Учебная исследовательская деятельность на уроках математики. Тригонометрические уравнения. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Введение стандартов нового поколения предусматривает достижение компетенции учащимися.

Знаю + умею + хочу = компетентность.

Как обеспечить способность учащихся к саморазвитию, самосовершенствованию?

В ответе на этот вопрос на первый план выступает формирование универсальных учебных действий как цель образовательного процесса, определяя его содержание и организацию. Многолетний опыт работы учителем математики привел меня к убеждению, что одним из наиболее эффективных инструментов для достижения этой цели является учебная исследовательская деятельность (УИД).

Несколько лет назад мне очень повезло: на курсах при ГЦРО была создана творческая группа по этой теме, которую возглавляла Марина Владимировна Таранова. Мы познакомились не только с теорией вопроса, но и увидели отличные результаты организации УИД на уроках математики М. В.. Идея увлекла меня, и я начала работу по внедрению УИД на своих уроках в классах разных параллелей (5-6, 10). В данной статье я привожу пример изучения темы “Тригонометрические уравнения в 10 кл”, осуществляемой по данной технологии.

I этап.

Я считаю, что работа должна начинаться с формирования целостной картины изучаемого материала как у ученика, так и у учителя. Я познакомилась с наработками по этой теме других авторов, выделила блок “Функции, уравнения”, проследила динамику изменения и взаимодействия этих понятий на протяжении изучения их в 1 – 11 классах, особенности подачи материала в учебниках различных авторов. Итогом этой работы стала таблица “Уравнения, функции” (приложение 1). Этой таблицей я пользовалась на протяжении всей темы, несколько в упрощенном варианте она была представлена на плакате в кабинете, и я неоднократно обращала на нее внимание учащихся, давала задания с использованием таблицы.

II этап.

Особенности методики изучения темы:

На протяжении всего периода изучения темы в кабинете висит общая технологическая карта темы. Она постепенно заполняется и дополняется, на обозрение представляются наиболее интересные творческие работы учащихся. Все домашние задания содержат творческий элемент, задания исследовательского характера, вопросы истории. Обучение конструированию уравнений начинается уже на начальном уровне их изучения. Оно же является финальной частью изучения темы, творческим отчетом каждого ученика. Свои “изобретения” учащиеся собирают в отдельную папку или тетрадь, которая служит своеобразной копилкой их достижений. Интерес к изучению темы подогревается не только соревновательным характером творческих заданий. Одна наша ученица любила говорить: “Учиться надо весело, чтоб хорошо учиться”. Я, увы, не могу так легко, как это делает Марина Владимировна, быстро сочинять задачи в стихах, или весь урок построить в стихотворной форме. Но при оформлении технологических карт я использую специальные значки, которые очень нравятся ребятам.

(рис.1)

Тему “Тригонометрические уравнения” формально начинают изучать в 10 классе, но поскольку эти уравнения, за исключением простейших, строятся на основе различных видов уравнений, изученных учащимися ранее, то предварительное изучение алгоритмов решения линейных, квадратных, дробно-рациональных, иррациональных и других уравнений служит пропедевтикой систематизации видов тригонометрических уравнений и способов их решения.

Формирование навыков решения тригонометрических уравнений можно разделить на пять этапов. Для повышения эффективности обучения решению и составлению тригонометрических уравнений я составила две таблицы “Решение тригонометрических уравнений”, которыми удобно пользоваться на всем протяжении изучения данной темы (приложение 2), а также при повторении материала перед экзаменами в 11 классе.

I. Первое знакомство с простейшими тригонометрическими уравнениями происходит в теме “Синус и косинус. Тангенс и котангенс”. Уроки №5,7,8-12, 13-зачет и №14-к/р №1, №16 – формулы приведения.

Здесь решаются простейшие уравнения вида sinx = a, cosx = a и др. с помощью иллюстрации на тригонометрической окружности. Навыки чтения тригонометрической окружности, построения на круге точек и углов, соответствующих данным значениям тригонометрических функций, являются основополагающими при нахождении серий решений простейших тригонометрических уравнений.

II. Первые представления о решении простейших тригонометрических уравнений. Уроки № 28-34. Работа с таблицей №1.

В этом разделе выводятся формулы корней простейших тригонометрических уравнений. Рассматривается их использование для уравнений вида f(x) = a, f((x)) = a, где входящие функции – тригонометрические.

III. “Тригонометрические уравнения”. Уроки № 35-37, 38-зачет, 39-к/р №3. работа с таблицей №1. Здесь рассматриваются основные виды уравнений и методы их решения, связь с алгоритмами решения ранее изученных видов уравнений.

IV. В теме 3 “Преобразование тригонометрических выражений” продолжается изучение решения тригонометрических уравнений, в частности, приведение их к простейшему виду с помощью формул. Работа с таблицей №2. уроки № 43-48, 51-53, 54-зачет, 55-к/р №5.

V. Продолжение работы с таблицей №2 на факультативных занятиях, где рассматриваются наиболее сложные уравнения.

Последующая работа с тригонометрическими уравнениями приходится на 11 класс, период подготовки и повторения к экзаменам, для учащихся, поступающих в ВУЗ со сдачей математики. рассматриваются более сложные уравнения уровня вступительных экзаменов.

Последовательность обучения решению тригонометрических уравнений

  1. Решение простейших уравнений с помощью тригонометрического круга.
  2. Решение простейших уравнений по формулам
  3. Тригонометрические уравнения, содержащие сложные тригонометрические функции.
  4. Решение основных видов алгебраических уравнений, имеющих в качестве неизвестной величины тригонометрические функции
  5. Приведение уравнений к простейшему виду или к известной форме с помощью формул преобразований тригонометрических выражений.
  6. Специальные алгоритмы решения
  7. Уравнения с обратными тригонометрическими функциями.
  8. Уравнения с параметром.
  9. Решение экзаменационных уравнений, содержащих сложные функции a sinx,  loq sinx и т.д.

Технология работы с таблицами (приложение 2)

Применение таблиц в обучении решению тригонометрических уравнений возможно уже на I этапе. После рассмотрения формул корней простейших тригонометрических уравнений и тренинга в применении их в решении рассматривается маршрут I – 1 и II – 1 из таблицы №1. Учащиеся решают уравнения такого вида и конструируют уравнения по аналогии. Одновременно уч-ся повторяют решение уравнений вида (2) и (3), создают базу данных, подбирая подходящие уравнения из курса 9 класса.

Затем, переходя к этапу III, учащиеся учатся решать, а потом и конструировать уравнения квадратные относительно входящих тригонометрических функций и приводимые к квадратным. Учитель знакомит учащихся с однородными уравнениями, обучает методике их решения, с уравнениями, решаемыми разложением левой части на множители и вида f(x)*q(x) = 0. учащиеся создают базу данных из алгебраических уравнений таких видов, а затем с ее помощью конструируют уравнения.

В результате проработки линии-7 повторяют особенности решения иррациональных уравнений. В качестве примера работы учителя над уравнениями вида vf(x) = q(x) предлагаю описание технологии изучения таких уравнений учащимися 10 класса.

После рассмотрения решения нескольких конкретных уравнений такого типа и повторения особенностей решения иррациональных уравнений, а также техники отбора корней в тригонометрических уравнениях учащимся было предложено сконструировать несколько уравнений такого типа и прорешать их, используя банк данных. Работа велась групповым методом. В результате обсуждения выяснилось, что уравнения, составленные учащимися, получились разной степени сложности и разновидностей. Возникли дополнительные вопросы, требующие проверки и обобщения. По сформулированным вопросам учащиеся провели дополнительное исследование, и результаты были обсуждены. Отчет по такому исследованию предлагаю в данном разделе.

Сообщение о результатах проведенного исследования подготовили ученики 10 класса.

При конструировании уравнений вида у нас возникли следующие вопросы:

  1. Как влияют особенности решения иррациональных уравнений (в частности, нарушение равносильности) на результаты решения уравнений данного вида?
  2. Влияет ли ограниченность функций y = cosx, y = sinx на существование корня квадратного в левой части уравнения?
  3. К какого вида уравнениям сводятся данные уравнения в ходе решения?
  4. Как удобнее осуществлять отбор корней в полученных уравнениях?

Для исследования этих вопросов мы все составленные нами уравнения данного вида разделили на 4 блока.

В 1-й блок вошли уравнения вида .

Все такие уравнения сводятся к системе полученное уравнение имеет промежуточные корни, равные 0 и 1, что удовлетворяет условию, поставленному в неравенстве f(x) 0, поэтому все найденные решения удовлетворяют исходным уравнениям.

Во 2-й блок вошли уравнения, заданные при условии f(x) q(x).

Всего таких уравнений 12.

Здесь наблюдается большее разнообразие приемов в решении. Уравнения сводятся к уравнениям 2-й и 3-й степени относительно входящей тригонометрической функции.

Наибольший интерес из них представляет уравнение . Оно сводится к системе: . Полученное в системе уравнение сводится к виду .

(Рис.2 )

Т.к. sin2x 2, то равенство выполняется только при условии sinx=0, откуда x = , Но т.к. система содержит неравенства, то в уравнении требуется отбор корней, который осуществляется с помощью тригонометрической окружности.

В итоге получаем серию решений x = ,

К третьему блоку мы отнесли уравнения, содержащие под корнем функции

  1. = 1 – cosx
  2. = 1 + cosx
  3. = cosx – 1.

Поскольку при любых действительных значениях х.

1 + cosx 0 – тоже.

При этом уравнение не имеет решений, т.к. промежуточные корни не удовлетворяют указанному неравенству.

Cosx-1 0. поэтому решение возможно только в случае, когда Cosx-1=0.

Рассмотрим два уравнения:

Первое из них не имеет решения, а второе обращается в верное равенство при x = 2.

В 4 блок мы внесли более сложные уравнения:

В большинстве рассмотренных уравнений отбор корней осуществляется с помощью тригонометрической окружности, а в последнем уравнении проверка решений осуществляется непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Рассмотрим решение уравнения .

Уравнение сводится к системе:

Cos2x = (1+2sinx)2;

1 - 2sin2x - 1 - 4sinx - 4sin2x = 0;

3sin2x + 2sinx = 0;

sinx·(3sinx + 2) = 0;

sinx = 0; sinx = - .

x = . Дальнейшая проверка осуществляется прямой подстановкой в исходное уравнение и неравенство системы.

При x = уравнение превращается в верное равенство. При sinx = - правая часть уравнения становится отрицательным числом, что противоречит поставленным условиям.

Т.о. ответ: x = .

Этапы работы с таблицей №1

Изучение нового материала.

Определение типа уравнения и приемов его решения.

Подбор опорных уравнений различных видов и конструирование тригонометрических уравнений на их основе.

Аналогично описанным выше методам работы с таблицей №1 осуществляется работа и с таблицей №2 в соответствии с календарно- тематическим планированием. При этом решение уравнений осуществляется по плану: изучение метода решения уравнения – применение метода при решении уравнений – конструирование уравнений – (при необходимости) дополнительный поиск общих закономерностей в решении уравнений того или иного типа.

Т.о. понятие тригонометрического уравнения и методы его решения рассматриваются в общем контексте линии “уравнения”, подчеркиваются общие закономерности в решении уравнений, взаимосвязь между различными типами уравнений и приемами их решения, что обеспечивает формирование целостной картины изучаемого материала. Учащиеся постоянно находятся в состоянии поиска, исследования. Конструируя уравнения, они самостоятельно формулируют и решают возникающие проблемы. У них есть возможность сравнивать свои результаты работы с результатами товарищей. Это воспитывает самокритичность, способствует формированию самооценки, развиваются коммуникативные навыки, развивает творческий потенциал. Ученик из “среднего” вырастает в человека думающего, нестандартно и критически мыслящего, способного к самосовершенствованию.