Широкое использование функциональной линии в школьном курсе математики появилось не так давно, но вошло в круг основных вопросов математики достаточно быстро. Примером тому служит анализ КИМов государственного тестирования и ЕГЭ за последние годы. Появились совершенно новые типы задач, не входящие в действующие школьные учебники, при решении которых ученику необходимо практическое применение свойств функций, которые раньше заучивались лишь теоретически. Уравнения, решаемые методом мажорант, с использованием теорем о монотонности функций, которые еще пять лет назад считались "нестандартными", входят в ЕГЭ группы "В". Анализ выполнения заданий выпускниками показал, что наибольшие затруднения вызывают задания:
Уровня А: нахождение области определения сложной функции; чтение свойств функции по графику и распознавать графики элементарных функций; использование графика функции при решении неравенств; нахождение области определения сложной функции; решение неравенств с одной переменной на основе свойств функции.
Уровня В: применение геометрического смысла производной; использование свойств функции для решения задач; решение текстовых задач, составляя математическую модель предложенной в ней ситуации; исследование сложной функции элементарными методами.
Естественно, что вопрос методики изучения свойств функций при решении задач различных типов важен для каждого учителя. Работая в гимназических классах физико-математического и естественно-научного направления, я вводила способы решения таких задач в тематические лекции, занятия спецкурсов и факультативов. Расширение типов задач на применение свойств функций, включаемых в ЕГЭ, оставляет данную тему интересной и актуальной для меня. Цель данной работы: рассмотреть типы задач функциональной линии, встречающиеся в КИМах ЕГЭ, решаемые без применения производной; рассмотреть методику решения этих задач; привести примеры задач, которые можно использовать при подготовке учащихся к ЕГЭ.
Задания на распознавание графиков элементарных функций.
Задания данного типа проверяют базовый уровень и не вызывают затруднений у основной части выпускников.
Пример. На одном из рисунков изображен график
функции 
.
Укажите этот рисунок.
1)
2)
3) 
4) 
Ответ: 2).
Область определения функции в задачах ЕГЭ.
Задания группы "А" проверяют знание учащимися области определения элементарных функций школьного курса алгебры и некоторых комбинаций с ними. Поэтому отработку навыка нахождения области определения таких функций целесообразно проводить:
- при изучении каждой новой функции, применяя новые знания, а также повторять ранее изученное, составляя комбинации простейших функций;
- при изучении простейших типов уравнений, неравенств (показательные, логарифмические, тригонометрические) вводить задания на нахождение области определения функции.
Пример 1. Найдите область определения функции
.
Решение: так как логарифм определен только
для положительных выражений, получим: 2х - х2
> 0, х(х - 2) < 0, все х
(0;2). Ответ: 1)
Пример 2. Найдите область определения функции
.
1)
2)
3)
4)
Решение: так как знаменатель дроби не равен нулю, а подкоренное выражение корня четной степени неотрицательно, для нахождения области определения решаем систему
, 
, 
.
Все х. Ответ: 3).
Пример 3. Найдите область определения функции
.
| 1) | [2; + ) |
3) | (-; 2] |
|
| 2) | (-; -2] |
4) | (-; 2) |
|
Решение: подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому для нахождения области определения функции надо решить неравенство
, 
, 
; так как 0<
<1, то 9-2х 
5, х 
2. Ответ: 1).
Пример 4.Укажите область определения функции 
.
| 1) |  |
2) |  |
3) |  |
4) |  |
Решение: подкоренное выражение квадратного
корня должно быть неотрицательным, поэтому для
нахождения области определения функции надо
решить неравенство 
;
, 
Ответ: 2).
Встречались задания аналогичного характера и в группе "В".
Пример 5. Найдите сумму всех целых чисел,
входящих в область определения функции 
.
Решение. Логарифмируемое выражение
положительно, поэтому
, 
.
Полученное неравенство равносильно
совокупности двух систем:
или 
, 
Целые числа, входящие в решение первой системы: 3, 4, 5; в решении второй системы целых чисел нет. Найдем сумму: 3 + 4 + 5 = 12. Ответ: 12.
Область значения функции в задачах ЕГЭ.
В заданиях ЕГЭ группы "А" задачи на нахождение области значения функции представлены в трех видах: определить область значения функции по данному графику; определить область значения функции, заданной аналитически; определить наибольшее или наименьшее значение функции, заданной аналитически.
Естественно, что отработка навыка нахождения области значений функции по графику проводится при изучении каждой новой функции, при изучении преобразований графиков функций (9-11 классы). В эти темы нужно включать задания, выполняемые не только по графику, но и с функциями, заданными аналитически.
Графическое задание функций.
1. Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке.
| 1) |  |
| 2) |  |
| 3) |  |
| 4) |  |
Решение: так как область значения функции -
это проекция графика на ось ординат, получим
промежуток .
Ответ: 3)
Аналитическое задание функций.
1. Укажите множество значений функции 
| 1) | (5;  ) |
2) | (0; ) |
3) | (- ; ) |
4) | (7; ) |
Решение: так как Е(
) = (0; ),
то Е(+5) = (5; ). Ответ: 1)
2. Найдите множество значений функции 
.
| 1) | (2,5; +  ) |
2) | ( - ; 2,5) |
3) | (- ; + ) |
4) | (0; + ) |
Решение: так как Е(
) = (- ; + ), то Е(2,5+) = (- ; + ). Ответ: 3)
Указать наибольшее или наименьшее значение функции, заданной аналитически.
Для успешного нахождения множества значений
функции надо хорошо знать свойства основных
элементарных функций, особенно их области
определения, области значений и характер
монотонности. Несложные задачи на нахождение
множества значений функции в большинстве своем
ориентированы: на использование простейших
оценок и ограничений (
, 
,
, 
и т.д.); на
выделение полного квадрата 
; на преобразование
тригонометрических выражений 
; использование
монотонности функции (
возрастает на R).
Более сложные задачи на нахождение множества значений функции рассчитаны на: последовательное нахождение значений сложных аргументов функции; метод оценок;
использование свойств непрерывности и монотонности функции; использование наибольшего и наименьшего значений функции; графический метод; метод введения параметра; метод обратной функции.
Пример 1. (группа А). Укажите наибольшее
значение функции 
.
| 1) | 1 | 2) | 2 | 3) | 0 | 4) | 4 |
Решение: Анализируем изменения области
значений функции: Е(
) = 
, Е( -) = , тогда Е( 1- ) =[0;2]. Значит, наибольшее
значение данной функции равно 2. Ответ: 2).
Пример 2 (группа В). Укажите наибольшее целое
значение функции 
.
Решение.
Преобразуем выражение, стоящее под знаком
корня: 
.
Оценим получившееся выражение: 
, 
. Значит, наибольшее значение данной
функции достигается при значении подкоренного
выражения 12, т.е. унаиб=
.Так как 5
, то наибольшее целое
значение функции равно 8.
Ответ: 8.
Пример 3 (группа В). Укажите наибольшее
целое значение функции 
.
Решение. Найдем наибольшее значение функции
g(t)=5t, где t = 
.
Т.к. 5>1, то наибольшее значение показательной
функции будет при наибольшем показателе.
Преобразуем его: 
.
, 
, 
. Наибольшее t = 4,
наибольшее g = 54.Значит, yнаиб.= 2 54
=1250.
Ответ. 1250.
Пример 4 (группа С). Найдите наименьшее целое
значение выражения 
.
Решение. Преобразуем основание степени:
=
=
=
=
=
=
= 
=
=
=
.
Исходное выражение равно 
.
Так как 
, то 
. Следовательно,
наименьшее значение данного выражения, если оно
существует, равно 3. Найдем, при каких значениях х
значение полученного выражения равно трем. 
при 
, 
, 
.
При полученных значениях х исходное выражение не существует, т.к. знаменатель равен нулю. Значит, наименьшее значение выражения рано 4.
Ответ: 4.
Пример 5. Найдите область значений Е(у)
функции 
.
Решение. Решим это задание методом
последовательного нахождения значений сложных
аргументов функции. Выделив полный квадрат
под логарифмом, преобразуем функцию 
, 
и последовательно найдем
множества значений ее сложных аргументов: Е(3х)
= (0; +), Е(3х + 1) = (1; +), Е(- (3х + 1)2) = (- ; - 1),
Е(5 - (3х + 1)2) = (- ;
4). Обозначим t = 5 - (3х + 1)2, где t
Є (- ; 4). Тем самым
задача сводится к нахождению множества значений
функции 
на
луче (- ; 4). Так как функция определена
лишь при t Є(0; +), то
ее множество значений на луче (- ; 4) совпадает с множеством значений функции
на интервале (0; 4), представляющем собой
пересечение луча (- ; 4) с
областью определения (0; +)
логарифмической функции. На интервале (0; 4) эта
функция непрерывна и убывает. При 
она стремится к 
, а при 
принимает
значение -2, поэтому Е(у) = ( -2; ). Заметим, что для решения
примера вовсе не требовалось находить
предварительно область определения исходной
функции, хотя в ходе решения примера обойти эту
проблему полностью все же не удалось.
Пример 6. Найдите область значений функции у = 
. Решение.
Решим этот пример методом оценок, суть
которого состоит в оценке непрерывной функции
снизу и сверху и в доказательстве достижения
функцией нижней и верхней границы оценки. При
этом совпадение множества значений функции с
промежутком от нижней границы оценки до верхней
обуславливается непрерывностью функции и
отсутствием у нее других значений. Из неравенств 
, 
получим оценку 
. При 
и 
функция принимает значения -6 и 6, т.е.
достигает нижней и верхней границы оценки. Как
линейная комбинация непрерывных функций 
и 
, функция у непрерывна на
всей числовой оси. Поэтому по свойству
непрерывной функции она принимает все значения с
-6 до 6 включительно, и только их, так как в силу
неравенств 
другие
значения у нее невозможны. Следовательно, 
. Ответ. .
К нахождению множества значений функции
сводятся многие задачи с параметром, связанные, в
основном, с разрешимостью и числом решений
уравнений и неравенств. Например, уравнение 
разрешимо
тогда и только тогда, когда 
. Аналогично, уравнение имеет хотя бы
один корень, расположенный на некотором
промежутке Х, или не имеет ни одного корня на
этом промежутке тогда и только тогда, когда 
принадлежит
или не принадлежит множеству значений функции 
на промежутке Х.
Также исследуются с привлечением множества
значений функции и неравенства 
, 
и т.д. В частности, для всех допустимых
значений х, если 
.
Пример 8. При каких значениях параметра 
уравнение 
имеет единственный
корень на отрезке 
. Решение. Запишем уравнение в виде 
. Последнее
уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке тогда и только
тогда, когда
принадлежит множеству значений функции 
на отрезке . Найдем это множество,
используя свойство непрерывности и
монотонности функции. На отрезке функция 
непрерывна,
убывает и положительна, поэтому функция 
непрерывна и возрастает
на этом отрезке, так как при делении на
положительную функцию характер монотонности
функции меняется на противоположный. Функция 
непрерывна и
возрастает в своей области определения 
и, в частности,
на отрезке ,
где она, кроме того, положительна. Тогда функция 
, как
произведение двух непрерывных, возрастающих и
положительных функций, также непрерывна и
возрастает на отрезке , поэтому ее множество значений на есть отрезок 
.
Следовательно, уравнение имеет решение на
отрезке ,
причем единственное (по свойству непрерывной
монотонной функции), при 
.
Ответ: .
Как уже отмечалось, разрешимость уравнения на некотором
промежутке Х равносильна принадлежности
значений параметра 
множеству значений функции 
на Х. Следовательно,
множество значений функции на промежутке Х
совпадает с множеством значений параметра , для которых
уравнение имеет
хотя бы один корень на промежутке Х. В
частности, область значения 
функции 
совпадает с множеством
значений параметра , для которых уравнение имеет хотя бы один корень.
Пример 9. Найдите область значений функции 
.
Решение. Решим пример методом введения
параметра, согласно которому совпадает с множеством значений
параметра ,
для которых уравнение 
имеет хотя бы один корень.
При 
уравнение является линейным 
с ненулевым коэффициентом
при неизвестной 
, поэтому имеет решение. При 
уравнение является
квадратным, поэтому оно разрешимо тогда и только
тогда, когда его дискриминант 
. Так как точка принадлежит отрезку 
, то искомым
множеством значений параметра , значит, и областью
значений
будет весь отрезок. Ответ: .
Как непосредственное развитие метода введения
параметра при нахождении множества значений
функции, можно рассматривать метод обратной
функции, для нахождения которой надо решить
относительно 
уравнение 
,
считая у параметром. Если это уравнение имеет
единственное решение 
, то область значений исходной функции 
совпадает с
областью определения 
обратной функции 
. Если
же уравнение имеет
несколько решений 
и т.д.,
то равна
объединению областей определения функций 
и т.д.
Пример 10. Найдите область значений 
функции 
.
Решение. Из уравнения 
найдем обратную функцию 
и ее область определения
: 
> 0 
. Так как уравнение относительно х
имеет единственное решение, то 
. Ответ: 
Умение находить наибольшее и наименьшее значение функций необходимо при решении уравнений и неравенств, еще несколько лет назад относившихся к нестандартным, а сейчас они входят в ЕГЭ (группы "В", "С").
Пример (В7, 2008 год). Решите уравнение 
.
Решение.
1)Рассмотрим левую часть уравнения: 
. Ее значения
при любых значениях х больше либо равны 2.
2) Рассмотрим правую часть уравнения: 
.
Так как 
, то
. Значит, 
. При любых значениях х
правая часть уравнения меньше либо равна 2.
3) Равенство левой и правой частей возможно лишь
в случае, когда обе части равны 2, т.е. 
Из первого
уравнения системы получаем х = 0,4. Этот корень
обращает второе уравнение в верное равенство.
Ответ: 0,4.
В данной статье не рассмотрено применение таких свойств функции как монотонность, четность и периодичность. Задачи на эти свойства также включены в ЕГЭ, и с каждым годом появляются новые типы. Это материал для отдельной статьи.
Используемая литература.
- Мордкович А.Г., Семенов П.В. "Алгебра и начала анализа", профильный уровень - учебники 10, 11 классы, "Мнемозина", 2007 год;
- "Математика в школе", Сильвестров В.В. "Как найти множество значений функции" - №9, 2008 год;
- Качагин В.В. "Тематические тренировочные задания" - "ЭКСМО", 2008 год;
- Денищева Л.О., Рязановский А.Р. "Федеральный банк экзаменационных материалов", "ЭКСМО", 2008 год;
- Качагин В.В. "ЕГЭ. Сборник заданий", "ЭКСМО", 2008 год;
- Рязановский А.Р., Мирошин В.В. "Решение задач повышенной сложности", "Интеллект-центр", 2007 год;
- Демонстрационные варианты КИМ ЕГЭ, 2004 - 2009 год - сайт ФИПИ;