Урок математики в 9-м классе "Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии"

Цель урока:

• Вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии и следствие из нее;
• Применить полученные знания при решении задач;
• Развивать интерес к предмету через применение различных способов доказательства теоремы.

Ход урока

Оформление:

• Древняя индийская легенда;
• Таблица степеней чисел 2 и 3;
• Карточка - консультант;
• Карточки для учащихся, мотивированных на обучение.

Организационная часть

Проверка домашнего задания

№397

а). ;

= ; = ; = -;

= 125 · = = , при = ;

= - , при = - ;

в).

= 100; ;

, при ; , при ;

№400

или

№403

:

; ;

Актуализация ЗУНов

1). Вычислите:

; ; ; ; ; ;

2). ; ;

;

3). ; ;

4). Разложите на множители:

5). - геометрическая прогрессия - ?

- геометрическая прогрессия

Мотивация учебно-познавательной деятельности

Зачитывает ученик: "Древняя индийская легенда рассказывает, что изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую в 2 раза больше, т.е. 2 зерна, на третью еще в 2 раза больше, т.е. 4 зерна, и так далее до 64 клетки. Сколько зерен должен получить изобретатель шахмат?"

Как мы назовем данную последовательность чисел: 1; 2; 2²; 2³; : 2⁶²; 2⁶³ ?

То есть нам нужно найти сумму 64 членов геометрической прогрессии.

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + : + 2⁶² + 2⁶³;

S = 1 + 2·(1 + 2 + 2² + 2³ + : + 2⁶²);

S = 1 + 2·(S - 2⁶³);

S = 1 + 2S - 2⁶⁴;

S = 2⁶⁴ - 1 зерен

Постановка цели урока

Таким образом, перед нами встает задача, а нельзя ли, используя этот же прием, вывести формулу суммы n членов геометрической прогрессии.

);

  (I)

(II)

Осознание и осмысление вывода формулы, и ее применение.

Пример 1.

Пример 2.

Найти: S = 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 - 128 + 256 - 512

Решение:

 Следствие из формулы суммы n членов геометрической прогрессии.

Вернемся к устному счету.

Если , то

Диагностика первоначального усвоения

Самостоятельно.

Итог урока

• Выставление оценок;
• Домашнее задание: п.19, №408, №409(б, г);
• Карточки с индивидуальным заданием для учащихся, мотивированных на обучение.

Индивидуальные задания для учащихся, мотивированных на обучение

РГГУ

Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 11 дают в остатке 9.

МПАЛП

В арифметической прогрессии 20 членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 250, а на нечетных 220.

МГУ 2001г. географический факультет

Числа a, b, с в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию, а числа a-c, c-d, 2a в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Какое минимальное значение может принимать выражение 2а²-4b²-c²+4bc+6a ?

МГУ 2003г.

Разность девятого и третьего членов знакочередующейся геометрической прогрессии равна шестому члену, умноженному на . Найти отношение .

МГУ механико-математический факультет

Сумма первых 5 членов геометрической прогрессии равна её первому члену, умноженному на 5, а сумма первых 15 членов равна 100. Найти сумму b₁+b₆+b₁₁ членов этой прогрессии.

г) Вернемся к эпиграфу нашего урока. Древний автор был явно не лишен чувства юмора, предлагая складывать "не складываемое". Посчитайте и вы, потомки.

Почему же эпиграфом нашего урока была задача, найденная на папирусе в египетской гробнице?

Любимый летописец фараона Раундоса, Ахмес от души рассмеялся, когда после нескольких попыток понял смысл задачи, которую безымянный автор зашифровал в виде такой простой последовательности слов. Последовательность стала понятной и превратилась в геометрическую прогрессию, когда между семерками предметов встало несколько служебных слов.

"Есть семь домов, в каждом доме по семь кошек, каждая кошка съела семь мышей, каждая мышь съела семь колосьев ячменя. Из каждого колоса может вырасти семь мер зерна. Сколько всего этих разных "предметов"? "

д) Посмотреть другой вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии. Алгебра 9 под редакцией С.А.Теляковского п.19;

Используемая литература

1. Журнал для старшеклассников и учителей "Потенциал", октябрь 2005г.;
2. "Математика в школе", июнь 1988г.;
3. Алгебра 9, под редакцией С.А. Теляковского;
4. Я.И.Перельман "Живая математика".