Пояснительная записка
Многие вещи нам непонятны не потому, что
наши понятия
слабы; но потому, что сии вещи не входят в
круг наших понятий.
Козьма Прутков
В 10 классе учащиеся старшей школы только приступают к изучению курса математического анализа, в котором, согласно стандартам образовательных программ базового уровня, в настоящее время отсутствуют следующие темы: “Предел числовой последовательности” и “Предел функции”. Исключение изучения данного вопроса произошло из-за теоретической сложности данного материала, на основе которого строилось изложение вышеуказанных тем; и ввиду психологических и физических особенностей учащихся старшей школы. В действительности изучение пределов имеет место только в школах с углублённым изучением математики, либо в классах профильного уровня.
Понятие предела при изучении числовых последовательностей и функций является неотъемлемой составляющей, но в виду сложившейся системы обучения математики слабо предусматривается формирование смысла предела, его важнейших теорем и свойств в практическом применении. В связи с этим целесообразно введение обобщающего систематизирующего и развивающего элективного предмета, посвященного изучению пределов. Умение различать виды числовых последовательностей и пределов в заданиях определенного уровня сложности, облегчит понимание их содержания, а умение применять определённые свойства и теоремы, поможет компактно записывать объёмные упражнения. Формирование у школьников названных умений способствует развитию определённого уровня математической подготовленности и грамотности рациональных решений.
Цель элективного предмета:
- повышение уровня математической культуры;
- развитие конструктивности и грамотности решений;
- формирование следующих компетентностей: представление о пределе, понимание свойств и теорем пределов для числовых последовательностей, понимание универсальности геометрических иллюстраций предела и алгебраических операций над ним;
- формирование понимания применяемости пределов ,как в математике, так и в физике, и других областях человеческой деятельности.
Задачи элективного предмета:
- развитие исследовательских и познавательных способностей;
- формирование и развитие учащихся представлений о науке;
- развитие определённого стиля мышления, представлений учащихся о математических понятиях, об их роли в практическом применении;
- формирование умения правильно оформлять свои мысли с помощью определённого научного материала;
- актуализация знаний теорем и свойств пределов, использование в разделах школьного курса математики, а также в других областях знаний;
- формирование умений проведения математических рассуждений и исследований с помощью анализа;
- развитие грамотности научного языка.
Предлагаемый элективный предмет в основном предназначен для учащихся старших классов. Программа позволяет раскрывать содержание лекционных и практических занятий на изученном или текущем материале алгебры и начал анализа.
Организация учебных занятий
Занятия целесообразно проводить в форме лекций, практикумов, зачётов. Основная часть времени на каждом практическом занятии должна отводиться самостоятельной работе учащихся по индивидуальным карточкам, тестам с последующей проверкой правильности выполнения заданий, осуществляемой путём самоконтроля, взаимоконтроля, так и учителем.
Данный предмет не предполагает традиционных домашних заданий, но они могут предлагаться отдельным учащимся, желающим совершенствовать свои знания и умения.
В ходе практических занятий учитель руководит деятельностью учащихся, оказывает им помощь в случае необходимости, предоставляет теоретические и практические консультации. На занятиях - практикумах необходимо наличие справочной литературы, так как она может потребоваться учащимся при выполнении заданий.
На изучение предмета целесообразно отвести 34 учебных часа, распределив их по темам.
Организация и проведение аттестации учеников
Основными результатами освоения учащимися содержания данного элективного предмета может быть набор умений и навыков по темам практических занятий, который определяется учителем, и о котором ученики ставятся в известность на первом занятии.
Проверку достижений результатов обучения целесообразно осуществлять путем проведения контрольных работ и тестирований. Контрольная работа, предусматриваемая по каждой теме, не только обеспечивает накопление оценок для итоговой аттестации, но также выполняет следующие функции:
- ставит ученика перед необходимостью регулярно посещать занятия и совершенствовать свои навыки;
- позволяет учителю проследить динамику освоения учениками знаний и умений, своевременно скорректировать учебный процесс.
Результаты выполнения текущих контрольных работ или тестов могут оцениваться по традиционной пятибалльной системе. Итоговая аттестация осуществляется на основе накопленных оценок за каждую тему.
Основное содержание предмета
Числовые последовательности.
Предел последовательности.
Тема 1. Понятие числовой последовательности и её предела.
Некоторые способы задания последовательностей, геометрическое изображение членов последовательности.
Лекция:
Интуитивное понятие о предельном переходе. Использование понятия учёными Древней Греции. Простейшее и научное определения числовой последовательности. Обозначение конечного числа из множества. Виды последовательностей. Элементы последовательностей. Действия суммы, произведения, разности и частного двух последовательностей. Способы задания последовательностей: аналитический способ, рекуррентный способ. Изображение n – го члена последовательности на координатной плоскости.
Практическое занятие:
Выполнение упражнений на тему: “Применение арифметических действий с числовой последовательностью, геометрическое изображение членов последовательности, решение формулы общего члена
Тема 2. Ограниченные последовательности.
Монотонные последовательности.
Лекция:
Определение ограниченности, ограниченности сверху, ограниченности снизу. Монотонные последовательности – возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие. Строго монотонные последовательности.
Практическое занятие:
Выполнение упражнений на тему: “Доказательство монотонности последовательности”.
Тема 3. Теоремы о пределах последовательности.
Теорема Вейерштрасса.
Лекция:
Понятие предела, общая формула, сходящиеся и расходящиеся последовательности, ε – окрестности точки а, стремление к + ∞ и к - ∞. Теорема о единственности предела. Теоремы о пределах последовательностей при равенстве членов, при неравенстве членов, существовании предела, суммах пределов, произведении пределов, частного пределов. Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
Практическое занятие:
Выполнение упражнений по теме: “Применение теорем о пределах при решении упражнений”.
Тема 4. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности.
Лекция:
Рассмотрение понятия необходимого и достаточного условия сходимости п оследовательности при введении теоремы Больцано - Коши (критерий с ходимости).
Практическое занятие:
Выполнение упражнений по теме: “Применение теоремы Больцано - Коши при доказательстве сходимости последовательностей”.
Функция и предел функции.
Тема 1. Понятие о функции.
Способы задания функции.
Лекция:
Определение функции, область определения функции, независимая переменная, значения аргумента. Изменения функций, значение функций, область значений. Способы задания функций: аналитическое выражение (формула), описательный способ, табличный способ.
Практическое занятие:
Выполнение упражнений по теме “Определение компонент функций”, “Способы задания функций”.
Тема 2. Область определения функции и область определения формулы.
График функции.
Лекция:
Область определения функции, элементы.
Область определения формул функций:
- целая и дробная рациональные функции,
- степенная функция,
- показательная функция,
- логарифмическая функция,
- тригонометрические функции,
- обратные тригонометрические функции.
Графики функций.
Практическое занятие:
Выполнение упражнений по теме: “Виды функций и построение их графиков”.
Тема 3: Классификация функций.
Суперпозиция функций.
Лекция:
Возрастающая, убывающая, строго возрастающая, строго убывающая, монотонная, строго монотонная, четная, нечетная функции. Симметричность функций. Период функций. Графическое изображение четности и нечетности. Алгебраические операции над функциями. Суперпозиция функций (сложность функций).
Практическое занятие:
Выполнение упражнений по теме: “Виды функций, их классификация”, “Суперпозиция функций”.
Тема 4: Обратная функция.
Связь между обратной и тождественной функциями.
Лекция:
Введение определения обратной функции, существование обратной функции. Доказательство теоремы о существовании обратной функции. График обратной функции. Связь между обратной и тождественной функциями.
Практическое занятие:
Решение упражнений по теме “Обратная функция” с применением введенных теорем.
Тема 5: Определение предела функции.
Геометрическая иллюстрация предела.
Односторонние пределы.
Лекция:
Определение предела. Промежутки с выколотыми точками, стремление переменной. Геометрическая иллюстрация предела. Обозначение предела. Односторонние пределы (левый и правый пределы). Равенство односторонних пределов.
Практическое занятие:
Выполнение упражнений по теме “Предел функции”.
Тема 6. Некоторые важные пределы.
Теоремы о пределах.
Лекция:
Виды важных пределов.
Практическое занятие:
Выполнение упражнений по теме “Пределы”.
Тема 7. Некоторые свойства функций, имеющих предел.
Лекция:
Теоремы о единственности предела, о предельном переходе в неравенстве, об ограниченности функции, имеющей предел, о равенстве значений пределов функций, определенных на одном промежутке.
Практическое занятие:
Выполнение упражнений по теме “Свойства функций, имеющих предел”.
Тема 8. Связь предела с алгебраическими операциями.
Лекция:
Теоремы о пределе суммы, разности, произведения, частного. Вынесение общего множителя.
Практическое занятие:
Выполнение упражнений по теме “Алгебраические операции и пределы”.
Тема 9. Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.
Лекция:
Определение плюс и минус бесконечности. Значение пределов в бесконечности. Окрестности плюс и минус бесконечности. Определение непрерывности.
Практическое занятие:
Выполнение упражнений по теме “Бесконечные пределы и пределы в бесконечности”.
Тема 10. Тождественные преобразования при вычислении пределов.
Лекция:
Принцип тождественных преобразований при недопустимости применения основных теорем.
Практическое занятие:
Выполнение упражнений по теме “Решение пределов”.
Приложение 1. (Учебно-тематический план.)
Приложение 2. (Календарно-тематический план.)
Литература:
- П.И. Алтынов, Б.Г. Зив. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы “Дрофа”, М., 2002 г.
- И.А. Гибш. Алгебра, УЧПЕДГИЗ, 1960 г.
- А. Г. Курош. Курс высшей алгебры, “Наука”, М., 1968 г.
- А. К. Кутепов, А. Т. Рубанов. Задачник по алгебре и элементарным функциям, “Высшая школа”, М., 1974 г.
- А. И. Маркушевич, К.П. Сикорский, Р.С. Черкасов Алгебра и элементарные функции, “Просвещение”, М., 1968 г.
- А. М. Рубинов, К.Ш. Шапиев. Элементы математического анализа, “Просвещение”, М., 1972 г.
- И. Х. Сивашинский. Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям, “Наука”, М., 1971 г.
- Л. В. Тарасов. Математический анализ: беседы об основных понятиях, “Просвещение”, М., 1979 г.
- А. Г. Цыпкин. Справочник по математике для средних учебных заведений, “Наука”, М., 1988 г.