Современный урок математики не есть чем-то неизменное, застывшее, хотя в нем сохраняются некоторые основные моменты, а является постоянно развивающейся формой организации занятий.
Существуют различные типы урока. На практике учитель, разрабатывая системы уроков по конкретным учебным темам, не всегда укладывается в рамки какого-то одного типа, в которой реализовались бы наиболее характерные структурные элементы современных уроков. Учитывая это выявляются наиболее распространенные типы уроков и группируются в блоки. В [1, стр. 180] предлагается следующая группировка по блокам:
В первый блок включены урок ознакомления с новым материалом, урок закрепления изученного, урок применения знаний и умений, урок обобщения и систематизации знаний, урок проверки и коррекции знаний, комбинированный урок.
Во второй блок отнесены урок-лекция, урок-семинар, урок -практикум, урок-консультация, урок-зачет.
В третий блок включены урок с дидактической игрой, урок-ролевая игра, урок-экскурсия, урок-дискуссия.
В четвертый блок вошли урок-соревнование, урок-деловая игра, интегрированный урок, театрализованный урок.
В силу специфики предмета всякий урок математики в большинстве своем относятся к первому блоку, иногда является комбинацией структурных компонентов указанных блоков. В младших звеньях школы для привития интереса к предмету применяют типы уроков из третьего и четвертого блока. Нередко содержание учебного материала во многом определяет выбор соответствующих методов и структуру урока. Так, при первичном рассмотрении достаточно сложного материала, когда учитель существенно ограничен во времени на его проработку с учащимися, а для изложения нового материала требуется почти весь урок, подходящей оказывается структура урока ознакомления с новым материалом. Если этого урока недостаточно, то для продолжения изучения темы подойдет урок применения знаний и умений, который имеет следующий структуру:
- Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний
- Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учения школьников
- Изучение нового материала
- Первичное применение приобретенных знаний
- Применение учащимися знаний в стандартных условиях
- Творческий перенос знаний и навыков в новые условия
- Итоги урока и сообщение домашнего задания
Мною уже была дана схема проведения урока ознакомления с новым материалом по теме «Функция: её определение и обсуждение» в 10 классе общеобразовательной школы [2]. Основными школьными функциями являются числовые функции числового аргумента. Предлагаемый подход к изложению числовой функции основан на том факте, что определения функций, изучаемых в средней школе носят алгоритмический характер: выписывается вполне определенная последовательность действий, которая для данного числа х – значения аргумента функции – приводит к соответствующему значению функции. Определение числовой функции вводится через рассмотрение функции (правила, алгоритма) на числовом множестве определения и так же числовом множестве значения. Заметим тут, что в определении функции используется термин «множество определения», т.к. в математике термин «область» имеет другой смысл. Согласно определению функции в [3, стр. 58] даём определение постоянной функции (правило f, по которому каждому числу x ставится в соответствие число k: f(x) = k), прямой пропорциональности (f(x) = kx), линейной (f(x) = kx + b), квадратичной функции. Заметим, что квадратичная функция f(x) = ax2 + bx + c полностью определяется заданием трех чисел a, b, c и последовательным нахождением чисел ax2, bx, а затем и итоговым нахождением суммы трех чисел ax2, bx и c.
Здесь нет необходимости учителю давать все определения самому. При умелом пояснении алгоритма, учащиеся сами могут дать определение функций f(x) = x2, f(x) = ax2, f(x) = x2 + px + q. Аналогично обстоит дело и с функцией многих переменных.
Если множество определения числовой функции рассматривать как произвольное количество чисел, взятых в определенном порядке (упорядоченная пара (x, y), упорядоченная тройка (x, y, z) и т.д.), то так же можно ввести определение функции многих переменных (каждой упорядоченной паре, тройке и т.д. значения переменных поставить в соответствие число, которое обозначается, соответственно, f(x, y, z), f(x, y, z) и т.д.)
В [4, стр. 231] четко определены основные моменты, «которые могут облегчить и сделать доступным учащимся понятие функции, в то же время максимально приблизить изложение к современной научной точке зрения.
- Определение функции должно вводиться как «правило, алгоритм, закон, примененный к аргументу х», воздерживаясь от понятия «зависимая переменная».
- Учащийся должен четко различать и понимать смысл основных компонентов в самом определении: множества определения, функции как правила, применяемого к аргументу, f(x) –как результата применения правила к аргументу х, множества допустимых значений функции.
- По заданной формуле учащийся должен уметь формулировать правило, которым задана данная функция.
- Уметь записать в виде формулы правило, по которому задана функция.»
Оживить изучаемый материал, побудить в учащихся познавательный интерес должны тщательно подобранные примеры из окружающей нас жизни, примеры, описывающие физические, химические процессы, географические понятия. Методически правильно подобранный и преподнесенный материал подтолкнет ученика к тому, что он и сам сможет привести соответствующие примеры.
Итак, с учетом изложенного выше, как продолжение темы «Функция» в виде урока усвоения навыков и умений рассмотрим тему «Числовые функции» в 10 классе общеобразовательной школы.
Цели урока:
- Ввести понятие числовой функции, числовой функции числового аргумента
- Ввести понятие постоянной, линейной, квадратичной функций
- Ввести понятие функции многих переменных
- Научить учащихся давать определение числовых функций по аналогии с известными определениями
- Научить учащихся приводить примеры из окружающей жизни
Оборудование и материалы: карточки с заданиями.
Ход урока
1. Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний
Проверка домашнего задания
Домашнее задание: составить по 3 примера различного способа задания функции (аналитически и словесно).
Способ проверки: учащиеся читают свои задания и проводится обсуждение этих способов задания.
Воспроизведение и коррекция опорных знаний (работа по карточкам - один учащийся решает с коментированием, остальные коментируют при проверке)
Карточка №1
Найти множество определения функции. В чем заключается правило, по которому задана данная функция?
Карточка №2
Найти множество определения функции. В чем заключается правило , по которому задана данная функция?
Карточка №3
Найти множество определения функции. В чем заключается правило , по которому задана данная функция?
2. Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учения школьников
Фронтальный опрос учащихся по предыдущей теме:
- Что такое функция?
- Что называется множеством определения функции?
- Что называется множеством значения функции?
- Какое множество называется числовым?
- Какое условие накладывается на множества Е и F в определении функции? Как называются эти множества? А какой природы они могут быть?
Комментируя ответ на последний вопрос, сообщается тема, цели, задачи урока, мотивация учения (на множества E и F не накладываются никакие условия, они могут быть любой природы, но среди них обратим внимание на то, что они могут оба быть числовыми множествами. О функциях, заданных на числовых множествах и имеющие множеством значений так же числовые множества мы и познакомимся сегодня на уроке).
3. а. Изучение нового материала
Определение числовой (действительнозначной) функции числового (действительнозначного) аргумента
Если в определении функции f множество ее значений В является числовым, т.е. её элементами являются только числа, то функция f называется числовой (каким бы ни было множество определения D). Если множество D состоит только из чисел, то функция f называется функцией числового аргумента (каким бы ни было множество В).
Мы ограничимся рассмотрением числовых функций числового аргумента. Функция, по определению, есть правило. Сами правила бывают весьма разнообразными, выступая как аналитический аппарат, во многом определяющий содержание математической теории. В школьном курсе математики эти правила представляют собой алгоритмы как предписание для последовательного выполнения вполне определенных действий.
Приведём ряд случаев, когда эти правила можно выписать непосредственно применением знаков арифметических операций сложения, умножения, вычитания и деления. Отметим, что здесь во всех случаях множество задания функции D есть множество R = (-∞, +∞) всех действительных чисел.
1. Дано действительное число k и f(x) = k. Тогда «правило f каждому числу x ставит в соответствие число k». Например, при k = 3 имеем: если x = 1, то f(1) = 3, x= 3 также f(3) = 3, и вообще, для любых x выполнено равенство f(x) = 3. Функцию f(x) = k называют постоянной функцией.
4.а. Первичное применение приобретенных знаний
2. Дано число k, f(x) = kx. Правило f заключается в том, что числовой аргумент x умножается на число k. Функцию f(x) = kx называют прямой пропорциональностью.
3. Даны числа k и b, f(x) = kx + b. Правило f означает, что сначала аргумент x умножается на число k, затем полученное произведение складывается с b.
Функции 2-3 называются линейными, что означает, что в них аргумент x имеет первую степень x = x1.
4. f(x)=x2; правило f заключается в возведении в квадрат аргумента x.
5. Дано число а, f(x) = ax2.
6. Даны числа p и q, f(x) = x2 + px + q.
7. Даны числа a, b и c, f(x) = ax2 + bx + c.
Функции 4-7 называют квадратичными.
В примерах 5-7 ограничимся формулировкой правила f в 7: для данного числа x последовательно находятся числа ax2 и bx, а итоговым действием является нахождение суммы трёх чисел ax2, bx и c.
Заметим, что квадратичная функция полностью определяется заданием трех чисел – коэффициента а при x2, коэффициента b при x1 = х и коэффициента c при x0 = 1.
Задание1. Аналогично формулировке для примера 7 сформулировать правила для примеров 4-6.
Задание2. Пусть a = 2, b = -5, c = 4 и f(x) = aх2 + bх + c. Найти f(3), иными словами, применить правило f к числу 3.
Задание3. f(x) = 3х7. В чем состоит правило f? Применить это правило к числу 2.
5.а. Применение учащимися знаний в стандартных условиях
8. Даны натуральное число k и действительное число ck, f(x) = ckxk – правило f состоит в возведении аргумента x в k-ую степень с последующим умножением на число (коэффициент) ck.
9. Пусть при заданных (n + 1) чиcлах c0, c1, …, cn функция f определена равенством f(x) = c0 + c1x + c2x2 + … + cnxn. В чем состоит правило f ?
Вопрос: При каких условиях получим функцию из примера 3, а при какихквадратичную функцию из примера 7?
Определение: Если cn ≠ 0, то функция f(x) = c0 + c1x + … + cnxn называется (целым) алгебраическим многочленом степени n.
10. Пусть f(x) = x3 + 3x2 - 2x + 3, найдите: f(0), f(a), f(a + 2), укажите алгоритм нахождения.
По аналогии с понятием числовой функции вводится понятие числовой функции многих переменных
3.б. Числовые функции многих числовых переменных
В определении функции множество определения задается произвольным образом.
Так, в качестве значения аргумента может выступать не только одно, но и два, три и вообще произвольное количество чисел, но взятых в определенном порядке. Именно, рассматриваемые как одно значение аргумента: (x,y)-упорядоченная пара чисел x и y, (x,y,z) - упорядоченная тройка чисел x, y и z, и, вообще, (x1,x2,…,xn) – упорядоченная n-членная последовательность x1, x2, …, xn.
Соответствующие значения функции f обозначаются f(x,y), f(x,y,z) и, вообще, f(x1,…,xn).
4.б. Первичное применение приобретенных знаний
Задание 4. Дать определение числовой функции двух, трех, многих переменных.
Приведем некоторые примеры функций, зависящих от многих числовых переменных.
Функции вида f(x,y) = cxkym, f(x,y,z) = cxkymzl, и, вообще 
, где с - действительное число, k, m, l, m1, … ,mn – целые неотрицательные числа, называются соответственно одночленами двух, трех и, вообще, n переменных.
Задание 5. Дайте определение многочлена, количества переменных этого многочлена. (Сумму конечного числа одночленов с ненулевыми коэффициентами называют многочленом. При этом общее количество букв, в ненулевых степенях входящих в составляющие одночлены, называют количеством переменных этого многочлена.)
Определение: Рациональной алгебраической дробью называют функцию f заданную в виде отношения многочленов
, где N - наибольшее из чисел n и m.
5.б. Применение учащимися знаний в стандартных условиях
Задание 6. f(x, y, z) = 3x + 17xy + 21xyz. Определите, многочлен скольких переменных дан в аналитической записи данной функции?
Задание 7. Определите вид рациональной алгебраической дроби при n = m = 1, xn = a, xm = b.
6. Творческий перенос знаний и навыков в новые условия
Задание 8. Пусть множество определения Е функции f есть множество учащихся данного класса (ясно, что это не числовое множество). Приведите примеры множества значений F функции f таких, чтобы можно было задать числовую функцию.
Задание 9. Класс, состоящий из 25 человек, завершил учебную четверть со следующими результатами по алгебре: оценку «5» получили 5 человек, оценку «4» получили 12 человек, остальные получили оценку «3» . Задайте правило f так, чтобы это была числовая функция числового аргумента.
Задание 10. Температура воздуха, тела, атмосферное давление, плотности тела, воздуха – это примеры величин, которые могут быть значениями функции многих переменных. Задайте для каждого случая отдельно функцию многих переменных.
7. Итоги урока и сообщение домашнего задания
Подведение итогов (кратко остановиться на важнейших моментах изученной темы, затем поставить оценки учащимся за урок с коментированием)
Задание на дом:
- Знать основные понятия и определения по изученной теме
- По заданной формуле уметь формулировать правило, которым задана данная функция.
- Уметь записать в виде формулы правило, по которому задана функция.
- Упражнения №54,55, стр 67 из Н.Темиргалиев, Б.Аубакир, Е.Баилов, М.К.Потапов, К.Шерниязов «Алгебра и начала анализа» для Х-Х1 классов, А., «Жазушы», 2002.
Литература
- Саранцев Г.И., Методика обучения математике в средней школе, М.,Просвещение, 2002
- Воказе К. Е., Урок по теме «Функция : её определение и обсуждение» //http://festval.1 september. ru/articles/51206, 2008
- Темиргалиев Н., Аубакир Б., Баилов Е., Потапов М.К., Шерниязов К.,Алгебра и начала анализа для Х-Х1 классов, А., «Жазушы». 2002
- Жайнибекова М., Воказе К., Понятие функции в средней школе //Материалы 11-ой Международной Межвузовской конференции по математике и механике, посвещенная 10 летию Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева // -Астана, 2006