Цели урока:
- повторение и систематизация знаний и умений учащихся по графическому моделированию;
- формирование у школьников навыков исследовательской деятельности, умений решать задачи с прикладной направленностью;
- развитие логического мышления;
- расширение кругозора учащихся;
- приобщение интереса к предмету и творческой деятельности.
Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.
Метод работы: частично-поисковый, репродуктивный, исследовательский.
Оборудование: ИКТ, презентация.
Дидактический материал: таблицы (графики функций, формулы); опорные сигналы (графики с модулем); модели (парабола, пучок прямых); карточки задания (рисуем по координатам).
План урока:
- Повторение (разминка)
- Графики функций, содержащие модуль или модули
- Графический способ решения уравнений с параметром и модулем
- Итоги урока
Ход урока
I. Вступительное слово учителя.
Ученикам объявляется тема урока, цели и план урока.
Модуль – одна из самых интересных и многогранных тем в математике. В школьной программе встречаются задания, содержащие модуль как задания повышенной сложности. Но на письменном экзамене за курс средней школы и на экзаменах в форме ЕГЭ содержатся задания, содержащие знак абсолютной величины. И практически все вступительные экзамены в ВУЗы содержат задания с модулем – это уравнения, неравенства и графики.
Следовательно, мы должны быть готовы к встрече с такими заданиями. Поэтому необходимо научиться решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. А мы знаем, что любое из этих заданий можно решить и графическим способом.
Для построения графиков функций используем:
- Определение модуля.
- Четность функции f(x) = f(-х) т.е. график четной функции симметричен относительно оси ординат;
- Узловые точки (точки, в которых значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль).
- Метод интервалов.
- Геометрическое преобразование графиков функции относительно координатных осей.
Предлагаем вашему вниманию некоторые приемы и способы построения графиков функций, содержащих знак модуля видов: у = f(|x|), у = |f(x)|, у = |f(|x|)|
Эти приемы и способы построения графиков функций, содержащих знак модуля будем применять для решения уравнений с параметром.
II. Разминка.
Выступления учащихся с сопровождением презентации.
Схематически построить график функций:
а) y=ax+b, где a и b – параметры; (см. Приложение 1)
б) y=ax2+bx+c, где a, b,c – параметры; (см. Приложение 2)
в) определить по данному графику функции y=(k/x-а)+ b каждое из чисел k, а и b (см. Приложение 3).
III. Построение графиков функций
(выступления учащихся с сопровождением презентации)1.1. Построение графика функции вида y=f(|x|) (Приложение 4)
Рассмотрим построение графика функции вида y=f(|x|). По определению модуля график этой функции состоит из двух графиков. График функции y=f(x) в правой полуплоскости и графика функции y=f(-x) в левой полуплоскости.
Функция y=f(|x|) – четная, так как |х|=|-х|, то f(x)=f(-x). График этой функции симметричен относительно оси ординат.
Следовательно, достаточно построить график функции y=f(x) для положительных х, а затем достроить его левую часть, симметрично правой части относительно оси ординат.
Рассмотрим несколько примеров.
- y=|x|.
- у=2|х|-2 – линейная функция.
а) Строим график функции у=х для х >= 0;
б) Строим для х < 0 часть графика, симметричную построенной относительно оси Оу.
а) Строим прямую у=2х-2 для х >= 0;
б) Отобразим симметрично относительно оси Оу.
1.2. Построение графика функции вида у=|f(x)| (Приложение 5)
Рассмотрим построение графика функции вида у=|f(x)|. Чтобы построить график таких функций, надо сначала построить график функции y=f(x) для всех х из области определения, затем участки графика, лежащие выше оси абсцисс и на оси Ох, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно оси Ох.
Таким образом, графики данных функций расположены только в верхней полуплоскости.
Примеры.
- у=|х-3|.
- б) Часть графика нижней полуплоскости отобразим симметрично относительно оси Ох.
- у=|sinx|.
а) Строим прямую, график функции у=х-3;
1.3. Построение графика функции вида y=|f(|x|)| (Приложение 6)
Для построения графиков таких функций поступаем так:
а) Строим график функции y=f(x) для x >= 0;
б) Отобразить построенную часть графика симметрично относительно оси ординат;
в) Участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразим относительно этой оси.
Таким образом, так как у >= 0 график расположен только в верхней полуплоскости (рис.1).
Примеры.
- y=|2|x|-3| – линейная функция.
- y=|1-1/|x|| – функция обратной пропорциональности.
- у=||х3|-2| – степенная функция.
а) Строим прямую y=2x-3 для х >= 0;
б) Полученный график отразим зеркально относительно оси ординат;
в) Участки нижней полуплоскости отразим симметрично оси Ох.
IV.Решение задач.
Выступления учащихся.1. Задача с параметром. Задача из ЕГЭ (Приложение 7)
2. Уравнение с параметром (Приложения 8-10)
3. График функции, содержащей модули (Приложения 11-12)
4. Задача на определение значений функции (Приложения 13-15)
V. Практическая работа
“Рисуем по координатам” (см. Приложения 16-17).VI. Подведение итогов.
Умение выполнять задания, содержащие знак модуля и параметры, имеет большое практическое значение, т.к. любое из этих заданий можно решить и графическим способом. Как показывают наши результаты, применение знаний на практике по построению графиков функций, содержащих знак модуля, дает хорошую возможность сочетать “алгоритмический” подход с творческим поиском и анализом, что развивает все виды мышления.