Урок алгебры в 11-м классе (с углубленным изучением математики) по теме "Метод мини-максов"

Разделы: Математика

Цель:

  • Повторение основных базовых неравенств, используемых для оценки алгебраических выражений.
  • Знакомство с методом “мини-максов” - одним из способов решения “нестандартных задач”.
  • Формирование умений при решении “нестандартных” уравнений и неравенств.
  • Расширение кругозора учащихся.

Оборудование: компьютер, раздаточный материал (самостоятельная работа, задание для работы в классе, задание для работы дома), презентация, наглядный материал (неравенства).

Приложение, Приложение 1, Приложение 2, Приложение 3, Приложение 4

Ход урока

Учитель: Под словами “нестандартные задачи” мы понимаем такие задачи, которые хотя и сформулированы с использованием только обычных понятий элементарной математики, тем не менее не могут быть решены описанными нами ранее стандартными приемами. Порой такие задачи трудно отличить от стандартных задач, опираясь только на их формулировку, и “нестандартность” задачи выявляется только в ходе её решения.

Тем не менее методы, которые применимы к очень широкому классу “нестандартных” задач существуют. Владение этими методами облегчает работу ученика по решению нестандартных задач.

(Слайд 1. См. Приложение)

“ Алгебра щедра. Зачастую она дает больше, чем у нее спрашивают”
Ж. Даламбер

Вначале постараемся кратко передать суть метода, обращаясь к простейшей схеме его применения.

(Слайд 2)

Если требуется решить уравнение

f (x ) = (x) ( * )

и на общей области определения функции f (x) и (x) выполняются неравенства

f (x) img2.gif (55 bytes) А и (x) img3.gif (55 bytes) А или (f(x) img3.gif (55 bytes) A, (x) img2.gif (55 bytes) A)

то уравнение ( * ) равносильно системе

Аналогичное утверждение верно и для случая двух переменных.

Конечно, следует понимать, что предложенные схемы не являются догмой, а скорее служат руководством к действию.

(Слайд 3)

Для применения “метода мини – максов” необходимо уметь оценивать левую и правую части уравнения или неравенства.

Приведем перечень часто используемых для оценки базовых неравенств.

(Слайд 4)

1. Неравенство Коши.

(Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел.)

a img3.gif (55 bytes) 0, b img3.gif (55 bytes) 0 равенство достигается при a = b.

(Слайд 5 – историческая справка)

(Слайд 6)

2. равенство достигается при a = b.

(Слайд 7)

3. Оценка суммы двух взаимообратных чисел.

если A > 0, равенство достигается при A = 1

если A < 0, равенство достигается при A = -1

(Слайд 8)

4. Оценка однородного линейного тригонометрического многочлена.

- A sin f(x) + B cos f(x)

(Слайд 9)

5. Оценка квадратного трехчлена:

если a > 0, то a x2 + bx + c равенство достигается при x

если a < 0, то a x2 + bx + c равенство достигается при x

(Слайд 10)

6. Оценка степени с неотрицательным показателем
1, если a > 1 1, если 0 < a < 1

(Слайд 11)

7. Ограниченность тригонометрических функций

Используя приведенные неравенства оценим следующие выражения:

1) 3sin2 x 2) 3) 4) 10 | sin x|
5) 4 sin x + 3 cos x 6) x2 + 2x + 5

Cамостоятельная работа (с проверкой по готовому решению).

Используя базовые неравенства оценить следующие выражения.

1) … 4sin 3x … 2) … 1 + cos ( x – ) …
3) … 2 – sin 6 x … 4) … sin x + cos x …
5) 5 + …, при x img5.gif (62 bytes) img6.gif (54 bytes)n, n img7.gif (54 bytes) Z 6) 3 – … x img5.gif (62 bytes) + img6.gif (54 bytes)n, n img7.gif (54 bytes) Z
7) – - 1 8) log 2 ( x2+ 4 ) …
9) 5 x + 5 – x … 10) tg 2 x + ctg 2 x … , при x img5.gif (62 bytes) , n img7.gif (54 bytes) Z
11) log 3 x + log x 3 …, при x > 0, х img5.gif (62 bytes) 1 12) ( 3 – 2 ) x + ( 3 + 2 ) x ...
13) x ? + 2x + 5 … 14) 2x – x2 – 3 …

Проверка

(Слайд 12)

(Слайд 13)

Замечания к методу “ мини – максов”.

  1. Часто внешним признаком, побуждающим использовать метод мини – максов, является наличие в одном уравнении или неравенстве функций различной природы: алгебраических, тригонометрических, показательных или логарифмических и т.п., что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов.
  2. Иногда оценка одной из частей уравнения (неравенства) может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственно видом этой части; тогда следует попытаться получить противоположную оценку для другой части уравнения (неравенства).

Решить уравнения, неравенства, системы неравенств, используя “метод мини – максов”.

1) 2 cos2 =

2) ( 2 + ) ( 4 – 2 cos 4 x ) = 1 + 5 sin 3y

3) – cos y + log 2 (1 + x2 + ) = 0

4) ( 4x – x2 – 3) log 2 (cos2 img6.gif (54 bytes)x + 1) 1

5) 4sin x =

6)

Задания № 2 и № 4 ученики выполняют самостоятельно с последующей проверкой по готовому решению. (Слайд 14–15)

Ответы:

1) х= 0

2 ) х = n, n Z; у =

3) х = 0, у = 0

4) х = 2

5) х =

6) x = – 1

Дома:

1) 2 sin x = 5x2 + 2x + 3

2) log 3 + 3 =

3) cos-4 x + cos 4 x = 1 + cos 2x -2 sin 2 x

4)

Подведение итога урока

(Слайд 16)

Литература

  1. Кравцев С.В., Макаров Ю.Н. и др. (МГУ) “Методы решения задач по алгебре” – М. “Экзамен” 2001.
  2. Дорофеев Г., Потапов М., Розов Н. “Математика” – М. “Дрофа” 1999.
  3. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. “3600 задач по алгебре и началам анализа”. – М. “Дрофа” 1999.
  4. “Математика. ЕГЭ – 2009”, часть II. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону, “Легион”, 2008.