Урок-презентация в 11-м классе "Методы решения показательных уравнений"

Цели урока:

1. Образовательные: Познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений;
2. Развивающие: Сформировать умения и навыки решения несложных простейших показательных уравнений. Продолжить развивать логическое мышление учащихся. Развивать навыки самостоятельной работы. Развивать навыки самоконтроля.
3. Воспитательные: Развивать познавательный интерес к предмету. Развивать творческие способности учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, тесты, таблицы, доска.

Тип урока: комбинированный.

Последовательность изложения:

1) Проверка усвоения учащимися пройденного материала через:

а) проверка домашнего задания через проектор и листок с готовыми заданиями; 3 мин. б) устные упражнения. 4 мин.

2) Изучение нового материала:

а) определение показательного уравнения; (проектор); 4 мин.

б) способы решения показательных уравнений (проектор); 2 мин.

в) решение показательных уравнений. 15 мин.

3) Проверка знаний:

а) обучающий тест-контроль. 8 мин.

б) самопроверка (проектор). 2 мин.

4) Подведение итогов. 1 мин.

5) Домашнее задание, (проектор). 1 мин.

На предыдущих уроках мы рассмотрели показательную функцию и ее свойства, а сегодня и на последующих уроках рассмотрим показательные уравнения и способы их решения.

ХОД УРОКА

1. Проверка усвоения учащимися пройденного материала.

а) проверка домашнего задания. (По готовому чертежу на мю проекторе). Слайд № 1,  № 2. (Презентация)

№ 457 (г)

№ 458 (г)

№  446 (а, г), №  446 (г), №  448 (в) – вывесить на перемене на листочке, проверить на перемене.

б) устные упражнения. Слайд № 3.

1) а) у = 2^х ; б) у = ( 0,2)^х ; в) у = ( х-2)³; г) у = х²; д.) у = П^х ; е) у = 3^-х .

Какие из функций являются показательными?

Дайте определение показательной функции.

Какие из них являются возрастающими? Убывающими? Почему?

2) Слайд № 4.

Какой из графиков является графиком показательной функции у = П^х?

3) Слайд № 5.

Какие свойства степеней использованы?

а) 3^х * 3² = 3^х+2; б) 2^х+3 = 2^х * 2³,

Как упростили выражения?

Какие свойства степеней применили?

А теперь применим их в обратном порядке (справа налево).

4) как представить в виде степени?

9^х = (3²)^х = 3^2х = (3^х)².

5) Слайд № 6.

Вынести общий множитель за скобки. (По готовой записи.)

а) 4^х + 4^х+2 = 4^х + 4^х * 4² = 4^х * (1 + 4²) = 4^х * 17;

б) 10^х-1 + 10^х = 10^х-1 * (1 + 10) = 10^х-1 * 11.

а) какой множитель выносят за скобки? (С наименьшим показателем степени.)

Что для этого сделали? (Представили в виде 4^х+2 = 4^х * 4².)

б) За скобки выносят общий множитель с наименьшим показателем степени. Чтобы найти многочлен, заключенный в скобки, надо каждый многочлен разделить на вынесенный множитель по правилу а^m: aⁿ = a^m-n.

 2. Изучение нового материала.

Мы повторили свойства степеней и показательной функции для лучшего усвоения и понимания новой темы “ Методы решения простейших показательных уравнений”.

Слайд № 7. (Работа со слайдом)

а) определение показательного уравнения.

Определение: показательное уравнение- это уравнение, содержащее переменную в показателе степени.

Простейшие показательные уравнения вида а^х = в, где > 0, а 1.

1) при в > 0 уравнение имеет единственный корень, т.к. прямая у = в, при в> 0 имеет с графиком функции у = а^х одну единственную точку.

2) при в < 0 уравнение корней не имеет т. к. при в < 0 прямая у = в не пересекает график показательной функции.

3) для решения уравнение представляем в виде а^х = а^с.

б) методы решения показательных уравнений. Слайд № 8.

1. Метод приведения степеней к одинаковому основанию.
2. Вынесение общего множителя за скобки.
3. Метод введения новой переменной.
4. Метод почленного деления.
5. Метод группировки.
6. Графический метод.

Слайд № 9.

“ Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть- и в последствии подтвердить это, - что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц

Сегодня мы рассмотрим три метода решения уравнений.

в) решение простейших показательных уравнений. (Работа на доске и в тетрадях)

3. Приведение к одинаковому основанию левой и правой части уравнения.

а) с объяснением у доски;

б) комментировано;

в) самостоятельно в тетрадях, один – у доски.

а) 2^х+6 = 8;

2^х+6 = 2³,

Основания степеней равны,  значит, равны и показатели степеней.

Х + 6 = 3,

Х = -3.

Ответ: - 3.

б) ()^2х = 125;

5^-2х= 5³,

- 2х = 3,

х = - 1,5.

Ответ: - 1,5.

в) 10^х-2 = - 10;

т.к. -10< 0, то уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

4. Вынесение общего множителя за скобки.

а) 4^х+1 ₊ 4^х = 320, вынесем за скобки степень с наименьшим показателем.

4^х * 4 + 4^х = 320,

4^х (4 + 1) = 320,

4^х * 5 = 320,

4^х = 320: 5,

4^х = 64,

4^х = 4³,

х = 3.

Ответ: 3.

б) 6^х+1 + 35 * 6^х-1 = 71,

6^х-1 (6² + 35) = 71,

6^х-1 * 71 = 71,

6^х-1 = 71: 71,

6^х-1 = 1,

6^х-1 = 6 ⁰,

х – 1 = 0,

х = 1.

Ответ: 1.

За скобки выносят член с наименьшим показателем степени. Чтобы найти многочлен, заключенный в скобки, надо каждый член многочлена, стоящего в левой части уравнения, разделить на вынесенный множитель, Деление осуществлять по правилу: а^m : aⁿ = a^m-n.

5. Введение новой переменной.

Вводится переменная у = а^х и рассматривается квадратное уравнение относительно новой переменной.

а) 7 ^{2х _} 6 * 7^х - 7 = 0,

пусть у = 7^х, тогда

у² -6у – 7 = 0,

Д = 36 + 28 = 64,

У₁ == 7;

У₂ == -1:

1) 7^х = 7; 2) 7^х = -1;

Х = 1 решений нет.

Ответ: 1.

б) 4^х – 5 * 2^х + 4 = 0, т. к. 4^х = ( 2²)^х = (2^х )², то

( 2^х)² – 5* 2^х + 4 = 0,

пусть у = 2^х, тогда

у² – 5у + 4 = 0,

Д = 25 – 16 = 9,

у₁ = =4; у₂ = =1;

1) 2^х = 4, 2) 2^х = 1;

2^х = 2², 2^х = 2⁰,

Х = 2 х = 0.

Ответ: 2; 0.

в) если останется время 2 * 3^х+1 + 2 * 3^2-х = 56.

6. Проверка знаний.

а) Обучающий тест-контроль (8 мин.), ответы собрать, потом проверка решения по готовому решению через м. проектор.

Ответы к тесту: слайд № 10

1 вариант

 2 вариант

б) самопроверка по готовому решению через м. проектор.

Вариант 1, слайд № 11-12.

Вариант 2, слайд № 13-14.

7. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

8. Домашнее задание, слайд № 15.

Тематические тесты. Раздел 2.5. А₃; А₆ ; А₁₅; В_30; В₃₈; В₄₃.

Записи в тетрадях.