Конспект урока по алгебре в 9-м классе по теме "Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии"

Цели и задачи:

• образовательные - познакомить учащихся с выводом формулы сумм n первых членов арифметической прогрессии; учить учащихся применять полученные формулы при решении задач.
• развивающие - развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством анализа арифметической прогрессии, вывода формул; с помощью решения задач исследовательского характера и самостоятельного вывода учащимися формул, развивать интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, гибкость, способность к оценочным действиям, обобщению, быстрому переключению; способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы; в целях развития эмоций учащихся обеспечить в ходе урока ситуации эмоциональных переживаний; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли.
• воспитательные - прививать учащимся интерес к предмету посредствам применения информационных технологий (с использованием компьютера), решения исторических задач; формировать умения аккуратно и грамотно выполнять математические записи, составлять таблицы.

Ход урока

I. Организация начала урока.

Учитель: Тема урока: "Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии". Вдумайтесь в формулировку темы, сформулируйте и назовите проблемы, которые на ваш взгляд мы должны решить по этой теме.

Учащиеся называют проблемы, а учитель кратко записывает их на доске и обещает, что на все вопросы мы постараемся узнать ответы на этом или последующих уроках. Учитель сообщает учащимся, какие ещё проблемы ему удалось выделить.

Проблемы:

1. Зачем нужно уметь вычислять сумму n первых членов арифметической прогрессии?
2. Как выглядят формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии?
3. Как вывести формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии?

II. Актуализация знаний.

Учитель просит учащихся выполнить задания, решения которых поможет повторить ранее изученный материал и лучше усвоить новый. Ответы на поставленные вопросы выясняются в ходе беседы.

Задания классу:

Прослушаем историю о строительстве стены на даче нового русского. Зачитывает текст задания по строительству дачи новому русскому по его заявке. (Во время этой работы показывается слайд 1)

Текст.

Новый русский решил отгородить бассейн на даче фигурной стеной. Позвав строителей, начал объяснять.

В нижний ряд укладывается 19 блоков, на него кладётся 17 блоков, затем 15 и так далее. Всего 8 рядов.

Фронтальная работа с классом:

Выпишем числа, соответствующие количеству блоков каждого ряда:

19, 17, 15, 13, 11, 9, 7, 5 (учитель записывает числа на доске). Получили последовательность чисел. Опишите её.

Ответ: Эта последовательность является примером конечной убывающей арифметической прогрессии, первый член которой а₁ = 19, а разность d = - 2. Любой член этой прогрессии можно вычислить по формуле: а_n = - 2n + 21, где n - натуральные числа от 1 до 8.

(Устная работа)

Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

Рассмотрим бесконечно убывающую арифметическую прогрессию, первый член которой а₁ = 19, а разность d = - 2. Какие задания вы могли бы предложить классу, используя эти данные так, чтобы они могли бы выполнить их устно? Решите составленные задачи.

Варианты заданий: (прелагаются на слайдах 2 и 3 презентации)

Найдите 18-й член прогрессии.

Является ли число 1 (21; - 8) членом последовательности?

Сколько положительных чисел являются членами этой прогрессии?

Чему равен первый отрицательный член этой прогрессии? и т. д.

Придумайте арифметическую прогрессию

Являются ли арифметическими прогрессиями следующие последовательности чисел

(последовательности чисел заранее записаны на доске):

а) 1; 2; 3;4; 5; 6; : ,

б) 5; 5; 5; 5; 5; : ,

в) 0; 0; 0; 0; 0;:

г) 1; 2; 2²; 2³; 2⁴; 2⁵;: 2⁶³;:

III. Поиск новых знаний.

Учащиеся работают в парах. Учитель даёт инструктаж по работе в парах.

Задания:

1* Учитель: Мы повторили определения и формулы n-го члена арифметической прогрессии, которые должны помочь нам ответить на вопросы, поставленные в начале урока. Вернёмся на дачу к нашим героям. Как быстрее вычислить количество блоков в фигурной стене? По какой формуле можно найти количество блоков в стене, если изменить количество блоков 1 ряда и число рядов. Решите задачу в общем виде. Ответ обоснуйте.

Проверка выполнения задания:

Группам даётся 3 минуты на обсуждение решения задачи.

Один из учащихся рассказывает решение задачи.

Остальные учащиеся внимательно выслушивают ответ, и предлагают свои, отличные от данного (если такие имеются) способы решения.

Учитель предлагает выслушать верное решение и сравнить его с предложенными.

Текст :

Вернёмся на дачу к нашим героям. Как побыстрее вычислить количество блоков в фигурной стене?

- Э,- сказал прораб Пётр Иванович, - да стена трапецию напоминает. Площадь трапеции - полусумма оснований на высоту. А у нас нижнее основание а₁=19, верхнее а₈=5, высота 8 слоёв, то есть 96 блоков. S_n=

2^* Учитель: Рассказывают, что, когда, великий немецкий математик Карл Гаусс учился в начальной школе, преподаватель предложил ученикам самостоятельно найти сумму ряда от 1 до 100. Он предполагал, что ученики будут складывать эти числа по порядку, на что потребуется не менее 10 минут. Какого же было его удивление, когда маленький Карл через 1-2 минуты заявил, что он задание выполнил и дал правильный ответ. Не могли бы вы ответить на вопрос столь же быстро? Обсудите решение задачи в парах (группах).

Проверка выполнения задания:

Группам (парам) даётся 5 минут на выполнение задания

Группам (парам) выделяется часть доски, на которой они записывают решения. Если решения аналогичные, то записать их может только одна из групп (или пар).

Обсуждаются представленные решения и оформления задач. Выделяются верные решения.

Учащимся предлагается записать понравившееся им решение в тетрадь.

Решение:

I способ:

Объяснение Гаусса(сопровождается слайдом 4):

"Я заметил, что 1+100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и т. д. Пара ровно отстоящих от краёв ряда чисел даёт 101 и последняя пара средних чисел даёт 101 = 50 + 51. Числа, взятые по паре с начала и с конца ряда встречаются в середине после 50 сложений этих пар. Поэтому надо 10150 = 5050. Это число и будет суммой всех 100 чисел".

II способ:

S=1+2+3+4+5+6+:+97+98+99+100

S=100+99+98+97+:+6+5+4+3+2+1

2S= 101+101+101+:+101

2S=101100

S=5050

3^* Учитель: Проанализировав решение предыдущих заданий, докажите что равенство S_n= является формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Проверка выполнения задания:

Группам даётся 3-5 минут на выполнение задания

Учащиеся выполняют задания на листочках. По истечении времени решения сдаются учителю.

Учитель: рассмотрим верный вывод формул (На слайдах 5 и 6) сравнить его со своим; записать вывод формулы в таблицу. Таблицу предлагаю здесь на уроке с целью её заполнения на последующих уроках.

4^* Учитель: Подставив в полученное равенство формулу n-го члена арифметической прогрессии, получите другую формулу для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии. Проверьте решение, сравнив его с верным (Презентация урока: Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии).

IV. Закрепление изученного.

Работа с учебником. Решить из учебника №№ 369, 370, 372. (Уч-ся работают на месте. Учитель оказывает помощь и консультации). Задания проверяются устно.

V. Информация о выполнениии домашнего задания.

Начать заполнение таблицы. Продолжим её заполнение на последующих уроках. Выучить формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Решить № 371, 373.

Таблица: "Арифметическая и геометрическая прогрессии".