Разработка урока по алгебре и началам анализа в 10-м классе по теме "Неразлучная пара" - показательная и логарифмическая функции"

Теория без практики мертва или бесплодна.
Практика без теории невозможна или пагубна.
Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения.

А. Н. Крылов

Цели урока:

1. Образовательные:

• систематизировать и обобщить знания и умения по теме: «Показательная и логарифмическая функции»;
• усвоить систему знаний и применять их для объяснения новых фактов.

2. Развивающие:

• преодолевать трудности при решении задач;
• развивать познавательный интерес.

3. Воспитательные:

• формировать логическое, абстрактное, эвристическое, системное мышление;
• расширить свой кругозор.

Ожидаемый результат – учащиеся знают свойства логарифмической и показательной функций, умеют их применять при решении задач.

Тип урока – урок обобщения и систематизации знаний.

Продолжительность урока 80 мин.

Методы обучения:

• репродуктивный;
• систематизирующий;
• наглядно-иллюстративный;
• исследовательский;
• использование идеи самоанализа с систематическим применением самоконтроля учащихся.

Оборудование:

• компьютер, мультимедийный проектор;
• карточки – задания.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Постановка задач и целей урока
3. Проверка знаний учащихся
4. Обобщение и систематизация понятий
5. Решение задач с использованием графиков показательной и логарифмической функций
6. Самостоятельная работа с последующей самопроверкой
7. Решение упражнений
8. Сообщение на тему: «Открытие логарифмов».
9. Решение комбинированных уравнений.
10. Сообщение на тему: «Применение показательной функции»
11. Решение задачи с параметром.
12. Подведение итогов.
13. Постановка домашнего задания.

Ход урока

Презентация к уроку.

I. Организационный момент.

II. Сообщение темы и целей урока.

После проверки готовности класса к уроку сообщается, что проводится повторительно-обобщающий урок по теме: «Неразлучная пара: Показательная и логарифмическая функции».

- Задачи с применением свойств показательной и логарифмической функций встречаются во всех трех уровнях сложности при сдаче итоговой аттестации. Поэтому для того, чтобы с ними справиться, нужна специальная подготовка по решению различных типов таких задач.

- Ребята, сегодня перед нами стоят несколько задач:

• вспомнить функции у = а^х; у = log_ax их свойства и графики. Сопоставить их;
• использовать свойства данных функций при решении задач;
• разобрать комбинированные уравнения;
• рассмотреть уравнение с параметром с использованием свойств функций ^;
• узнать много интересного из истории этих функций и их приложений.

III. Повторение и анализ основных фактов. (10 – 11 мин)

- Для того чтобы сопоставить функции у = а^х и у = log_ax при а > 0, а ≠ 1 нужно хорошо представлять, что такое показательная и логарифмическая функции. А вспомнить эти понятия поможет следующий тест.

Тест. (Слайд 3-7)

1. Какие из данных функций являются логарифмическими:

1) 3 и 4;

2) 2, 3 и 5;

3) 3 и 5;

4) 4.

2. Какие из данных функций являются показательными:

1) 3 и 4;

2) 2, 3 и 5;

3) 3 и 5;

4) 4.

3. Назовите возрастающие функции:

1) 1,3 и 7;

2) только 1 и 7;

3) 2, 4, 5 и 6;

4) 2, 4 и 6.

4. Назовите убывающие функции:

1) 1,3 и 7;

2) только 1 и 7;

3) 2, 4, 5 и 6;

4) 2, 4 и 6.

5. Какая из линий на рис.1 является графиком является графиком функции у = log₇x?

1) а;

2) б;

3) в;

4) г.

Рисунок 1.

6. Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел.

1) да;

2) нет.

7. Областью определения показательной функции является множество действительных чисел.

1) да;

2) нет.

8. Логарифмическая функция у = log_ax и показательная функции у = а^х при а > 0, а ≠ 1.

1) степенные;

2) взаимно обратные;

3) линейные.

9. Сами же функции порою убывают, порою по команде возрастают. А командиром служит им значение …, и подчиняются они ему всегда.

1) такого значения нет;

2) х;

3) а.

10. Область значения функции у = 3^х + 1 числовой промежуток:

1) (-4;4);

2) (0;+∞);

3) (-∞; +∞);

4) (1;+∞).

11. Функции у = а^х и у = log_ax при а > 0, а ≠ 1 симметричны относительно:

1) прямой у = х;

2) оси Оу;

3) оси Ох.

Учитель наблюдает за работой учащихся, дает пояснения.

Знакомит с критериями оценивания данного теста. После самопроверки, учащиеся сдают бланки для выставления отметок в журнал. Бланк ответов представлен на рисунке 2. (Слайд 8)

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	4	4	1	б	1	1	2	3	4	1

Рисунок 2.

IV. Обобщение и систематизация понятий.

Провожу беседу. Демонстрирую слайды. Акцентирую внимание учащихся именно на тех свойствах, которые помогают при решении задач исследовательского характера. Добавляю неизвестное раннее свойство.

Обобщение учителя:

1. Показательная и логарифмическая функции при одном и том же основании являются взаимно обратными функциями.

3. Экспонента возрастает быстрее, а логарифмическая функция медленнее любой степенной функции.

При а > 1 (Слайд 11)

• Если х > 0, то а^х > 1
• Если х < 0, то 0 < a^x < 1
• Если х > 1, то log_ax > 0
• Если 0 < х < 1, то log_ax < 0

При 0 < а <1

• Если х > 0, то 0 < а^х < 1
• Если х < 0, то a^x > 1
• Если 0 < х < 1, то log_ax > 0
• Если х > 1, то log_ax < 0

4. Частные свойства (Слайд 12):

1) log_a1 = 0, a > 0, a ≠ 1 т.е. логарифм числа 1 при любом допустимом основании равен 0;

2) log_aa^x  = x, a > 0, a ≠ 1.

- Это свойство часто применяют в «обратном» порядке – чтобы выразить заданное число b через логарифм по основанию а, а именно, b = log_aa^b.

V. Решение задач.

Задача (А) (решение показывает учитель). На одном из графиков (Слайд 13) изображен график функции y = log₃x. Укажите этот рисунок.

Учитель: В задании предлагается 4 картинки. Надо указать ту, на которой нарисован график конкретной функции.

Ребята давайте вспомним, как построить графики некоторых функций. Экспресс – опрос.

Вопросы:

• Сколько нужно точек для построения прямой? (Две.)
• Достаточно ли трех точек для построения параболы? (Да.)
• Сколько точек (минимум) нужно для построения гиперболы ? (8)
• А как вы считаете, можно ли по трем точкам построить графики показательной или логарифмической функции? (Нет.)

Учитель: Графики логарифмической или показательной функции по трем точкам нельзя построить, но уловить «характер» по трем точкам можно. (Слайд 14)

Для функции у = а^х надо найти значения в следующих трех точках:

х	-1	0	1
ах		1	а

Рисунок 3.

и сразу будет ясно, возрастающая функция (это при а > 1) или убывающая (это при 0 < a < 1).

Для функции у = log_ax надо найти значения в следующих трех точках:

х		1	а
logax	-1	0	1

Рисунок 4.

и сразу будет ясно, возрастающая функция (это при а > 1) или убывающая (это при 0 < a < 1).

Вывод. Если среди нарисованных графиков надо найти график такой функции, то, прежде всего надо сравнить значения заданной функции со значениями на графиках именно в этих точках. (Слайд 15)

Учитель: Вернемся к нашему рисунку. Найдём у(3) = log₃3 = 1, значит, наш график на картинке 2. Ответ. На втором графике.

(На доске заранее построены предложенные графики. Два ученика выходят к доске и решают по карточкам.)

Задачи.

1. На одном из рисунков (рисунок 6) изображен график функции у = - log₂x. Укажите этот рисунок.
2. На каком из рисунков (рисунок 7) изображен график функции

VI. Самостоятельная работа учащихся с последующей проверкой. (Слайд 16)

Вариант 1. На рисунке 7 представлен график функции у = а^х. Укажите а.

Ответ: .

Вариант 2. На рисунке 8 представлен график функции у = log_a x_. Укажите а.

Ответ: 2.

VII. а) Четыре ученика выходят к доске и решают задания по карточкам (в квадратных скобках ответы к заданиям):

Карточка 1.

Определите знак числа log₂. [Минус]

Карточка 2.

Укажите промежуток, являющийся областью определения функции

Карточка 3.

Найдите область определения функции . [(-∞;3]]

Карточка 4.

Какое из следующих чисел не входит во множество значений функции

1) -3; 2) 0; 3) -4; 4) -2 [-4]

б) Тем временем весь класс решает задание: укажите количество целых чисел, входящих в область определения функции . Первые два ученика оцениваются.

Проверяю решение карточек у доски. Задания, вызвавшие затруднения обсуждаем вместе с учениками. Обращаю внимание на оформление решения.

VIII. После данной работы вызываю одного ученика для сообщения исторической справки об открытии логарифмов, подготовленной им заранее.

Сообщение ученика: «Поистине безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники. А ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Попытки сопоставить множеству чисел вида 10^х множество соответствующих показателей степени х мы находим в XVI в. у немецкого математика Михеля Штифеля. Важность такого для практики вычислений достаточно ясна. Если числу а^х соответствует показатель х, а числу а^у – у, то произведению а^{х *} а^у = а^х+у будет отвечать сумма х + у, т.е. умножение можно заменить сложением, что было давней мечтой всех вычислителей. Чтобы ее осуществить, требовалось составить точные таблицы, в которых содержались бы все необходимые данные. Этот огромный труд оказался по силам шотландскому математику Джону Неперу. Более трех столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогли астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский ученый Лаплас, «удлиняли жизнь вычислителям». Еще недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане; изобретенная через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером, она позволяла быстро получать ответ с достаточной для инженера точностью в три значащие цифры. Теперь ее из инженерного обихода вытеснили микрокалькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы».

IX. После небольшого экскурса в историю даю под запись утверждение:

Если функция f возрастает (убывает), а функция g убывает (возрастает) на множестве Х, то уравнение f(x) = g(x) на множестве Х имеет не более одного корня. (Слайд 17)

Затем вызываю к доске по очереди двух учеников, которым было дано задание: подготовить и решить два нестандартных уравнения на применение данного утверждения. [Уравнения 1 и 2]. Они записывают решения на доске, комментируют их, остальные делают записи в тетрадях.

Решение этого уравнения показываю сама. Поясняю специфику данного задания, обращаю внимание, на то, что задания типа С2 - это средние по сложности задачи вступительного экзамена в вузы. По характеру это задачи исследовательские. Что некоторые уравнения можно решить подбором, основываясь на свойствах монотонности функций.

X. В промежутках между решениями задач говорю о применении показательной функции.

Тезисы.

1. По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому - распространение в Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.
2. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число «потомков» одного растения равнялось бы 243 * 10¹⁵ или приблизительно 2000 растений на 1 м² суши.
3. Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 * 10¹⁴. Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.
4. В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемым показательной функцией. Например, температура чайника изменяется со временем t согласно формуле Т = Т₀ + (100 - Т₀) е^-rT.
5. Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении и выключении электрического тока в цепи, при падении тел в воздухе с парашютом. В биологии процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в крови; о работе почек судят по их способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.
6. В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества - процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови.
7. Вы все слышали о цепных реакциях, теорию которых в 20-х годах описал молодой химик Н.Н. Семенов, а потом развили ученые-атомщики. Как управлять этим процессом в мирных целях? На этот вопрос можно ответить только при помощи знаний о показательной функции. (Слайд 18-23)

XI. Найти все значения а, при которых уравнение имеет единственное решение.

Совместно с ребятами ищу способ решения данной задачи. Отмечаю, что графики особенно удобно использовать, если например, необходимо найти количество решений в задачах с параметром и без него. (Слайды 24-30)

XII. Подведение итогов. (Слайд 31)

• О чем вы не имели представления до сегодняшнего урока и, что теперь вам стало ясно?
• Что нового вы узнали о логарифмической и показательной функциях и их приложениях?
• Какая информация вас заинтересовала?
• С какими трудностями вы столкнулись при решении нестандартных заданий?
• Понравился ли вам сегодняшний урок?
• Оцениваю тестовую работу, работу по карточкам, устную работу, сообщение, работу у доски.

XIII. Постановка домашнего задания. (Слайд 32)

Математика и музыка – два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. Задумайтесь, есть ли какая-нибудь связь между ними, найдите её. Из дополнительной литературы выписать и решить каждому по два уравнения.

Используемая литература:

1. Денищева Л.О. и др. Единый государственный экзамен: математика: 2004 – 2005: Е33 КИМ – М.: Просвещение, 2005.
2. Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 272 с.
3. Крамор В.С. Задачи с параметрами и методы их решения, – М.ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и образование», 2007. – 416 с.
4. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Применение свойств функций, преобразование неравенств. – М.:АРКТИ, 2007. – 64 с.
5. Лысенко Ф.Ф. и др. Математика. ЕГЭ – 2007. Вступительные экзамены. Пособие для самостоятельной подготовки. – Ростов-на-Дону: Легион, 2006. 416 с.
6. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/ Главный редактор М.Д. Аксёнова. – М.: Аванта+, 2002. 688 с.