Решение аффинных геометрических задач векторным методом

Задачи, решаемые векторным методом, можно разделить на два вида:

• аффинные
• метрические.

Поскольку скалярное произведение векторов вводится в 8 классе, то в неполной средней школе рассматриваются лишь аффинные. Задачи, связанные с аффинными преобразованиями плоскости, называются аффинными.

При аффинных преобразованиях плоскости прямые переходят в прямые, точки в точки, параллельные прямые переходят в параллельные прямые, сохраняется инцендентность точек и прямых, сохраняется простое отношение трех точек где – точки прямой и точка C лежит между A и B или на продолжении Кроме того, при аффинных преобразованиях сохраняется отношение площадей фигур, но не сохраняется расстояние двумя точками и и им соответствующими точками и , то есть

Учащиеся испытывают большие затруднения при выборе метода, с помощью которого они будут решать ту или иную задачу. Эти затруднения вызваны прежде всего тем, что в методической литературе и в учебных пособиях недостаточно раскрыта математическая сторона применения векторов к решению геометрических задач, не устанавливаются, хотя бы ориентировочно, основные задачи (теоремы), которые широко используются при решении более сложных задач.

Рассмотрим задачи трех типов, которые целесообразно решать с помощью векторов.

Первый тип: задачи, связанные с доказательством параллельности прямых и отрезков.

Второй тип: задачи, в которых доказывается, что некоторая точка делит отрезок в заданном отношении.

Третий тип: задачи на доказательство принадлежности трех и более точек одной прямой.

Выделение таких типов полезно по следующим соображениям:

Эти виды наиболее многочисленны и, в силу простого перевода на векторный язык, могут служить образцами для учащихся.

Навык, приобретенный при решении этих задач, можно переносить на более сложные (где данные задачи могут встречаться в виде части задач).

Указанные выше типы задач охватывают довольно большую часть тех задач, которые приходиться решать учащимся. В задачах такого рода традиционные методы решения связаны обычно со значительными трудностями: или с необходимостью тонких дополнительных геометрических построений, или с довольно громоздкими тригонометрическими преобразованиями.

Решение геометрических задач векторным методом позволяет отработать у учащихся навыки перевода условия с геометрического языка на векторный и формировать навыки, необходимые для перевода с векторного языка на геометрический.

Формирование векторного метода решения геометрических задач должно начинаться еще в восьмом классе. Для решения задач учащиеся должны владеть следующими умениями, которые и являются компонентами векторного метода:

1. Переводить геометрический язык на векторный и наоборот;
2. Выполнять операции над векторами, уметь преобразовывать векторные выражения;
3. Знать наиболее важные векторные соотношения и их особенности;
4. Уметь выразить один вектор через некоторые другие;
5. Переходить от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и наоборот.

Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке.

Приведем таблицу векторных соотношений, которые применяются при решении задач.

Замечание. Теоремы 2-3 дают единый подход для решения большого числа геометрических задач. При их применении один и тот же вектор двумя различными способами представляется в виде линейной комбинации двух векторов (на плоскости) или трех векторов (в пространстве), а затем используется единственность разложения.

Рассмотрим теперь задачи каждого вида. Наиболее простые из них (первые два типа) могут быть предложены в 8 классе на уроках или внеклассных занятиях.

При решении этих задач на внеклассных занятиях в 8 – 9 классах можно предложить учащимся доказать соотношения 1 – 5 и 7 в виде отдельных задач. Особенно желательно доказать соотношения 1 и 7 для векторов плоскости, учитывая то, что в курсе физики 9 класса фактически используется разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

а) Задачи, связанные с доказательством параллельности прямых и отрезков.

При решении этих задач наиболее часто используется признак коллинеарности двух векторов (соотн. 1) и единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам (соотн. 7).

Задача. Если в выпуклом четырехугольнике, две противоположные стороны не параллельны, длина отрезка, соединяющего середины этих сторон, равен полусумме длин двух других сторон четырехугольника, то этот четырехугольник – трапеция.

Дано:

– четырехугольник

– середина

<Рисунок10>

– середина

Доказать:– трапеция.

Анализ. Для решения задачи достаточно доказать, что На векторном языке это означает, что

Решение.

Выразим вектор двумя различными способами так

(1)

(2)

Сложим почленно (1) и (2).

(3)

Итак:

(4)

Из условия следует

(5)

Сопоставляя (4) и (5), получаем:

Это возможно тогда и только тогда, когда

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Доказать, что если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Задача 2. Доказать теорему о средней линии треугольника.

Задача 3.Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и длина ее равна полусумме длин оснований.

б) Задачи на доказательство деления некоторого отрезка в заданном отношении или на нахождение отношения, в котором точка делит отрезок.

Решение задач этого типа базируется на следующей теореме.

Для того чтобы точка делила отрезок так, что необходимо и достаточно, чтобы для произвольной точки выполнялось равенство:

Задача. На стороне треугольника взята точка так, что , а на продолжении стороны такая точка что В каком отношении точка пересечения и MN делит каждый из этих отрезков.

Дано:

– треугольник

<Рисунок11>

Найти :

Практика решения более сложных задач такого типа показала, что работу нужно вести в следующем направлении: постараться разложить один из векторов (чаще всего конец такого вектора – точка, которая делит данный отрезок в заданном отношении) по двум основным векторам (они неколлинеарны) двумя различными способами. Используя единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, установить зависимость между коэффициентами в разложении вектора, что потом дает возможность найти искомое соотношение.

Решение.(Анализ осуществляется по ходу решения).

1. Пусть и

2. Основные векторы

3. Разложим вектор по основным двумя различными способами

а)

Итак,

(1)

б) (соотношение (2)).

Но Поэтому

(2)

4. Учитывая единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, из равенств (1) и (2) получаем

Следовательно,

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1.

Дано:

Доказать: – средняя линия

Задача 2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Задача 3. В треугольнике биссектриса делит сторону в отношенииВ каком отношении медиана делит эту биссектрису?

в) Задачи на доказательство или использование принадлежности трех точек одной прямой.

При решении задач на доказательство того, что три точки принадлежат одной прямой, обычно доказывается коллинеарность векторов, например и или используется следующая

Теорема. Для того, чтобы точка принадлежала прямой, необходимо и достаточно, чтобы для любой точки выполнялось равенство:

где

Задача.

Дано:

– трапеция

– середина

– середина

<Рисунок12>

Доказать:

Анализ.

Для того, чтобы доказать, что достаточно доказать, что и коллинеарны. Для этого нужно разложить векторы и по основным.

Решение.

1. Основные векторы:

2. По векторной формуле середины отрезка

(1)

3. Из треугольников и Значит, то есть

Сопоставляя (1) и (2), получаем

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. В пространстве расположены отрезки и Точка есть середина отрезка точка – середина Докажите, что середины отрезков расположены на одной прямой.

Задача 2.На стороне треугольника взята точка Доказать, что  центры тяжестей и лежат на одной прямой.