Разработка элективного курса по математике для предпрофильной подготовки в 9-м классе "Графики функций с модулем"

Разделы: Математика

Пояснительная записка

Математика уже давно стала основным аппаратом физики и техники. Последние годы математические методы все настойчивее проникают в различные науки. Современная жизнь требует от человека гибкости и скорости нахождения решений, основанных на рациональности. Данный элективный курс предназначен для учащихся 9-х классов, желающих повысить уровень своих математических умений, а также усвоить дополнительные сведения при построении графиков, выражения которых содержат знак абсолютной величины. Практика решения таких задач полезна для развития и укрепления способности к самостоятельному логическому мышлению, для обогащения математической и графической культуры и может быть использована для графического решения уравнений и неравенств с модулем.

Цели обучения:

  • создание условий для обоснованного выбора профиля обучения в старшей школе через оценку собственных возможностей в усвоении математического материала при построении графиков с модулем;
  • оказание помощи учащимся в поиске и приобретении индивидуального стиля и темпа учебной деятельности, раскрытии индивидуальных, познавательных процессов и интересов.

Учащиеся должны знать:

  • графики основных функций школьной программы.

Учащиеся должны уметь:

  • строить графики основных функций школьной программы.

Тематическое планирование учебного материала

Тема

Количество часов

Вид деятельности

Вводное занятие

1

Беседа, тестирование

График функции

1

Беседа, практикум

График функции

1

Беседа, практикум

График функции

1

Беседа, практикум

График функции где

1

Беседа, практикум

График функции

1

Беседа, практикум

Графики некоторых простейших функций, заданных явно.
Презентация собственных графиков

2

Беседа, практикум, семинар

Занятие 1. Вводное занятие

Цель: установление владения базовыми умениями в области построения графиков элементарных функций.

Ход занятия

1. Вводная беседа

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами не только в математике, но и в других сферах деятельности. С помощью графиков наиболее естественно отражаются функциональные зависимости одних величин от других. Преобразование графиков, построение кусочно заданной функции, а особенно графики, содержащие переменную под знаком модуля, позволяют передать красоту математики.

С помощью таблицы повторим графики основных функций (Рисунок 1), изученных вами.

Проверку базовых знаний осуществляется за счет тестирования. (Приложение 1)

Занятие 2. График функции

Цель: научиться строить график функции .

Ход занятия

I. Беседа

Определение: Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется неотрицательное число.

Нетрудно показать, что функция является четной.

В самом деле, так как , то .

Следовательно, график этой функции симметричен относительно оси ОУ. Отсюда следует, что достаточно построить график функции у = f (х) для х > 0, а затем достроить его левую часть, симметричную правой относительно оси ОУ.

Давайте запишем алгоритм построения такого графика.

Алгоритм:

  1. Построить график функции у = f (х), для х > 0.
  2. Достроить симметричный ему относительно оси ОУ.

Примеры.

1) Построить график функции

а) Строим график функции у = х для х > 0
б) Строим для x < 0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. (Рисунок 2)

Рисунок 2

2), здесь .
а) Для х > 0 строим график функции .

Известно, что это парабола, ветви которой направлены вверх. Ось ОУ она пересекает в точке (0; –3). Ось ОХ пересекает в точках (–2; 0) и (6; 0), что следует из уравнения . Вершина параболы находится в точке (2; –4).

б) Достраиваем для x < 0 часть графика (левую половину), симметричную построенной (правой части) относительно оси ОУ. (Рисунок 3)

Рисунок 3

II. Практическая часть

Задание: из предложенного списка функций выбрать по желанию и построить графики двух:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Решение см. Рисунок 4.

Рисунок 4

Занятие 3. График функции

Цель: научиться строить график функции .

Ход занятия

I. Беседа

Под абсолютной величиной функции f (х) (т. е. под записью принято понимать функцию вида:

.

Отсюда вытекает практическое правило построения графика функции.

Алгоритм:

  1. Строим график функции у = f (х).
  2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т. е. где f (х) <0, строим кривые, симметричные построенным относительно оси ОХ.

Пример.

Построить график функции .

а) Строим график функции у = х - 2.
б) График нижней полуплоскости преобразовываем вверх симметрично оси ОХ. (Рисунок 5) Ломаная АBC является графиком данной функции.

Рисунок 5

II. Практическая часть

Задание: из предложенного списка функций выбрать по желанию и построить графики двух:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Решение см. Рисунок 6.

Рисунок 6

Занятие 4. График функции

Цель: научиться строить график функции .

Ход занятия

I. Лекция

Так как функция совмещает двойное применение модуля, то график данной функции может быть построен в следующем порядке.

Алгоритм:

1. Строим график функции у =f (х), для х ≥ 0.
2. Строим график функции y=f (–х), для х < 0 (или строим кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, так как данная функция четная).
3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Пример.

Построить график функции . Рисунок 7

Рисунок 7

II. Практическая часть

Задание: из предложенного списка функций выбрать по желанию и построить графики двух:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Решение см. Рисунок 8.

Рисунок 8

Занятие 5. График функции где

Цель: научиться строить графики функции вида где .

Ход занятия

I. Беседа

По определению абсолютной величины будем иметь: , где .

Следовательно, данная функция является двузначной, а график ее будет симметричен относительно оси ОХ.

Областью определения данной функции являются промежутки значений аргумента х, на которых функция у = f (х) неотрицательна.

Алгоритм:

  1. Установить область определения функции из условия: .
  2. На промежутках определения функции построить график функции у = f (х).
  3. Построить кривые, симметричные построенному графику относительно оси ОХ.

Примеры.

1. Построить график функции .
а) Область определения: или .
б) Для строим график функции .
в) Строим кривую, симметричную построенной, относительно оси ОХ. (Рисунок 9)

Рисунок 9

2. Построить график функции .

а) Область определения: или и .
б) По определению абсолютной величины, у - 2 = ± (х2 – 1), или у = 2 ± (х2 – 1), или . (Рисунок 10)

Рисунок 10

II. Практическая часть

Задание: из предложенного списка функций выбрать по желанию и построить графики двух:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Решение см. Рисунок 11.

Рисунок 11

Занятие 6. График функции .

Цель: научиться строить графики функции вида .

Ход занятия

I. Беседа

Алгоритм построения графика данной функции:

  1. Строим график функции .
  2. Строим график функции . Он будет представлять собой кривую, симметричную графику функции относительно оси ОХ.

Примеры.

1. Построить график функции .

  1. Строим график функции .
  2. Достраиваем график функции . (Рисунок 12)

Рисунок 12

2. Построить график функции .

  1. Строим график функции .
  2. Достраиваем график функции . (Рисунок 13)

Рисунок 13

II. Практическая часть

Задание: из предложенного списка функций выбрать по желанию и построить графики двух:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Решение см. Рисунок 14.

Рисунок 14

Занятие 7. Графики некоторых простейших функций, заданных явно.

Цель: научиться строить графики функций, заданных явно; создание ситуации успеха в процессе оценки и самооценки знаний по темам курса.

Ход занятия

I. Беседа

Построим график функции .

По определению абсолютной величины функции .

Строим прямые на двух участках. (Рисунок 15)

Рисунок 15

Примеры.

1) Построим график функции .

а) Строим график функции у = 2х – 4 для х ≥2.
б) Проводим ось симметрии: х = 2.
в) Достраиваем график: проводим прямую, симметричную первой относительно оси симметрии. (Рисунок 16)

Рисунок 16

Рассмотрим другой порядок построения· графиков подобных функций, который будет более удобным и общим для построения графиков в дальнейшем.

2) Построить график функции .
а) Из условий и находим абсциссы точек перелома графика: хl = 1 и х2 = 3.

Следовательно, данную функцию следует рассматривать на трех промежутках: , (1; 3] и и на них по частям строить график.

б) На .

На (1; 3] .

На ,

т.е. (Рисунок 17)

Рисунок 17

II. Практическая часть

Задание: из предложенного списка функций выбрать по желанию и построить графики двух:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Решение см. Рисунок 18.

Рисунок 18

III. Презентация учащимися собственных графиков, созданных для портфолио

IV. Проверка построенных графиков через программу Advanced Grapher

Литература для учителя

  1. И.И. Гайдуков. Абсолютная величина. М.: Просвещение, 1968.
  2. Фальке Л.Я. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе. М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2002.
  3. М.Е. Козина. Математика 8-9 классы. Выпуск 2. Сборник элективных курсов. Волгоград: Учитель, 2007
  4. А.В. Коркуев, Л.Д. Арестова. Построение графиков некоторых функций. Журнал «Математика в школе», №3-1995г.