Открытый урок "Решение математических задач на уроках информатики"

Цели урока:

• Расширение знаний учащихся по использованию языка программирования для решения прикладных задач.
• Углубить знания учащихся по математике по исследованию функций.
• Научить применять разработанный алгоритм к решению однотипных задач.

Актуализация: Повторить алгоритм метода половинного деления для решения сложных уравнений. Дать определение экстремальных точек и способы их определения, как точки ограничения монотонности функции.

Объяснение нового материала.

В курсе математики 11 класса большое внимание уделяется исследованию функций, где большое внимание уделяется нахождению экстремальных точек, промежутков возрастания и убывания функций. Для нахождения экстремальных точек функции мы с воспользуемся методом половинного деления, когда искомая точка находится путем постепенного приближения делением отрезка абсциссы пополам при достижении определенного условия.

Сущность данного метода заключается в том, что при изменении направления движения, т.е. при переходе функции через экстремальную точку, возрастающая функция начинает убывать, а убывающая – возрастать, а следовательно, приращение функции, соответствующее приращению аргумента, меняет знак приращения функции на противоположный.

Рассматриваем функцию F(X) на промежутке АВ (Рис.1). Начальное значение аргумента Х=А, приращение аргумента Х дает приращение функции Y=Y(X+X)-Y(X). Двигаясь вдоль оси Х с шагом Х мы получаем приращения функции Y. Пока функция не меняет своего направления, знак приращения неизменен.

После того, как функция сменила свое направление (Рис2.), т.е перешла через экстремальную точку, знак приращения функции сменился, необходимо разделить приращение Х пополам, и сменить направление движения, и так до тех пор, пока Х не станет меньше Е, где Е – заданная погрешность приближенного вычисления. Таким образом, поделив промежуток Х пополам, мы находим точку Х, являющуюся аргументом экстремального значения заданной функции F(X).

Рис.1

Рис.2

Рассмотрев теоретическую часть и составив математическую модель решения задачи, переходим к составлению алгоритма в виде блок-схемы.

Исходные данные, которые необходимо задать, А и В – начало и конец рассматриваемого промежутка, Х1 – приращение аргумента.

Y1 –начальное значение функции, Y – конечное значение функции на промежутке Х, К – приращение функции на промежутке Х.

Рассматриваемый алгоритм предусматривает функцию, которая вначале возрастает, а затем убывает, но обязательно имеет экстремальную точку на заданном промежутке.

Что необходимо предусмотреть для случая, если экстремальных точек не существует?
Как будет выглядеть блок-схема для функции вначале убывающей, а затем возрастающей?

Рассмотрим задачу: Забором длиной 24м требуется огородить с трех сторон прямоугольный палисадник наибольшей площади. Найти размеры палисадника.

Составим математическую модель, функцию F(X) для данной задачи.

Пусть Х – ширина палисадника, тогда 24-2Х, длина палисадника. Площадь палисадника S=Х (24-2Х), это и будет являться функцией F(X) для данной задачи.

По рассмотренному алгоритму составляем программу для данной задачи и отлаживаем программу, анализируем результат.

При составлении программы необходимо предусмотреть описание типов данных, создание входного и выходного файла INPUT и OUTPUT.

Решением данной задачи будет Х=6, т.е. наибольшая площадь будет у квадрата. После детального рассмотрения программы, результатов решения каждый ученик получает задачу, которую необходимо решить самостоятельно. Теперь сложность для учеников заключается в составлении математической модели конкретной математической задачи.

Задачи подобраны таким образом, что ученики имеют возможность дополнительно вспомнить изучаемый материал по математике. Нестандартные задачи повышают интерес к занятиям программированием, а задачи из курса геометрии взяты из материалов по подготовке к ЕГЭ, повышает навыки учащихся в решении сложных задач.

1. При проектировании цеха планируется строительство нескольких одинаковых холодильных камер, каждая из которых имеет форму правильной четырехугольной призмы объемом 144 куб.м Для облицовки боковых стенок камеры используется материал, цена которого 150 у.е., а для облицовки дна – 200у.е.за один квадратный метр. При каких размерах холодильной камеры стоимость ее облицовки будет наименьшей.

2. Расположение деревень Неелово, Горелово, Заплатово и Неурожайка задано координатами X,Y, где за ось Х принята железная дорога, а началом координат расположение станции. Необходимо определить расположение станции, чтобы расстояние до всех деревень было минимальным.

3. Поселок С расположен в 87 км от райцентра А и в 34 км от магистральной дороги, проходящей через райцентр. Под каким углом к магистрали следует провести подъездной путь из С в А, чтобы стоимость перевозки была наименьшей, если известно, что стоимость перевозки по магистрали на 45% дешевле, чем по подъездному пути.

4. Объем параллелепипеда равен 4 куб.см, а основания являются квадратами. Найти размеры параллелепипеда, так, чтобы периметр боковой грани был наименьшим.
5. Из всех конусов, вписанных в шар радиуса R, найти тот, у которого площадь боковой поверхности наибольшая.
6. Найти наибольший возможный объем правильной треугольной пирамиды, апофема которой равна 6дм.
7. Правильный прямоугольный параллелепипед, каждая из боковых граней имеет периметр 6 см. Найти параллелепипед с наибольшим объемом и вычислить его.
8. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна . При какой высоте призмы ее объем будет наибольший.
9. Из всех треугольников, у которых сумма основания и высоты равна А, найти тот, у которого площадь наибольшая.
10. В равносторонний треугольник с периметром 3см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найти длины сторон прямоугольника.
11. Из всех цилиндров, вписанных в шар радиуса R найти тот, у которого объем наибольший.
12. Найти наибольший возможный объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно .
13. Из всех цилиндров, вписанных в данный конус с радиусом основания R и высотой H, найти тот, у которого объем наибольший.
14. Из всех конусов с данной длиной образующей L найти тот, у которого объем наибольший.
15. Основанием пирамиды МАВСD служит квадрат, причем МВАВС, MD=. Найти высоту пирамиды, при котором ее объем наибольший.
16. Найти размеры открытого ящика с квадратным дном, имеющего наименьшую площадь полной поверхности при заданном объеме V.

Заключение.

При подведении итогов урока разбираются задачи из практической части, вызвавшие затруднения учащихся как при составлении математической модели, так и при составлении программы.