Разработка урока "Применение первообразной и интеграла к решению практических задач"

Цель:

• Проверить знания и умения по теме “Вычисление интеграла и площади криволинейной трапеции”.
• Формировать комплексное представление о практических приложениях интеграла в различных областях.
• Развивать информационную и коммуникативную культуру учащихся.
• Воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.

Тип урока: Урок пресс-конференция

Оборудование: Комплект карточек для самостоятельной работы, магнитная доска, компьютер, мультимедийный проектор.

Учитель объявляет цели, задачи урока.

На доске девиз урока:

Учащиеся делятся на две команды, получают задания. Первая команда – под нечетными номерами, вторая команда – под нечетными. Учащиеся решают примеры, находят правильный ответ и перевернув карточку получают соответствующую букву, выстраивают на доске слово: “Молодцы!” Если ответы все верные, слово получилось верным, оценивают решение высшей оценкой. За каждую ошибку снимается балл.

Самостоятельная работа

Вычислить интегралы:

    2            3              2                        0
1) ∫х³dx    2) ∫x² dx    3) ∫(1 + 2х)³dx    4) ∫(1 - 3x)²dx
    1            1              0                       -1

  0,5π              π
5) ∫sin2x dx    6) ∫cos3x dx
  0                 0,5π

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

7) у = х²; х = 0; х = 3
8) у = √х; х = 0; х= 4

Выступления учащихся с рассказами о практическом применении интеграла. Выступления учащихся в виде презентации.

1. С помощью интеграла можно вычислять площади фигур, ограниченных графиками определенных функций.

Например, рассмотрим решение такой задачи:

Значит, имеем: фигура Y = 4/X + 2; X = 4; Y = 6; 1 м² – 50 руб.

Заработок - ?

Изобразим эти линии на координатной плоскости и выделим искомую фигуру.

Найдем пределы интегрирования: Х = 4 – по условию, Y = 4/X + 4 и Y = 6, следовательно 4/X + 2 = 6; 4/X = 4 или X = 1

Вычислим площадь полученной фигуры с помощью интеграла:

    4                        4                             4
S= ∫(6 - 4/X - 2)dx = ∫(4-4/X)dx = (4X-4ln|X|)| = 16-4ln 4 – 4 + 4ln 1 = 12 – 4ln 4 ≈ 6,4 (м²)
   1                         1                              1

6,4 * 50 = 320 (рублей) – заработок.

Приложение 1

2. С помощью интеграла в физике решается большое количество задач на определение пути по известному закону изменения мгновенной скорости и вычисления работы переменной силы по формуле:

      t₁                        b
S = ∫U(t)dt и A = ∫ F(x)dx
     t₀                  a

Например:

Решение: по закону Гука сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т.е. F=kx, где х - величина растяжения или сжатия (в м); k – постоянная. Из условия находим k. Так как при x=0,01 м, F=10Н, то k=F/x=1000.

Следовательно: F(x)=kx=1000x.

Работа силы F(x) при перемещении тела из точки а в точку b равна:

     b
A= ∫ F(x)dx
    a

Используем данные и получаем:

   0,08                           0,08
A= ∫ 1000xdx = 1000x² /2 | = 3,2 (дж).
    0                                 0

Приложение 2

3. Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее производную неизвестной функции.

Решить дифференциальное уравнение – значит найти эту самую функцию.

Но решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно. Поэтому для его решения требуется дополнительное условие.

Например: уравнение Y = x+1 – это дифференциальное уравнение.

Требуется найти функцию Y(x), производная от которой равна х+1.

Т.е. найти первообразную. Тогда первообразная Y = x²/2 + x + c, где с – постоянная – общее решение.

Если взять условие, что Y(0) = 3, то находим: 3 = 0 + 0 + с или с=3.

Тогда Y(x)= x²/2 + x + 3 – частное решение.

В практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются: колебательные движения маятника, струны, пружины и т.д., т.е. процессы связанны с переменным электрическим током, магнитным полем.

Решение таких задач сводится к решению дифференциального уравнения.

Y``= -ω²y – дифференциальное уравнение гармоничных колебаний.

ω – заданное положительное число.

Y= y`(x) Y``= (y`(x))`

Решением являются функции:

Y(x) = Asin(ωx + φ)

A – амплитуда колебания.

ω – частота, φ – начальная фаза.

Графиком гармонических колебаний является синусоида.

Например: Y(x) = 2sin(2x + π/2).

Приложение3

4. Решение многих физических задач сводится к решению дифференциального равнения.

Y` = ky, где k – заданное число.

Решением этого уравнения является функция:

Y = C℮^kx, где С – постоянная, определяемая условием конкретной задачи.

Например:

Решениями этого уравнения является функция: m(t) = C℮^kx.

Постоянную С можно найти, например, из условия, что в момент t=0 масса m₀ бактерий известна.

Тогда m(0) = m₀ = C℮^k0 = C и поэтому m(t) = m₀℮^kt.

Приложение 4

После защиты презентаций учащимся задаются дополнительные вопросы.

1 вопрос: Вы узнали много интересного о приложении интеграла к решению практических задач. Какие науки, известные вам, используют интеграл?

2 вопрос: Приведите пример уравнения гармонических колебаний.

(Y = - 4 sin (3x - 3π/4), где амплитуда А = -4, частота ώ = 3, начальная фаза - φ = 3π/4.)

3 вопрос: Какой пример из физики можно привести, где применяется дифференциальное уравнение.

4 вопрос: Как использует геометрия понятие интеграла?

Домашнее задание:
п. 54 – 59 № 1033 - 1042