногоуравнения на координатной прямой

Приложение (для исследовательской работы в группах) – занятие №15:

Задачи для групп:

Задача №1.
При каких значениях
параметра а оба корня
квадратного уравнения
А(а)х2 + В(а)х +С(а) = 0
больше заданного числа х0 ?

х1> х0 и х2 > х0

Задача №2.
При каких значениях
параметра а оба корня
квадратного уравнения
А(а)х2 + В(а)х +С(а) = 0
меньше заданного числа х0 ?

х1< х0 и х2 < х0

Задача №3.
При каких значениях
параметра а заданное
число х0 лежит
между корнями
квадратного уравнения
А(а)х2 +В(а)х +С(а) = 0

х1< х0 < х2

Задание каждой группе: составьте теорему для решения вашей задачи, отвечая на вопросы –

  • рассмотрите случаи
    А>0 и А<0
  • подумайте, что можно сказать о дискриминанте;
  • подумайте, что можно сказать о ƒ (х0);
  • сравните х0 и абсциссу вершины параболы;
  • сделайте вывод и запишите систему неравенств для решения вашей задачи.

Опорная схема:

Задача №1

- для того, чтобы оба корня квадратного уравнения были больше заданного числа х0 ( то есть лежали правее, чем точка х0, на координатной прямой), необходимо и достаточно выполнения условий

1. А ƒ (х0) >0 1. А ƒ (х0) <  0

2. D > 0 2. D > 0

3. (-в/(2а) > х0 3. (-в/(2а) > х0

Задача №2

для того, чтобы оба корня квадратного уравнения были меньше заданного числа х0 ( то есть лежали левее, чем точка х0, на координатной прямой), необходимо и достаточно выполнения условий

1. А ƒ (х0) >0 1. А ƒ (х0) <0
2. D > 0 2. D > 0
3. (-в/(2а)) < х0 3. (-в/(2а)) < х0

Задача №3 –

для того, чтобы заданное число х0 лежало между корнями квадратного уравнения необходимо и достаточно выполнения условий

1. А ƒ (х0) < 0 1. А ƒ (х0) > 0

- примерные задания для самостоятельной работы:

Решите уравнения:

х2 – (а + 1)х + а = 0

х2 – (а + 1)│х│ + а = 0

При каких значениях параметра а уравнение имеет действительные корни? Исследовать знаки корней :

(а – 1)х2 – (2а – 1)х + а + 5 = 0

При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения х2 + (2 - а)х - а = 3 наименьшая?

При каких значениях параметра а уравнения х2 – (2а + 1)х + а + 1 = 0 и 2х2 – (4а – 1)х + 1 = 0 имеют общий корень?

Решите двумя способами (графическим и аналитическим) уравнение:

х│х – 4│ – а = 0

При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения х2 + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?

Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения х2 – 6ах + (2 – 2а + 9а2) = 0 больше 3?

Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения (1 + а)х2 – 3ах + 4а = 0 меньше 1?

Найти все значения параметра а , при которых уравнение х2 – 6х + а =0 имеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7)

При каких значениях параметра а уравнение а = │х2 – 6х +8│ + │х2 – 6х + 5│ имеет более трех корней? и т.д.

  • проблемы для обсуждения: сколько решений может иметь квадратное уравнение, содержащее параметр, от чего зависит количество корней такого уравнения, какой способ решения лучший и почему, как могут быть расположены корни квадратного уравнения по отношению к заданному числу ...?
  • задания для поисково-творческой деятельности уч-ся: работа с рекомендованной литературой, изучение некоторых вопросов курса с последующей презентацией, решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решений, конструирование задач на изучаемую тему курса.

Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметры:

  • ОДЗ;
  • способы решения;
  • проблемы для обсуждения: чем отличается решение такого вида уравнения на ваш взгляд, какие дополнительные условия необходимы для решения, сущность проверки?
  • примерные задания для самостоятельной работы:

Решите уравнения:

*

Составьте уравнение с параметром а, которое при любом значении параметра не имеет корней (например 1/ах = 0).

Линейные неравенства, содержащие параметры и модуль:

  • определение линейного неравенства, правила решения, исследование решения;
  • контрольное значение параметра;
  • следование и равносильность;
  • проблема для обсуждения и решения : какие условия необходимы для того, чтобы неравенство имело решение?

Общая схема решения линейных неравенств вида ƒ (а)х + ĝ(а) < 0, содержащих параметры:

  • На числовой прямой отображаются все значения параметра (контрольные), для которых соответствующие частные неравенства не определены. Выделяются все промежутки допустимых значений параметра. Дальнейшее решение осуществляется на каждом из выделенных промежутков отдельно.
  • На каждом из выделенных промежутков исходное неравенство равносильными преобразованиями приводится к неравенству вида
    ƒ(а)х + ĝ(а) < 0. Значение параметра, для которых ƒ (а) = 0 определяет новое разбиение области допустимых значений параметра на промежутки.
  • В множестве  │ƒ (а) = 0 выделяются подмножества А∞ =  │ƒ (а) = 0 , ĝ(а)< 0 и АǾ =  │ƒ (а) = 0 , ĝ(а) ≥ 0.
  • На каждом из выделенных контрольными значениями параметра промежутков коэффициент ƒ (а) принимает значения одного и того же знака.

Примерные задания для самостоятельной работы:

Решите неравенства:

 2х + 5 ≤ ах + 3

а(х -1) + 4х – 9 >

│2х + 5│ ≤ ах + 3

5х – а > ах – 3

│х + 3│ > - а2

При каких значениях параметра а неравенство ах – 2 < а(3х – 1) не имеет решений?

  • Задания для поисково-творческой деятельности уч-ся: работа с рекомендованной литературой, изучение некоторых вопросов курса с последующей презентацией, решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решений, конструирование задач на изучаемую тему курса – пополнение дидактической копилки.

Неравенства второй степени, содержащие параметры:

  • примеры неравенств с параметром второй степени и способы их решения (комментарий: обратить особое внимание на метод интервалов – на примере задачи: найти все значения параметра а, при каждом из которых существует хотя бы одно значение х, удовлетворяющее условиям х2 + (5а + 2)х + 4а2 + 2а < 0 и х2 + а2 = 4, рассмотреть два способа решения);
  • исследование квадратного трехчлена для решения неравенств с параметром;
  • тема для обсуждения: какие условия необходимы для того, чтобы неравенство имело решение, от чего зависит количество решений неравенства, как найти целые решения неравенства?
  • задания для самостоятельной работы:

Решите неравенство:

(х – 3)2 < а

(х – а)(х – 5) ≤ 0

(х – а)│х – 5│ ≤ 0

х2 – (а +1)х + а ≥0.

Найдите все значения параметра а , при которых неравенство (х – 3а)(х – а – 3) < 0 выполняется при всех х, таких, что 1≤ х ≤ 3.

Подготовьте сообщение о решении неравенства с параметром.

Исследуйте решение неравенства (для желающих):

Пополните свою дидактическую копилку (выставка заданий и их решений по теме, защита своего способа решения).

Тригонометрические неравенства, содержащие параметры.

  • примеры тригонометрических неравенств с параметром и способы их решения;
  • исследование функции с помощью производной
  • ключевое утверждение «уравнение вида ƒ (х) = р имеет хотя бы один корень в том и только в том случае, когда р принадлежит множеству значений Е(ƒ) функции ƒ
  • вопросы для обсуждения: что нужно знать для решения задач такого рода, можно ли изменить порядок решения, что вызывает наибольшие затруднения?
  • задания для самостоятельной работы:

Найдите все значения параметра р, при которых уравнение 8sin3x = p – 7cos2x не имеет корней.

Найдите все значения р, при которых уравнение 4sinx + 9 = p( 1 + ctg2x) имеет хотя бы один корень.

При каких значениях параметра р уравнение р/sinx + cos2x = -7 имеет решения?

При какиз значениях параметра р значение выражения 3 + sinx(2 sinx+ р cosx ) * будет равно (-1) хотя бы при одном значении х?

Найти все значения параметра а , при которых уравнение sin8x + cos8x = а * имеет корни, и решить это уравнение.

Составьте уравнение с параметром а такое, чтобы при каком-то одном значении параметра корнем уравнения было любое действительное число, а при всех остальных значениях параметра не имело бы корней(например sin2x + cos2x= 0, а - 2sin2x = cos2x).

Для организации проектной деятельности учащихся проводится семинар «Деятельность субъектов процесса проектирования на различных этапах» и консультации по необходимости:

№

Этапы

Задачи

Деятельность учащихся

Деятельность педагога

1

Начинание

Определение темы, уточнение целей, выбор рабочей группы.

Уточняют информацию, обсуждают задание.

Мотивирует уч-ся, объясняет цели проекта.

2

Планирование

Анализ проблемы, определение источников информации, постановка задач и выбор критериев оценки результатов, ролевое распределение в команде.

Формируют задачи, уточняют информацию, выбирают и обосновывают свои критерии успеха.

Помогает в анализе и синтезе(по просьбе), наблюдает.

3

Принятие решения

Сбор информации, обсуждение альтернатив – «мозговой штурм», выбор оптимального варианта, уточнение планов действия.

Работают с информацией, проводят синтез и анализ идей, выполняют исследование.

Наблюдает, консультирует.

4

Выполнение

Выполнение проекта.

Выполняют исследование и работают над проектом, оформляют проект.

Наблюдает, советует (по просьбе).

5

Оценка

Анализ выполнения проекта, достигнутых результатов (успехов и неудач) и причин этого, анализ достижения поставленной цели.

Участвуют в коллективном самоанализе проекта и самооценке.

Направляет процесс анализа, если необходимо.

6

Защита проекта

Подготовка доклада, обоснование процесса проектирования, объяснение полученных результатов. Коллективная защита проекта. Оценка.

Защищают проект, участвуют в коллективной оценке результатов проекта.

Участвует в коллективном анализе и оценке результатов проекта.

На заключительном занятии осуществляется презентация проектов учащихся в форме имитационной игры (разработка занятия и один из проектов учащихся будут высланы позже).

В конце изучения курса проводится анкетирование «Лесенка моих достижений», позволяющее учащимся осознать, чем завершился для них данный курс:

  • 1 ступень – ничего не знаю, как и раньше (до изучения курса)
  • 2 ступень – имею некоторые представления
  • З ступень – знаю достаточно
  • 4 ступень – могу научить другого
  • 5 ступень – готов к решению задач данного типа высокого уровня сложности
  • 6 ступень – хочу знать ещё больше, мне интересно, буду продолжать самостоятельно работать в этом направлении.

Методы организации занятий

Программа курса основывается преимущественно на методах активного обучения (творческих, исследовательских, проектных), предусматривает полноту и завершенность содержательных линий.

Занятия преимущественно лекционно-семинарские, практико-ориентированные, проблемно-поисковые, проектная деятельность учащихся предусматривает работу с различными источниками информации (в том числе – использование Интернет-ресурсов).

Формы работы

Индивидуальная, коллективная, групповая.

Организация и проведение аттестации учеников

Основными результатами освоения учащимися содержания данного курса являются приобретение умений и навыков решения задач с параметрами и опыта исследовательской и проектной деятельности.

Чтобы оценить динамику усвоения учениками теоретического материала и умений применять полученные знания, в качестве аттестации учащимся предлагается разработать проекты по отдельным темам курса (в группах по 3 человека) для создания программы элективного курса в 9 классе под названием «Знакомство с параметрами».

Методическое обеспечение

Литература для учителя

  1. В.С. Крамор «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа», Москва, Просвещение, 1990 г.
  2. В.С. Крамор «Примеры с параметрами и их решение».М. Изд-во ИНФРА-М,1997г.
  3. Журналы: «Математика в школе», № 6, 1998 г.Кожухов С.К. «Различные способы решения задач с параметрами»; № 6, 1999 г. Мещерякова Г.П.; № 5, 2002 Зубов А.Б. г.; № 2, 2000 г. и №6 1999г.Горбачев В.И.; № 3, 2003 г.; № 7, 2003 г. Епифанова Т.Н,; № 5, 2004 г. и др.
  4. Справочник «Алгебра и элементарные функции» Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко.
  5. Гомонов С.А. «Замечательные неравенства», Дрофа, 2005 г. (для проф. классов).
  6. Олехник С.Н., Потапов М.К. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств – М. Изд-во Московского университета, 1991г.
  7. Математика 9-11кл «Проектная деятельность учащихся» , Величко М.В. Изд-во «Учитель», Волгоград, 2006г.
  8. Ж «Практика », №6 2003г.

Литература для учащихся

Сборники для подготовки к ЕГЭ по математике 2005-2008гг.

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Приложение 8

Приложение 9

Приложение 10