Методическая разработка темы "Решение уравнений с параметрами в 6-м классе"

Среди задач элементарной математики наибольшие трудности вызывают, как правило, задачи с параметрами. Многие учащиеся слабо владеют методами их решения, часто воспринимают параметр как величину известную и проводят выкладки без должного анализа различных ситуаций, создаваемых параметром. Отсюда и неверные выводы, порою даже парадоксальные. Чтобы избежать этого, необходимо продумывать каждый шаг решения задачи с параметром, логически обосновывать любое преобразование, в котором участвует параметр. Поэтому начинать обучать школьников решать задания с параметрами надо уже в 6 классе.

Начинается подготовка к изучению данной проблемы с темы «Буквенные выражения» в 5 классе и продолжается в 6 классе. Особое внимание уделяется составлению буквенных выражений. Ведь через них необходимо донести до сознания учащихся значение переменной или нескольких переменных. Ученики должны чётко выполнять поставленную задачу, уметь работать с формулой, регулярно возвращаясь к данной теме на всем протяжении изучения математики в 6 классе.

На начальном этапе учащимся можно предложить следующие задания (или задания, похожие по смыслу).

1. Переведите разными способами на математический язык следующие предложения:
   а) число k больше числа m на 3;
   б) число 9 меньше числа x на 5;
   в) число a меньше числа b на 1;
   г) число n больше числа k в 2 раза;
   д) число c меньше числа z в 6 раз.
2. Запишите с помощью буквенного выражения:
   а) произведение двух последовательных натуральных чисел;
   б) сумму двух последовательных натуральных чисел;
   в) произведение пяти последовательных чисел, начиная с числа: 1) n; 2) n+3; 3) n-2/
3. Одна шариковая ручка стоит a рублей
   1) Сколько стоят 2 шариковых ручки; 7 шариковых ручек; m шариковых ручек?
   2) Обозначьте стоимость покупки буквой S и запишите формулу стоимости покупки.
4. За 1 минуту междугороднего телефонного разговора берётся плата x рублей.
   1) Какова стоимость разговора продолжительностью 3 мин., 5 мин., c мин.?
   2) Обозначьте стоимость разговора буквой A и запишите формулу для вычисления стоимости междугороднего разговора.
5. Т рое школьников заработали за лето k рублей. Первый заработал d рублей, а второй- в 1,5 раза больше. Сколько рублей заработал третий школьник?
6. В футбольном турнире за каждую победу присуждается 2 очка, а за каждое поражение- 1 очко. За игру, сыгранную вничью, очки не присуждаются.
   1) Запишите выражение для подсчёта очков, полученных командой, если она выиграла 3 раза и проиграла 4 раза; выиграла 2 раза и проиграла 1 раз; выиграла d раз и проиграла k раз.
   2) Обозначьте общее число очков буквой R и запишите формулу для вычисления очков.

Следующим этапом в освоении данной темы являются задачи на составление буквенного выражения и нахождение его значения. Для этого можно использовать задачи такого типа:

1. Прямоугольный участок земли имеет размеры сторон х и у. По границе этого участка натягивают трос, чтобы укрепить на нем забор. При этом оставляют проемы для ворот и калитки длиной 3м и 1.5м. Сделайте рисунок и составьте формулу для выяснения длины троса α. Вычислите α при
   а) х = 60м у = 10м;
   б) х = 20м у = 30м.
2. Каждый работающий платит налог(подоходный) в размере 12% заработка.
   а) составьте формулу для составления подоходного налога I от заработка W.
   б) вычислите I при W=300р, при W=225р.
3. Число диагоналей выпуклого многогранника, у которого n сторон, равно . Подсчитайте число диагоналей пятиугольника, десятиугольника, дванадцатиугольника .
4. Сумма A всех натуральных чисел от 1 до некоторого числа n вычисляется по формуле . Найдите сумму всех натуральных чисел то 1 до 10, от 1 до 50, от 1 до 100. Как, используя эту формулу, подсчитать сумму всех натуральных чисел от 51 до 100?

Постепенно от составления выражений с переменными и нахождения их значений переходим к работе с формулой. Это также является подготовкой к успешному усвоению таких предметов как физика, химия и сдачи экзамена по математике за курс 9 класса.

Для этого переходим к заданиям следующего плана:

1. Пусть длина шага пешехода равна t, а число сделанных им шагов равно n.
   а) Запишите формулу, выражающую зависимость расстояния S, пройденного пешеходом, от t и n.
   б) Выразите из этой формулы величины t и n.
2. Найди x из пропорции:
1. =;
2. =;
3. = .
3. Периметр треугольника определяется по формуле P=a+b+c.
   а) Что в этой формуле обозначают буквы P, a, b, c?
   б) Выразите сторону c через периметр P и две другие стороны a и b.
4. Для вычисления количества кирпичей, необходимого для укладки стены определённых размеров, используется формула N=61kh (N-число кирпичей, k- длина стены, h- высота стены). Выразите:
   а) h через N и k;
   б) k через N и h и найдите их значения при N=150, k=3м; N=150, h=0,5м.
5. Выразите из данного равенства переменную x:
   а) 2xm=y; в) 5a=15xa; д) 2n=(x-n);
   б) 7x+y=y; г) 2b=a-3x; е) x+=14y.

Постепенно переходим к решению уравнений:

1. 2x+7=b
2. 2. 5x-a=9
3. x=;
4. x=.

Учащиеся к этому времени уже привыкли работать с выражениями и равенствами в буквенном виде и начинают воспринимать параметр не просто как известную величину.

Следующий этап работы – это решение уравнений, в которых буквы a, b, c-параметры, t- неизвестная величина, значение которой надо найти.

а) 3at-b-6t=0, a2;

б) 10t-5b-ct=0, c10;

в) a(2-3t) -5(b-15t)=0, a25;

г) a(t-a) -=0, a0.

Учащимся необходимо объяснить, на каком этапе решения уравнений пришлось воспользоваться ограничениями, наложенными на значения букв a, b, c.

Постепенно переходим к решению уравнений вида ax=b, ax+c=b без указания ограничений на значения параметров.

Например: ax=3.

Здесь задача усложнилась и необходим анализ. К этому анализу учащихся надо очень чётко подвести. Они по привычке решают уравнение x=. Не все ребята понимают, что a не может быть равным 0.

Ответ: x=, если a0.

Можно предложить учащимся решить уравнения:

а) au+3=5u где u- неизвестная величина;

б) au-m=u;

в) 4-6u=au;

г) m+3u=au.

Задание: При каких значениях a корни уравнения равны нулю:

1. ax-7=2a-x;
2. 3ay+12=3a+4;
3. +ax=4x+1;
4. A(x-1)=1;
5. A(x+1=-1.

Поставим перед собой исследовательскую цель:

1. Найдите значение a, при котором уравнений (x-2)(a-1)=0, (a+10)(x+2)=0 является любое число.

2. Найдите значение a, при котором уравнения (a-2)x=1 и (a+3)x=-1 не имеют корней.

Учащимся можно предложить домашнюю самостоятельную работу«Анализ уравнений».

Постепенно решение этой самостоятельной работы необходимо разобрать в классе.

Ещё одна важная тема в курсе математики 6 класса -«Модуль числа».

Перед учащимися ставится следующая цель: решить уравнение, содержащие переменную под знаком модуля и параметр:

1. =2, с учащимися обговаривается, что a может быть любым числом;
2. =5;
3. =7.

Чтобы учащиеся лучше запомнили смысл модуля, рекомендую использовать такие уравнения:

1. =a;
2. -a=-3.
   Некоторые учащиеся сразу говорят, что данное уравнение не имеет смысла. Тогда повторяем определение модуля и выясняем, что =a-3. При a3 уравнение имеет корни x=a-3 или x=3-a, при a<3 корней нет.
3. =a+2;
4. =5-a;
5. +a=6.

С решением данных уравнений начинается пропедевтика решения линейных неравенств с одной переменной.

Домашняя самостоятельная работа по теме «Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля и параметр».