Логарифмическая функция. Смотр знаний

Цель:

• повторить свойства логарифмической функции.
• проверить усвоение темы на обязательном уровне.
• применять свойства при решении уравнений, неравенств.
• воспитывать интерес к предмету.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, 2 компьютера с установленной программой “Математика 5–11”

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель: Французский писатель Анатоль Франс заметил: “Что учиться можно только весело… Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Последуем совету писателя: будем “поглощать” знания с большим желанием, ведь они скоро вам понадобятся.

Цель урока: систематизировать знания по теме “Логарифмическая функция” Приложение 1 (Слайд 1)

На уроке рассматриваются пять вопросов:

А) Логарифмическая функция.
Б) Логарифмические тождества.
В) Область определения логарифмической функции.
Г) Логарифмические уравнения.
Д) Логарифмические неравенства. (слайды 2, 3)

2. Усвоение знаний

Вопрос 1: “Существование логарифмической функции”.

Еще Аристотель говорил, что определение того или иного понятия, еще не доказывает его существования. Итак, докажем, что логарифмическая функция существует.

Ученик 1 (слайд 4)

Рассмотрим показательную функцию у = а^х, где а ≠ 1, а > 0

Пусть а >1, у = а^х непрерывна и возрастает на (– ∞; + ∞). По теореме об обратной функции на промежутке (0; + ∞) определена обратная функция по отношению к показательной, причем она непрерывна и возрастает.

Пусть 0 < а < 1, у = а^х непрерывна и убывает на (-∞; + ∞), поэтому на участке (0; + ∞) определена обратная к ней функция. Эта обратная функция – логарифмическая.

Функция у = log_ax называется логарифмической, где а ≠ 1, а >0, х >0

Вопросы для обсуждения (задают учащиеся):

• имеет ли функция экстремумы
• принимает ли функция наибольшее значение в некоторой точке ХО
• является ли функция четной, нечетной
• в какой точке функция пересекает ось ОХ
• пересекает ли функция ось ОУ

Вопрос 2: “Логарифмические тождества”

Слово логарифм происходит от греческого λόyoφ (число) и αρίνμοφ (отношение) и переводится, следовательно, как отношение чисел. Изобретатель логарифмов, составитель первой таблицы логарифмов был английский математик Непер Джон. (слайд 5) Его математические труды направлены на упрощение и упорядочение арифметики, алгебры и тригонометрии. В 1614 году Непер издал труд “Описание удивительной таблицы логарифмов”, в котором не только дал определение логарифма, описал его свойства, но и предложил таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов. Также Непер открыл логарифмическую кривую. Позднее им была изобретена логарифмическая линейка, которой пользовались до 70-х годов ХХ в. Какими же основными тождествами мы пользуемся для вычисления?

Ученик 2:

Логарифмом числа в по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число в

• Формулу

, где а ≠ 1, а >0, в >0

называют основным логарифмическим тождеством.

• Основные свойства логарифмов (слайд 6)

– логарифм произведения равен сумме логарифмов

– логарифм частного равен разности логарифмов

– логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени

• Десятичный логарифм

Вопросы для обсуждения: (задают учащиеся)

• найти значение log₂32, log₂16
• найти число log₅ x = 2, log₇ x = -2
• вычислить; lg 8 + lg 125

3 вопрос: “Область определения логарифмической функции”

Ученик 3 (слайд 7)

• Область определения логарифмической функции множество всех положительных чисел

Д(log_а) = R₊

• Область значений логарифмической функции множество всех действительных чисел

E (log_а) = R

• Логарифмическая функция у = log_ax возрастает при а >1

• Логарифмическая функция у = log_ax убывает при 0 < а < 1

Используя свойства логарифмической функции можно не только вычислять значения логарифма, но и сравнивать

Например:

а) log₃5 < log₃7
б) log_0,25 > log_0,27

Также, находить область определения выражения

Например: loga (x2 – 16) x2 – 16 > 0 у = x2 – 16 x2 – 16 = 0 x1 = – 4; x2 = 4

Решением данного неравенства есть множество точек (-∞; –4) v (4; + ∞)

Вопросы для обсуждения: (задают учащиеся):

• как сравнить выражения log₂32 и 1

4 вопрос: “Логарифмические уравнения”

Ученик 4 (слайд 8)

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид log_а х = в

Логарифмическая функция возрастает или убывает на промежутке (0; + ∞) и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне, для любого в данное уравнение имеет и притом только одно решение.

Теорема: Уравнение вида log_а f(х) = log_а g(х) равносильно уравнению вида f(х) = g(х) при ограничении

f(х) > 0
g(х) > 0

Пример:

(2х – 4) = –2 (2х – 4) = 4 2х – 4 = 4 2х = 8 х = 4

ОДЗ:

2х – 4 > 0 2х > 4 х > 2

Ответ: х = 4

Вопросы для обсуждения (задают ученики):

• всегда нужно находить область определения функции, когда решаем логарифмическое уравнение?

5 вопрос: “Логарифмические неравенства”

Ученик 5 (слайд 9)

• Простейшие логарифмические неравенства имеют вид:

logа х > в; logа х ≤ в;

logа х < в logа х ≥ в

Неравенство вида log_а f(х) > log_а g(х) равносильно неравенству вида f(х) > g(х) при ограничении

f(х) > 0
g(х) > 0

и также используют такие правила:

– если а > 1, то знак неравенства сохраняем
– если 0 < а < 1, то знак неравенства меняем на противоположный.

Пример: Решить неравенство

log4	х > log4 (3х – 4) х > 3х – 4 х – 3х > – 4 – 2х > – 4 х < – 4 : (– 2) х < 2

ОДЗ:		х > 0 3х – 4 > 0
		х > 0 3х > 4
		х > 0 х > 4 : 3

Ответ:

3. Физкультминутка

Мы с вами комплексно повторили знания по теме “Логарифмическая функция”.

На следующем этапе урока нам предстоит работать всем сосредоточенно. Внимательны были? Мы рассмотрели логарифмическую функцию у = log_ax , если а >1 то функция возрастает. Покажем это.(учитель плавно показывает как функция возрастает).Если 0<а<1 функция убывает, покажем это. Теперь усложним работу, я называю функцию, а вы показываете функция возрастает или убывает.

(у = log₃x, , у = log₅x)

4. Проверка знаний

Проверку знаний проведем в виде зачета. Одни ученики у нас выступают в роли преподавателей, другие ученики – абитуриенты.

Ваша задача: успешно сдать зачет по теме “Логарифмическая функция”.

Рассматриваются пять вопросов:

А) Логарифмическая функция.
Б) Логарифмические тождества.
В) Область определения логарифмической функции.
Г) Логарифмические уравнения.
Д) Логарифмические неравенства.

Преподаватели, могут оказывать помощь своим

абитуриентам, но для этого нужно будет отдать жетон.

Жетонов у каждого абитуриента 3, вопросов 5, так что абитуриенты надейтесь только на свои силы. Результаты сдачи зачета преподаватели будут заносить в контрольный лист. Приложение 2

Зачет начинается. Преподаватели приготовьте свои экзаменационные билеты.

Абитуриентам, я желаю удачи, преподавателям хороших результатов, по своим темам.

Начало и конец зачета начинаем звонком (колокольчик).

5. Зачетные задания

“Логарифмическая функция”

Работа за компьютером. Программа “Математика. 5–11”

Вопросы:

1. Построить график функции у = log₃х и график симметричный относительно у = х.
2. Принимает ли логарифмическая функция наибольшее значение в некоторой точке.
3. Построить график функции у = 5^х и график симметричный относительно у = х.
4. Имеет ли логарифмическая функция экстремумы
5. Построить график функции и график симметричный относительно у = х.
6. Является ли логарифмическая функция четной, нечетной
7. Построить график функции у = х и график симметричный относительно у = х.
8. В какой точке логарифмическая функция пересекает ось ОХ.
9. Пересекает ли логарифмическая функция ось ОУ.

“Логарифмические тождества”

Применяя формулы выполнить задания: Приложение 3

“Область определения логарифмической функции”

1. Приведите пример логарифмической функции, которая возрастает на всей области определения.
2. Приведите пример логарифмической функции, которая убывает на всей области определения.
3. Найти область определения выражений

а) log_π(10 – 2x)
б) log₅(9 – x²)
в) log_0,3(x² – 16)
г) log₃(x – 4)

4. Сравнить числа

а) log₂ 5,2 и log₂ 3,6
б) log_0,2 6 и log_0,2 8
в) log_0,3 √2 и log_0,3 0,3
г) log₅ 3 и 1
д) log _π 2,9 и 1

5. Найти область определения выражений

а) log_√2(x²- 2x – 3)
б)
в)

“Логарифмические уравнения”

Решить уравнения:

• log₃(x – 2) = 2;
• log₃(2 x – 4) = log₃(x + 7)
• (5 +2 ч) = 1;
• log _π (х² + 2х + 3) = log _π 6
• log₂(x – 4) = 3;
• log₃(x – 5) = 0
• log₂(3 – x) = 0;
• log₈(x ² – 1) = 1

“Логарифмические неравенства”

Решить неравенства:

• log₄ х > log₄ (3х – 4)
• (2х – 5) < –2
• log_0,2 (1 – х) >1; log₃ (16 – 2х) < log₃ 4х
• lоg 2х < lg (х + 1)
• log₂ (8 – 6х) < log₂ 2х; log₅ (2х + 3) < log₅ (х – 1)
• > l
• (2х – 5) > х

6. Итог урока

П.Л.Чебышев говорил: “Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты”

Мы с вами сегодня на уроке убедились в справедливости этих слов. (слайд 10)

Преподаватели выставляют зачет в контрольные листы абитуриентов. Готовятся к выступлению, характеризуют свою тему, справились абитуриенты с заданиями или нет, пользовались ли подсказкой. Тема, на которую было допущено больше всего ошибок, выносится на доработку на следующие уроки.

7. Домашнее задание

(слайд 11)

1-я группа

Работа с учебником М.И. Башмаков, с. 194 (модуль перехода)

Вопрос: Как связать между собой степени и логарифмы с разными основаниями?

№ 55 стр. 225. Решить логарифмические уравнения

2-я группа

1.Найдите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log_a(1 – х) = 4

1) (62; 64)
2) (79; 81)
3) (–81; –79)
4) (–12; –10)

2. Найдите сумму корней уравнения lg(4х – 3) = 2 lgx

1) –2
2) 4
3) –4
4) 2

3. Подпишите графики Приложение 4