Решение олимпиадных задач на делимость чисел

Цель:

1. Закрепить с учащимися способы решения задач на делимость, предлагаемых на различных олимпиадах, сформировать умение у учащихся проводить простейшие умозаключения.
2. Воспитание умения работать индивидуально и в группах.
3. Развитие логического мышления учащихся, умения работать с техническими средствами обучения.

1. Оргмомент
2. повторение признаков делимости и устная работа
3. работа групп (игра) ВЫБОР БУКВ, ИЗ КОТОРЫХ СОСТОИТ СЛОВО метод математической индукции
4. решение задач на ММИ
5. Закрепление материала
6. Подведение итогов урока

МАТЕРИАЛЫ И ОБОРУДОВАНИЕ: Мультимедийный проектор, компьютер, презентация (приложение 1), карточки.

2. Повторение материала и устная работа

Несколько человек садятся за компьютер, отвечают на вопросы теста

	Вопросы	Ответы
1.	Признак делимости на 7	1.У данного числа найдем сумму цифр, стоящих на четных местах, и сумму цифр, стоящих на нечетных местах. Если эти суммы равны или их разность делится на 7, то и само число делится на 7
		2. Число делится на 7, когда две его последние цифры делятся на 7
		3. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность между числом без последних трех его цифр и числом, образованным последними его тремя цифрами делится на 7
2	Признак делимости на 8	1.Число делится на 8, когда число, образованное тремя его последнии цифрами делится на 8.
		2. Число делится на 8, когда две его последние цифры делятся на 8
		3. Число делится на 8 тогда и только тогда, когда разность между числом без последних трех его цифр и числом, образованным последними его тремя цифрами делится на 8
3.	Число a чётно. Верно ли, что число 3a делится на 6	1. Неверно
		2. Верно
		3. Невозможно ответить
4.	Сумма двух нечетных чисел- это число	1. Четное
		2. Нечетное
		3. Зависит от данных чисел
5.	Какая из записей разложения по разрядам трехзначного числа верна?	1. 100в+10с+а
		2. 100а+10в+с
		3. 100с+10а+в

Остальные учащиеся работают за партами, отвечая на вопросы на экране:

· Найди трехзначное число, которое делится на 11, почему

· Найди 2 четных трехзначных числа, которые не делятся на 4 (почему?).

· Найдите число, которое делится одновременно на 3 и 7;

• Какие числа делятся на 6? (Какие числа делятся на 13)
• Придумайте нечетное число, которое не делится на 3, но делится на 5 и 11;

После работы, ответившие на компьютере на тест, объясняют свои ответы.

3. Работа по парам (игра) ВЫБОР БУКВ, ИЗ КОТОРЫХ СОСТОИТ СЛОВО, метод математической индукции

Каждая группа получает задание, которое решает и выбирает полученный ответ, затем буква ответа записывается на доску в указанный номер.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РАБОТЫ ГРУПП:

ГР1:

1. Ответьте, верно ли, что числа вида делятся на 3
10. Является ли число 123123123123 кратным 9
19 . Если натуральное n– число чётное, каким является число n + 2k + 1?

ГР2:

Число a чётно. Верно ли, что число 3a делится на 4?

11. Верно ли, что произведение трёх любых последовательных натуральных чисел делится на 6.
20. Является ли число 1331 составным?

ГР3:

3. Если число a делится на 3 и b делится на 3, верно ли, что тогда разность a и b делится на 3?
Верно ли, что, сумма кубов трех последовательных чисел делится нацело на 9.
21. Как Вы считаете, какими — четными или нечетными — будут сумма и произведение: двух четных чисел?

ГР4:

4 . Подряд без пробелов выписали все четные числа от 12 до 34. Получилось число 121416182022242628303234. Делится ли оно на 24?
13. Пусть m и n — целые числа. Каким числом является данное произведение? mn(m + n) 
22. Делится ли число, состоящее из 2п единиц на 11?.
3. Сформулируйте с помощью союза “или” утверждение “по крайней мере одно из чисел n, n + 1, n + 2 является чётным”. Истинно ли это предложение?

ГР5:

5. Если a + 2 делится на 5, делится ли 7a + 4 делится на 5?
14. Дано трехзначное число, у которого первая и последняя цифра одинаковые, верно ли, что если делится на 7 сумма второй и третьей цифр, то все число делится на 7.
23. Верно ли, что одно из чисел n, n + 1, n + 2 делится на 4”.?

ГР6:

6. Число 15a делится на 6. Верно ли что a тоже делится на 6?
15. Как Вы считаете, какими — четными или нечетными — будет произведение двух нечетных чисел;
24. Как вы думаете, среди четырех последовательных натуральных чисел будет ли хотя бы одно делиться на  на 5?

ГР7:

7. Верно ли, что если сумма любых двух из трёх чисел делится на 3, то и сумма всех трёх чисел делится на 3
16. Как Вы считаете, какими — четными или нечетными — будет сумма четного и нечетного чисел?
25. Может ли сумма трех различных натуральных чисел делиться на каждое из слагаемых?

ГР8:

8. Известно, что a + 15 делится на 5. Делится ли a на 5
17. Сможете ли Вы найти четыре целых числа, сумма и произведение которых являются нечетными числами?
26. Даны пять чисел; сумма любых трёх из них чётна. Какими являются все эти числа?

ГР9:

9. Олег перемножил какие-то 7 подряд идущих чисел. Верно ли, что у него получилось число, оканчивающееся на ровно один ноль?
18. Делится ли произведение любых двух последовательных натуральных чисел на 3
27. Делится ли произведение любых пяти последовательных чисел делится на 30

4. Решение задач на ММИ:

А) вспомнить, что такое ММИ, зачем его применяют, повторить алгоритм решения задач на ММИ.
Б) решаем задачи, несколько человек по карточкам, остальные в тетрадях, по одному выходят к доске.

1. Докажите, что Сумма кубов трех последовательных чисел делится нацело на 9
2. Докажите, что 4ⁿ + 15n - 7 делится на 9
3. Докажите, что 6ⁿ + 1 делится на 7 при всех нечётных n.

Дом. работа:

Доказать, что:

1. 10ⁿ + 18n - 28 делится на 27.
2. 7²ⁿ - 4²ⁿ делится на 33.
3. Доказать сумма четного и нечетного чисел является нечетным числом.

 Презентация