Готовимся к ЕГЭ по математике

Расширенное изучение математики

В качестве основного недостатка средней школы называют, с одной стороны, перегрузку учащихся, а с другой - их недостаточную подготовку к вступительным экзаменам в вузы. Учеба в старшей школе не дает учащимся уверенности, что они смогут пройти испытание по математике в выбранный вуз. Поэтому многие из них поступают на подготовительные курсы при различных вузах, питая надежды на то, что курсы смогут существенно помочь на вступительном экзамене. Однако обучение на курсах стоит недешево. К тому же они не всегда оказывают на учащихся должный обучающий эффект. Ну и плюс дополнительная перегрузка.

Проблема заключается в том, что в старшей школе продолжают изучать большое количество дисциплин. Но ученик не ломовая лошадь, чтобы тащить такой воз разнородных по своим подходам и типам мышления предметов. Поэтому происходит лишь поверхностное и часто формальное усвоение материала. И это неудивительно, а вполне естественно, т.к. процесс обучения не есть процесс «линейный» ( за две недели узнаешь в два раза больше, чем за одну). Вот и не накапливается в голове ученика «критическая масса», и не происходит «взрыв понимания». А без этого «взрыва» учеба молодого человека превращается в пустое времяпрепровождение. И никакие усовершенствования программного материала или учебного процесса здесь помочь не могут, ибо учащемуся для нормального изучения чего-либо надо проделать самому огромный объем духовной и умственной работы, которую за него никакая совершенная методика не сделает.

Еще в конце XIX века известный русский методист С. И. Шохор-Троцкий выступил, как изобретатель нового метода - «методы целесообразных задач». Он говорил, что обучение должно проходить не через усвоение учебника или объяснение учителя, а при помощи более или менее самостоятельной работы ученика над искусно подобранными заданиями. Мыслить человек начинает, когда у него появляется потребность что-то понять. Когда результат получен и ученик гордится своими достижениями, учитель может считать свою работу выполненной. Ведь школьник почувствовал прелесть открытия, а значит, познакомился с «живой» математикой.

Уже этих причин вполне достаточно, чтобы говорить о классах с расширенным изучением математики, о программах в этих классах, о планировании, о дополнительных упражнениях, дидактических материалах и т.д. В этих классах обычно шире изучается ряд вопросов, недостаточно полно представленных в программе обычных классов. Для расширенного изучения математики необходима четко сбалансированная, отлаженная программа, тематическое планирование, набор дополнительного практического материала, т.е. все то, что составляет методическое обеспечение для работы.

Ниже предлагаются материалы, которые опробированы при работе со старшеклассниками МОУ «СОШ №38» г. Норильска.

Система работы

В основу положены следующие концептуальные положения:

• Личностный подход, педагогика успеха, педагогика сотрудничества.
• Обучать математике значит обучать решению задач, а обучать решению задач значит обучать умениям типизации и умениям решить типовые задачи.
• Индивидуализировать обучение «трудных» и «одаренных».
• Органическая связь индивидуальной и коллективной деятельности.

Характерной особенностью нашего времени является стремление многих учителей перестроить учебный процесс, активизировать учащихся, заинтересовать их, приучить их к самостоятельной работе.

Важное требование школьной реформы – развитие логического мышления.

Можно выделить следующие направления деятельности учителя на уроке:

1. Уроки-лекции проводятся с целью изучения новой темы крупным блоком, активизируют мышление школьников при изучении нового, экономят время для дальнейшей творческой работы.
2. Уроки решения ключевых задач по теме. Учитель (вместе с учащимися) выделяет минимальное число задач, на которых реализуется изученная теория, учит распознавать и решать ключевые задачи, после которых задается определенный объем индивидуальной работы. Учащемуся для нормального изучения чего-либо надо проделать самому огромный объем духовной и умственной работы.
3. Уроки-консультации, на которых вопросы задают ученики, а отвечает на них учитель.
4. Зачетные уроки, на которых школьники докладывают решения задач, над которыми они трудились дома. В идеале было бы замечательно, если все учащиеся побывали у доски. Каждая самостоятельно решенная задача – это успех ученика, который способствует воспитанию у него чувства собственного достоинства и уверенности в своих силах.
5. Уроки контроля и оценки знаний, умений и навыков, целью которых является организация управления процессом усвоения, его коррекции.

Главными в обучении служат следующие два принципа.

Принцип активного обучения

Учащиеся должны понять, что для усвоения научных истин одного примитивного прилежания недостаточно, а нужны долгие, порой мучительные размышления.

Принцип дифференцированного обучения и оценки

Этот принцип реализуется довольно просто. Ведь предлагаются задачи разной сложности – от типовых до трудных. И каждый учащийся волен выбирать для решения те задачи, которые ему доступны.

Задача нахождения множества значений функции

Задачи, связанные с поиском множества значений функции, не находят, как правило, должного развития в рамках школьного курса математики. Причем речь идет не столько об основных элементарных функциях. Сколько о композиции основных элементарных функций.

Выделим две основные группы задач на нахождение множества значений функции.

1. Нахождение множества значений непрерывной на отрезке функции сводится к нахождению наименьшего f_min и наибольшего f_max ее значений на заданном отрезке.
   Эта задача, в свою очередь, решается по известной схеме:
   1. вычисляем значения функции f(a) и f(b) на концах отрезка [a;b];
   2. находим критические точки х₁, х₂, … , х_k функции f на интервале (a;b) и вычисляем значения f(x) в этих точках;
   3. выбираем f_min = min{f(a), f(x₁), … , f(x_k), f(b)} и f_max = max{f(a), f(x₁), … , f(x_k), f(b)}.
2. Нахождение множества значений сложной функции (композиции функций) на произвольном множестве и, в частности, на естественной области определения.

Решение этих примеров предполагает знание основных свойств всех элементарных функций, изучаемых в школьном курсе, и потому так любимы авторами – составителями ЕГЭ.

Нахождение множества значений сложной функции удобно осуществлять в виде многошаговой процедуры, на каждом шаге которой находится множество значений некоторой элементарной функции.

Например: Найдем множество значений функции

Пусть t = x² + x - 2; p = 3 / t; y = 1 + p, имеем композицию трех функций y = y(p(t(x))).

Найдем множество значений каждой из элементарных функций в порядке их вложенности. При этом множество значений E(t) первой функции будет областью определения D(p) функции p(t) (за исключением точек, в которых функция p(t) не определена: х = -2 и х = 1). Аналогично E(p) ⊆ D(y).

Е(t) = [-9 / 4; +∞), с учетом области определения функции p = 3 / t, D(p) = [-9 / 4; 0) ∪ (0; +∞). Функция p = 3 / t строго убывает на области определения, поэтому E(p) = (-∞; -4 / 3] ∪ (0; +∞) = D(y). E(y) = (-∞; -1 / 3] ∪ (1; +∞).

Приведем основные свойства композиции функций.

Пусть сложная функция y = f(g(x)), x ∈ X, такова, что функция u = g(x) – непрерывна и строго монотонна на промежутке Х, функция y = f(u), u ∈ U, U = g(X) - непрерывна и строго монотонна на промежутке U. Тогда сложная функция y = f(g(x)), x ∈ X также будет непрерывной и монотонной на Х, причем:

• композиция двух строго возрастающих функций является строго возрастающей;
• композиция двух строго убывающих функций является строго возрастающей;
• композиция строго возрастающей и строго убывающей функций будет строго убывающей функцией.

Множество значений композиции трех и более основных элементарных функций находится аналогично в результате последовательного (в порядке вложенности) анализа пар функций.

Например: Найдем множество значений функции

Пусть t = x² + 1 – убывающая при x ≤ 0, p = 1 / t - убывающая, u = (2 / π)arcctg p - убывающая, v = log_{1 / 2} u - убывающая, y = arctg v - возрастающая.
Поэтому композиция у = у(х), составленная из четырех убывающих и одной возрастающей функции будет возрастающей.

E(t) = [1; +∞) = D(p). Функция p = 1 / t строго убывает на области определения, поэтому E(p) = (0; 1] = D(u).

Функция u = (2 / π)arcctg p строго убывает на области определения, поэтому E(u) = [1 / 2; 1] = D(v).

Функция v = log_{1 / 2} u строго убывает на области определения, поэтому E(v) = (0; 1] = D(y).

Функция y = arctg v строго возрастает на области определения, поэтому E(у) = (0; π / 4].

Методическая подготовка к ЕГЭ

Далее: зачастую учителя, репетиторы и родители, помогающие своим детям подготовиться к ЕГЭ, пытаются прорешать как можно больше вариантов предыдущих лет. Такой путь неперспективен. Во-первых, варианты не повторяются. Во-вторых, у школьника не формируется устойчивый общий способ деятельности с заданиями соответствующих видов. В-третьих, у школьника появляется чувство растерянности и полной безнадежности: заданий так много и все они такие разные. И каждый раз нужно применять соответствующий подход. Естественно, запомнить все решения всех заданий невозможно. Поэтому намного разумнее учить школьников общим универсальным приемам и подходам к решению.

Сформулируем принципы построения методической подготовки к ЕГЭ.

Первый принцип – тематический. Разумнее выстраивать такую подготовку, соблюдая правило – от простых типовых заданий до заданий части С. Система развития логического мышления учащихся осуществляется с помощью системы различных типов задач с нарастающей трудностью. Исследования показали, что расположение однотипных задач группами особенно полезно, поскольку дает возможность научиться логическим рассуждениям при решении задач и освоить основные приемы их решения.

Второй принцип: переход к комплексным тестам разумен только в конце подготовки (апрель-май), когда у школьника накоплен запас общих подходов к основным типам заданий и есть опыт в их применении на заданиях любой степени сложности.

Третий принцип: все тренировочные тесты следует проводить с жестким ограничением времени. Занятия по подготовке к тестированию нужно стараться всегда проводить в форсированном режиме с подчеркнутым акцентированием контроля времени. Этот режим очень тяжел школьникам на первых порах, но, привыкнув к этому, они затем чувствуют себя на ЕГЭ намного спокойнее и собраннее.

Четвертый принцип в шутливой форме звучит так: «Нормальные герои всегда идут в обход!». Нужно учиться использовать наличный запас знаний, применяя различные «хитрости» и «правдоподобные рассуждения» для получения ответа наиболее простым и понятным способом.

Например: найти наименьшее значение функции f(x) = log_{1 / 3}(9 - x²).

Можно, конечно, решать стандартным путем: найти производную и исследовать ее. Но не сразу и вспомнишь формулу производной «полного логарифма».
Вместо того чтобы тратить время на попытки ее вспомнить, можно пойти таким путем: в области допустимых значений логарифма 9 - x² ≤ 9, значит, 9 - наибольшее значение выражения, стоящего под знаком логарифма. Поскольку в основании логарифма 1 / 3 (функция убывающая), то наименьшее значение функции получается при х = 0, f(0) = log_{1 / 3}9 = -2.
Таким образом, на выполнение задания уходит около 30 сек, а это – задание части В.

Система работы при подготовке школьников к сдаче ЕГЭ

Опираясь на вышеизложенные принципы можно предложить следующую систему работы при подготовке школьников к сдаче ЕГЭ по математике.
Изучение программного материала по учебнику Алимов Ш.А. позволяет организовать подготовку к ЕГЭ уже с сентября 11 класса.

С учетом первого принципа все предлагаемые задания разбиты по следующим темам:

• Функции.
• Преобразования выражений.
• Уравнения и неравенства.
• Системы уравнений и неравенств.
• Проценты. Прогрессии. Пропорции.
• Производная и первообразная.

Задания даны в приложении.

В начале учебного года выпускники и их родители знакомятся с планом подготовки к ЕГЭ.

1. Учащимся 11-х классов предлагаются тренировочные материалы по теме (часть А) для самостоятельного решения дома в течении заданного срока (две- три недели). Проводится ряд индивидуальных консультаций. При необходимости на некоторых консультациях задания решаются на доске.
2. Проводится зачет по части А. Задания для зачета составлены из решенных заданий части А .
3. Учащимся, успешно сдавшим зачет, предлагаются задания части В ( тоже на две-три недели). Учащиеся, не сдавшие зачет, продолжают получать консультации по части А, остальные по части В.
4. На втором зачете каждый учащийся сдает тот материал, который ему необходим.
5. Учащимся, претендующим на более глубокое знание математики, выдаются задания части С, и следует еще один зачет.

К третьему, завершающему, зачету учащиеся оказываются дифференцированными на три группы по уровню подготовленности.

Часть А – это базовый уровень, определенный образовательным стандартом. Если ученик успешно достигает запланированного данным стандартом уровня знаний, умений и навыков, то он и получает в соответствии с достигнутыми результатами отметки. Если он претендует на более высокий уровень знаний ( а это всегда выбор САМОГО УЧАЩЕГОСЯ), то справедливо оценивать его, исходя из более высоких требований к знаниям, умениям и навыкам. Для учащихся со слабыми РУВ предоставляется возможность пересдать зачет. На ту же работу ему дается в три раза больше времени.

Возможность пересдачи зачета учит распоряжатьсясвоим временем, планировать работу ( не успел сегодня, надо сделать завтра, но не позднее оговоренного времени). Выпускник учится определять главное звено в цепи событий на каждый конкретный момент времени. В процессе такой деятельности у него вырабатывается склонность к систематичности, основательности в работе, происходит присвоение таких черт характера, как умение планировать свое время, быстро входить в работу, умение отдыхать в перерывах между делом, концентрировать внимание, что немаловажно для формирования уверенности в собственных силах.

Организованная таким образом работа создает ситуацию взаимопомощи, взаимного обучения, обеспечивает возможность достижения результатов «неуспешными» учениками, самореализации успешных школьников в качестве консультантов.

Получение текущей информации о достижениях учащихся обеспечивается за счет внедрения графика оперативного учета, расположенного на информационном стенде. График постоянно обновляется и дополняется по мере сдачи зачетов.

К началу четвертой четверти тематическое повторение закончено и можно приступить к комплексным тестам. На весенних каникулах проводится первое пробное тестирование. Учащиеся приглашаются на четыре часа и не более 15 человек в группу, что позволяет психологически настроиться на сдачу ЕГЭ, формирует убеждение в том, что, если очень постараться, то можно получить вполне приличный балл и в то же время позволяет понять, что ЕГЭ – это не очень легко и просто. И пока есть время можно ликвидировать пробелы и подготовиться к экзамену.

В апреле – мае происходит обучение постоянному жесткому самоконтролю времени, оценке объективной и субъективной трудности заданий и соответственно разумному выбору этих заданий, прикидке границ результатов и минимальной подстановке и приему «спирального движения» по тесту.

Приложение №1
Приложение №2
Приложение №3