Построение математических моделей -
это своего рода искусство,
где тесно переплетаются и знание теории, и опыт, и
интуиция
М. Эйве
Математика – наука о математических моделях. Модели описываются в математике специфическим языком: термины, обозначения, символы, графики, чертежи, рисунки, схемы. Учащимся необходимо владеть математическим языком, чтобы работать с любыми моделями.
Одной из содержательно-методических линий школьного курса алгебры является функционально-графическая линия, а одно из центральных понятий школьной математики, начиная с 7 класса, - понятие функция. Это понятие вводится как математическая модель реального процесса, отражающая зависимость одной величины от другой, записанную на математическом языке с помощью выражения у = f(x).
Цель изучения материала функциональной линии - осознание учащимися понятия функции как одной из основных математических моделей, позволяющих описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами. Для понимания учащимися курса алгебры важно, чтобы они не только усвоили понятие функция, но и научились работать с этой математической моделью. И здесь большое значение имеет изучение свойств функции, формирование у учащихся умения использовать их при решении уравнений, неравенств.
Деятельность школьников на уроках математики необходимо организовать таким образом, чтобы обеспечить овладение им материалом по данной теме на уровне, определенном стандартом образования. Учащиеся должны:
- Понимать функцию как соответствие между элементами множеств;
- Понимать, что функция — это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между величинами;
- Правильно употреблять функциональную терминологию, понимать её в тексте, в речи, в формулировке задач;
- Распознавать графики функций;
- Иметь наглядное представление об основных свойствах функций, иллюстрировать их с помощью графических изображений;
- Читать графики функций, описывать их основные свойства, указывать по графику промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, находить наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке;
- Выполнять и применять простейшие преобразования графиков функции.
Построение графиков функций, знание различных способов ее задания и умение устанавливать соответствие между ними, использование свойств функций при решении задач необходимо и для успешной сдачи экзаменов. Тесты итоговой аттестации по математике за курс основной школы предполагают наличие у школьников подобных знаний. Важно научить детей по графику описывать свойства функции, переходить от заданной графической модели к словесной. Ученик должен уметь составлять словесное описание функции по ее графику, используя для этого следующий порядок:
- Область определения;
- Четность;
- Монотонность;
- Ограниченность;
- Наибольшее и наименьшее значения;
- Непрерывность;
- Область значений;
- Выпуклость.
Один из вариантов организации деятельности учащихся, направленной на формирование вышеуказанных умений, представлен в разработке урока по теме “Функции: свойства, графики” (алгебра, 9 класс).
Методическая цель: организация деятельности, направленной на формирование знаний и умений учащихся на уровне, определенном стандартом образования
Образовательная цель: формирование умения определять и описывать свойства функции по графику
Задачи:
- создать условия для воспроизведения и систематизации учащимися полученных знаний и способов действий;
- организовать внешний контроль усвоения материала;
- содействовать развитию навыков самоконтроля в процессе выполнения заданий.
Основные понятия:
- график функции;
- область определения функции;
- область значений функции;
- монотонность функции;
- возрастание (убывание) функции;
- знакопостоянство функции;
- ограниченность функции;
- наибольшее (наименьшее) значение функции;
- непрерывность;
- выпуклость функции;
- чтение графика функции
Основные результаты
Учащиеся должны знать определение основных свойств функции (область определения, область значений, возрастание и др.)
Учащиеся должны уметь:
- правильно употреблять функциональную терминологию;
- находить по графику свойства функции.
Примерный план проведения урока
| № | Этапы урока | Задачи | Виды деятельности | Примечание |
| 1 | Организационный момент | Проверка готовности учащихся. Сообщение темы, цели, мотивация учебной деятельности | Для организации урока может быть использована презентация. | |
| 2 | Актуализация знаний учащихся | Подготовка к деятельности через повторение и актуализацию опорных знаний | Беседа с учащимися | Учащимся задается серия вопросов в виде кроссворда по теме “Функция”, проводится его коллективное заполнение (демонстрируется слайд со ссылкой на кроссворд или используется Приложение7) |
| 3 | Повторение и анализ основных фактов | Анализ заданий и способов их выполнения | Работа с раздаточным материалом | Учащимся раздаются карты заданий. Выполнение задания проверяется у доски: ученик записывает ответ (указатель мыши “стрелка” меняется на “фломастер” или “маркер”). Для проверки учитель щелчком мыши по кнопке “проверка” вызывает правильный ответ на слайде презентации Приложение6.. Приложение1. Приложение2. |
| 4 | Обобщение знаний и их применение для выполнения практических заданий | Организация деятельности для формирования умений использовать полученные знания | Самостоятельная работа учащихся: работа в парах (описание свойств функции по графику); индивидуальная деятельность учащихся |
В процессе самостоятельной работы
учитель выступает в роли координатора и
консультанта. Работая в парах, учащиеся осуществляют взаимоконтроль усвоения материала. При выполнении индивидуальных заданий они получают консультацию у учителя (при необходимости). По окончании работы проводится обсуждение решения. |
| 5 | Домашнее задание | Постановка задания на дом | Домашняя практическая работа | Приложение5. |
| 6 | Итоги | Подведение итогов урока | Рефлексия | В конце урока подводятся его итоги, обсуждение того, что узнали, и того, как работали: каждый оценивает свой вклад в достижение поставленных в начале урока целей, свою активность, эффективность работы, увлекательность и полезность выбранных форм работы. Ребятам предлагается анкета, которая позволяет осуществить самоанализ, дать качественную и количественную оценку уроку. |
Приложение 2. Задания для учащихся
Задание 1. Установите соответствие (по рисункам 1 – 6)
| Вариант | 1 вариант | 2 вариант | ||||
| Функция | у = | х| | у = кх + b | у = ax2 + bx + c, a > 0 |
у =  |
у =  |
у = ax2 + bx + c, a < 0 |
| № рисунка | ||||||
Задание 2. Используя графики функций на рисунках 1 - 8, укажите области определения этих функций
| Вариант | 1 вариант | 2 вариант | ||||||
| № рисунка | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| D(у) | ||||||||
Задание 3. Определите область значения функций, графики которых изображены на рисунках 1–8
| Вариант | 1 вариант | 2 вариант | ||||||
| № рисунка | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Е(у) | ||||||||
Задание 4. Используя графики функций на рисунках 1 – 9 определите, какие из функций:
Ограничены сверху:_____________________________________________________
Ограничены снизу:______________________________________________________
Ограничены :___________________________________________________________
Не ограничены:_________________________________________________________
Задание 5. По графику функции определите промежутки монотонности функций
| Вариант | № рисунка | 10 | 11 |
| 1 вариант | Функция возрастает | ||
| 2 вариант | Функция убывает |
Задание 6. По рисункам 1 – 12 укажите наибольшие и наименьшие значения функций (если это возможно)
| Вариант | Значение | Номер рисунка | |||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ||
| 1 вариант | унаим | ||||||||||||
| 2 вариант | унаиб | ||||||||||||
Литература
- Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов/авт-сост. М.Е. Козина. – Волгоград: Учитель, 2006.
- Мордкович А.Г. Алгебра. 7-9 кл.: Методическое пособие для учителя. – М.: Мнемозина, 2001.
- Мордкович А.Г. Алгебра. 9 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2007.
- Программы. Математика. 5-6 классы. Алгебра. 7-9 классы. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы/авт.-сост. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М. : Мнемозина, 2007.
- Сборник нормативных документов. Математика / сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. – 2-е изд., стереотип. – М. : Дрофа, 2008.