Предполагаемый элективный курс по предпрофильной подготовке учащихся посвящен одной из главных тем, составляющей фундамент современной математики – уравнениям и системам уравнений, решению текстовых задач методом уравнений, решению уравнений, содержащих модуль и уравнениям с параметрами.
Цель данного элективного курса
– прояснить и дополнить школьный материал, связанный с уравнениями, с системами уравнений, представить систематизацию уравнений по видам, по степени сложности.Программа (позволяет познакомить учащихся) дает возможность учащимся:
- получить представления об уравнениях как математическом аппарате решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний.
- овладеть такими понятиями как “уравнение”, “системами уравнений”, усвоить понятие равносильность уравнений, “уравнение с модулем”, “уравнение с параметром”.
- освоить основные приемы решения рациональных уравнений, систем, получить начальные представления о решении уравнений с параметром, уравнений с модулем.
- на примере квадратных уравнений ознакомится с историей создания математических задач, с представлением о формуле как алгоритме вычисления.
Программный материал разделен на 7 разделов:
- Решение уравнений с одной переменной.
- Решение систем уравнений с двумя неизвестными. Графический способ.
- Решение уравнений с модулем.
- Решение квадратных уравнений.
- Решение дробно-рациональных уравнений.
- Решение уравнений с параметром.
- Целые уравнения и их решение.
В последнее время в материалах выпускных экзаменов, ЕГЭ и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, предполагаются задания по теме “Уравнения второй степени”, содержащие параметр. Задачи такого типа вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках мало. В предполагаемом программном материале рассматриваются простейшие квадратные уравнения с параметром и способы их решения.
Другие не менее важным понятием математики является понятие модуля числа и аспекты его применения. Также рассматриваются различные методы решения уравнений с модулем, основанные на его определении, свойствах, интерпретации.
Содержание спецкурса помогает учащимся понимать, что уравнения широко применяются для описания на математическом языке разнообразных различных ситуаций, уметь решать линейные, квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения, сводящие к ним, системы уравнений с двумя переменными, уравнения с модулем, уравнения с параметрами, понимать графическую интерпретацию решения уравнений и систем уравнений, уметь решать несложные текстовые задачи с помощью составления уравнений.
Таким образом, основная роль элективного курса “Элементарные алгебраические уравнения и их применение” состоит в подготовке учащихся к успеху обучению в старших классах технического профиля.
Формы и методы проведения занятийОсновной способ представления занятий: лабораторно-педагогический работы, семинарские занятия с элементами лекций, собеседования.
РезультатОсновной способ оценивания результативности учащихся: самостоятельные и контрольные работы, рейтинговые оценки, психолого-педагогический анализ наблюдений деятельности учащихся.
Содержание
Тема 1. Решение уравнений с одной переменной
На первых занятиях сообщается цель и значение данного элективного курса. Выявляются и систематизируются виды школьных уравнений, вводится понятие уравнение с одной переменной и алгоритм его решения. Особенное внимание уделяется, нахождению подобных членов уравнения и принципу нахождения неизвестной, отрабатываются навыки деления следующих 3-х видов:
а) х=а : 0, нет решения (на нуль делить нельзя);
б) х=0 : а, х=0 – один корень, равный нулю;
в) х=0 : 0, б/к много решений.
Рассматриваются и вводятся навыки решения текстовых задач с помощью составления уравнений, способы задания неизвестной величины с помощью переменной, раскрывается смысл понятия “уравнение”, отрабатываются навыки уравнения левой и правой частей данного (высказывания), выражения.
Тема 2.
Вводится понятие системы двух уравнений с двумя неизвестными. Прослеживается формулировка навыков решения данной системы с помощью двух способов:
а) подстановки;
б) сложения.
При этом требуются равное овладение и применение учащимися обоих способов решения. Рассматриваются решение задач с помощью составления систем уравнений. Можно работать со сборником экзаменационных задач.
Тема 3. Решение квадратных уравнений.
Задается алгоритм решения квадратных уравнений. Основные формулы: дискриминант, формулы корней квадратно уравнения. Рассматриваются неполные квадратные уравнения, правила их решения. В этой же теме рассматриваются задачи, решаемые с помощью составления квадратных уравнений.
Тема 4. Решение уравнений с модулем.
Вводится понятие модуля числа. Рассматриваются уравнения, решаемые с помощью понятия “расстояние между двумя точками”, и уравнения, решаемые с помощью “критических точек”.
Тема 5. Решение дробно-рациональных уравнений.
Основное внимание уделяется нахождению ОДЗ функции. Отрабатываются навыки освобождения от знаменателя дроби. Рекомендуются решения уравнений из заданий вступительных экзаменов в ВУЗы центра и Сибири. Рассматриваются задачи на составление дробно-рациональных уравнений.
Тема 6. Решение уравнений с параметром.
Вводится понятие параметра. Рассматриваются уравнения, содержащие параметр. Рассматривается аналитический способ, графический способы решения. Выполняются самостоятельные, контрольные работы.
Тема 7. Решение целых уравнений.
Рассматриваются простейшие целые уравнения, вводится алгоритм решения данных типов уравнений:
а) деление на х2 и составления
соответствующей подстановки;
б) преобразование левой части в произведение
двух множителей и соответствующего составления
четырех систем уравнений и запись ответа данного
уравнения.
Тема 8. Итоговое занятие.
Проводится зачет, выставляются рейтинговые оценки по результатам самостоятельных, контрольных работ.
I. Фрагмент занятия по теме “Решения уравнения с модулем”:
1. Вспомним определения модуля:
Отметим, что термин “модуль” (от лат. modulus-мера) ввел английский математик Р. Котес (1682-1716), а знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897) в 1841г.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие методы решения уравнений:
1. Решите уравнение:
|3х-2|=1
Пользуясь определением модуля, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений.
| а) 3х-2=1 | или | б) 3х-2= -1 |
| 3х=3 | 3х=1 | |
| х=1 | х=  |
Ответ: 1;
2. Решите уравнение:
|2х+1|=3
| 2х+1=3 | или | 2х+1= -3 |
| 2х=2 | 2х= -4 | |
| х=1 | х= -2 |
Ответ: 1; -2
3. Решите уравнение:
|6х-3|=2х
В отличие от предыдущего задания в правой части данного уравнения содержится выражение с переменной.
Таким образом, данное уравнение равносильно системе:
Ответ: 
4. Решите уравнение:
|2х-х2+3|=1
| 2х-х2+3=1 | или | 2х-х2+3= -1 |
| -х2+2х+2=0 | или | -х2+2х+4=0 |
Ответ: 
Упражнение для самостоятельной работы:
|
|
В обыденной жизни мы употребляем слово “параметр” как величину, характеризующую какое-либо основное свойство процесса, явления или системы, машины, прибора (напряжение, электрическое сопротивление, масса, коэффициент трения и др.).
В математике параметр-это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. Числовые значения этой величины позволяют выделить определенный элемент (кривую) из множества элементов (кривых) того же ряда. Например, в уравнении х2+у2=r2 величина r является параметром окружности.
В задачах с параметрами наряду с неизвестными фигурируют величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа. Интересная часть решения задачи - выявить, как зависит ответ от параметра.
С параметрами мы уже встречались, когда вводили понятие:
- функция прямая пропорциональность: у=kx (х и у
– переменные, k – параметр, k
); - линейная функция: у=kx+b (х и у – переменные, k и b – параметры);
- линейное уравнение: ax+b=0 (х – переменная, a и b – параметры);
- уравнение первой степени: ax+b=0 (х –
переменная, a и b – параметры, а
0); - квадратное уравнение: ax2+bx+c=0 (x –
переменная, а,b и с – параметры, а0).
Решить уравнение f(х;а)=0 с параметром а – значит для каждого действительного значения а найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.
Договоримся все значения параметра а, при которых уравнение не имеет решений.
Многочлен ах2+bх+с, где а0,а,b,с – действительные
числа, называют квадратным трехчленом.
Уравнение вида ах2+bх+с=0, где а0,а,b,с –
действительные числа, называется квадратным.
Число D = b2 – 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена ах2+bх+с, а также дискриминантом уравнения
ах2+bх+с=0.
Примеры:
1. При каких значениях с уравнение х2+2х+с=0 не имеет корней?
Решение:
х2+2х+с=0
D<0
D=4 - 4c, 4 – 4с<0
4с>4
с>1
Ответ: (1;
).
2. При каких значениях k уравнение х2+kх+9=0 имеет корни?
Решение:
х2+kх+9=0
D
D=k2 – 36
k2 – 36
(k – 6) (k+6)
Ответ: (
; - 6] U [6; ).
3. Определить все значения параметра а, при котором уравнение 2ах2 – 4(а+1)х+4а+1=0 имеет один корень.
Если а=0, то данное уравнение является
линейным -4х+1=0 с единственным корнем х=
.
Если а0, то
исходное уравнение является квадратным и имеет
единственное решение при D=0.
Ответ: 0; - 
; 2.
4. Определите, при каких значениях k один из корней уравнения х2+(k – 1)х+k2 – 4=0 равен нулю.
Если свободный член равен нулю, то один из корней уравнения х2+(k – 1)х+k2 – 4=0 будет нулевой.
Следовательно, если k=2 или k= - 2, то данное уравнение имеет один корень, равный нулю.
Ответ: - 2; 2.