Сечение многогранников

Разделы: Математика

Введение.

Особенность человеческого мышления такова, что даже простейшее восприятие и запоминание требуют неоднократного обращения к материалу. Начальные темы стереометрии изучаются длительное время, поэтому процесс забывания неизбежен. Следовательно, программой необходимо предусмотреть уроки тематического повторения, работающие на перспективу применения этих знаний в новой ситуации. Обобщающее повторение начал стереометрии имеет особое значение, т.к. является фундаментом для решения задач на построение сечений, нахождение их площадей, нахождение площадей поверхности и объемов и др. Для того, чтобы избежать однообразия и активизировать самостоятельную деятельность учащихся, необходимо расширить знания учащихся, предоставить другие формы деятельности. Современные информационные технологии позволяют  сделать это. Новыми преимуществами являются: возможность остановок в непрерывном процессе построения изображения, возможность возврата к более ранним стадиям процесса, возможность установки имеющихся материалов в информационных сетях разного уровня (что обеспечивает широкий доступ к ним) и, наконец, возможность использования мультимедийных технологий для анимации и озвучивания тех или иных фрагментов процесса обучения.

На основании этого вашему вниманию представлен обобщающий, интегрированный урок по теме «Сечение многогранников» в 10-м

Тема урока: «Сечение многогранников»

Цель урока:  Обобщить, систематизировать и  закрепить полученные знания и рассмотреть их развитие в перспективе.

Задачи урока:

Образовательная:

  • обобщить, систематизировать и  закрепить полученные знания на предыдущих уроках,
  • при помощи информационных технологий построить сечения,
  • проверить свои знания с помощью теста.

Развивающая:

  • развитие геометрической интуиции на образы, свойства, методы построения.
  • развитие  пространственного мышления, пространственной абстракции, их общности, анализа и синтеза геометрических образов, пространственного воображения.
  • развитие логического мышления (владение правилами логического вывода и построения, владение разными методами геометрии).

Воспитательная: воспитывать активность и самостоятельность, аккуратность учащихся, интерес к предмету.

Тип урока: обобщающий, интегрированный урок.

Форма проведения урока: урок с компьютером.

Методы: словесные, наглядные, межпредметные связи, проектная деятельность.

Оборудование урока: компьютеры, проектор, экран.

План урока

  1. Организационный момент - 1 мин.
  2. Презентация тема «Сечение многогранника» - 3 мин.
    • основные понятия
    • демонстрация сечений
  1. Устное решение задач.  5 мин.
  2. Презентация методов построения сечений - 7 мин.
  3. Аксиометрический  метод: метод следов
  • Аксиометрический  метод: метод вспомогательных сечений
  • Комбинированный метод.
  1. Гимнастика для глаз - 1 мин.
  2. Защита проектов - 15 мин
  3. Тест по теме «Сечение многогранника»-10 мин
  4. Подведение итогов урока. Рефлексия. - 2 мин.

Ход урока

Организация начала занятий.

Учитель: Здравствуйте, ребята. Наши последние занятия были посвящены теме «Сечение многогранника», мы изучили основные определения, познакомились с различными методами построения сечений, решали задачи на построение и конечно же анализировали свои решения и результаты. Сегодня наш урок интегрированный, на занятии мы повторим,  обобщим, закрепим полученные знания, как на уроках геометрии, так  и на уроках информатики. Мы решим задачи на построение  сечений с помощь компьютера и конечно продемонстрируем свои творческие, проектные работы.

Учитель: Для начала вспомним, что мы называем многогранником и сечением многогранника.

Ученик 1: Многогранником называется - тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Ученик 2: Сечением поверхности геометрических тел называется - плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Учитель: Замечательно, а каким способом можно задать секущую плоскость.

Ученик 3: Через три точки, по теореме о способе задания плоскости: «Через три точки можно провести плоскость и только одну».

Ученик 4: Через прямую и не лежащую на ней плоскость, по теореме «Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и только одну».

 Ученик 5: Через две пересекающиеся прямые, по аксиоме «Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и только одну».

Ученик 6: Через две параллельные прямые, по определению «параллельных прямых: прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются».

Учитель: А сейчас, я вам продемонстрирую сечения, а вы назовете их.

Ученик 7: Сечение параллельное плоскости основания, диагональное сечение, сечение параллельное плоскости грани.

Ученик 8: Если перед нами параллелепипед или прямая призма, то это может быть сечение перпендикулярное плоскости основания.

Делаем выводы:

  • Секущая плоскость пересекает грани многогранника по прямым, а точнее по отрезкам.
  • Так как секущая плоскость идет непрерывно, то разрезы образуют замкнутую фигуру-многоугольник.
  •  Полученный таким образом многоугольник и будет сечением тела.

3. Устное решение задач.  

Учитель: Вы хорошо справились с теоретическими вопросами, предлагаю устно решить задачи.

  • Докажите, что сечение, проходящее через середины ребер пирамиды параллельна плоскости основания данной пирамиды.
  • Найдите площадь данного сечения, если площадь основания равно 96. (24)
  • Найдите площадь и периметр сечения, параллельного плоскости основания тетраэдра, ребро которого равно 10 см.   (15 и )
  • Найдите диагональное сечение куба, ребро которого 8 см. ()
  • Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 4 см, а высота 8 см. Найдите площадь диагонального сечения. (40)
  • Диагональное сечение куба имеет площадь , найдите ребро куба. (4)
  • Докажите, что сечение параллельное боковой грани прямой призмы, перпендикулярно плоскости основания этой призмы.

4. Презентация методов построения сечений.

Учитель: Настало время поговорить о методах построения сечений, вспомним, какие мы рассматривали методы построения сечений?

Ученик: метод следов, комбинированный метод, метод вспомогательных сечений.

Учитель: Итак, метод следов, на чём основывается?

Ученик: На аксиомах стереометрии, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Учитель: Вспомним метод следов на практике, для этого решим задачу.

Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G

  1. Проводим  через точки F и O прямую  FO.
  2. Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью.
  3. Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB.

Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях?

Аксиома:   Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема:  Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

  1. Проводим  прямую АВ, до пересечения с прямой FO.
  2. Получим точку H, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания.
  3. Аналогичным образом получим точку R.
  4. Через точки H и R, проводим прямую HR – след секущей плоскости

Почему мы уверены, что прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания?

Аксиома:  Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

  • Так как прямая HR, пересекает нижнюю грань многогранника, то она пересекает нижнее основание в точках Е и S.
  • Таким  образом, отрезок ES есть разрез грани ABCD.
  • Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC).

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Аксиома:  Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Все разрезы образовали пятиугольник OFGSE, который и является сечением призмы плоскостью, проходящейчерез точки O, F, G.

Задание № 1. Задание № 2  

Постройте сечения призмы по трем данным точкам.

А теперь проверь себя!!!

Отлично!

Учитель: Метод вспомогательных сечений.

Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы  секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются «искусственное». Тем не менее в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

На ребре BM пирамиды MABCD зададим точку Р. Построим сечение пирамиды плоскостью PQR, точку R которой зададим на грани АMD,а Q на грани DMC.

  1. Находим точки Р', Q' и R' и затем строим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, определяемой какими-нибудь двумя пересекающимися прямыми из трех прямых MP, MQ и МR. Например, плоскостью МРQ.
  2. Построим другое вспомогательное сечение пирамиды плоскостью  определяемой двумя пересекающимися прямыми, одна из которых — это прямая MR, а другая прямая — та, на которой мы хотим найти след плоскости PQR. Например, прямая МС.
  3. Находим точку F, в которой пересекаются прямые Р'Q' и R'С, а затем строим прямую MF — линию пересечения плоскостей.
  4. В плоскости MPQ’ проводим прямую PQ и находим точку F'=PQ пересекается MF.
  5. Так как точка F' лежит на прямой PQ, то она лежит в плоскости PQR. Тогда и прямая RF, лежит в плоскости PQR. Проводим прямую RF', и находим точку С'=RF' пересекается МС. Точка С', таким образом, лежит и на прямой МС, и в плоскости PQR, т. е. она является следом плоскости PQR на прямой МС (в данном случае и на ребре МС).
  6. Дальнейшие построения вполне понятны: строим C'Q, D', D'R, А', А'Р, РС'. Четырехугольник РС'D'А' — искомое сечение.

Задание № 3. Построить сечение призмы по трем данным точкам самостоятельно.

Желаю успеха!

Отлично!

Учитель: Комбинированный метод

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Постройте сечение куба, проходящее через точки  P, R, Q.

  1. Точки P и R лежат в одной плоскости,  проведём прямую PR.
  2. Прямая PR лежит в плоскости AA’B’B, точка Q лежит в плоскости DD’C’C, параллельной  AA’B’B.
  3. Проведём через точку Q прямую параллельную прямой PR, получим точку K

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Теорема. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны

  1. Найдём точку пересечения прямых PR и AB, получим точку L.
  2. Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK
  3. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF.
  4. Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости BB’C’C,параллельной плоскости  AA’D’D.
  5. Проведём прямую параллельную прямой RF, через точку Q, получим точку M.
  6. Проведем PM
  7. Полученный шестиугольник является искомым сечением.

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Аксиома:   Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Теорема:    Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Теорема: Если две параллельные плоскости  пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Задание № 4

Постройте сечение куба, по трем данным точкам,  а потом проверьте себя, кликнув по этому рисунку

5. Гимнастика для глаз

6. Далее ребята защищают свои мини проекты по темам:

  1. «Многоугольники, полученные в сечении куба».
  2. «Нахождение площади сечений в многогранниках».

7. Тест по теме «Сечения многогранников».

8. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Приложение 1. Презентация «Сечение многогранников»

Приложение 2. Презентация «Нахождение площади сечения в многогранниках»

Приложение 3. Презентация «Многоугольники, получающиеся в сечении куба»

Приложение 4. Обзор электронных образовательных ресурсов

Приложение 5. Тест.