Урок по теме "Стандартные и нестандартные методы в решении заданий по подготовке к ЕГЭ"

Цели урока:

• Учить применять стандартные и нестандартные методы в решении заданий, учить видеть свои ошибки, уметь исправлять их, учить точно, безошибочно выполнять задания, доводить свои действия до автоматизма;
• Учить анализировать, сравнивать, доказывать и опровергать;
• Учить настойчивости в достижении поставленной цели.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1) – Дома вы выполняли “Тест по устранению типичных ошибок”.

ТЕСТ

Поставьте знак “+”, если утверждение верно, и знак “–”, если оно неверно.

1. Множество значений функций – все действительные числа.
2. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность.
3. при  x > 0.
4. log ₂ x ² = 2 log ₂ x – тождество для действительных чисел .
5. Функция – чётная.
6. Функция y = |x| определена только при .
7. cos (1,3) не существует.
8. У функции y = x ² нет обратной при .
9. Число – иррациональное.
10. ctg x – убывающая функция для всех .
11. при a > b > 0.
12. .
13. Уравнение имеет решения .
14. .
15. для всех действительных x.
16. Неравенство |x| > 2 равносильно тому, что x > 2 или x > –2.
17. Прямые y = 2 x – 1 и y = 4 x – 2 параллельны.
18. Вектор длины с одинаковыми координатами обязательно имеет вид {1,1,1}.
19. tg x · ctg x = 1 для всех действительных x.
20. Уравнение 17 ^x = 0,25 решений не имеет.

Прошу всех взять таблицу ответов, и поставить знаки “+” и “–” по каждому из двадцати заданий.

2) (За доской имеется таблица баллов и оценок, и верные ответы).

Таблица ответов.

Перевод баллов в оценку

3) Прошу передать друг другу таблицы ответов и сделать взаимопроверку, поставьте отметки. Эти таблицы вы заберете домой и посмотрите, где вы сделали ошибки, проанализируете, выполните работу над ошибками.

II. Классификация ошибок теста, проведенного на предыдущих уроках (2 ^х часовой тест).

На прошлом занятии вы писали 2 ^х часовой тест. Я провела классификацию ошибок и увидела, что были допущены ошибки в задании В4 или задание нерешено. Пойдёт к доске (…) и найдёт произведение корней уравнения .

Решение. Пусть ,
тогда t ² – 8 t + 7 = 0,
a + b + c = 0,
t ₁ = 1, t ₂ = 7.

1) ,
(log ₃ x) ² = 0,
x = 1.

2) ,
(log ₃ x) ² = 1,
log ₃ x = ± 1,
x = 3,
x = .

Произведение: .

Ответ: 1.

А7. Решить неравенство

– Как можно быстро решить это неравенство?

(Расстановку знаков провести на интервалах с помощью графиков (рис.1)).

Ответ:

III. Применение дистракторов (простой анализ предложенных вариантов ответов).

1. Как, пользуясь дистракторами (простой анализ предложенных вариантов ответов) в А4 надо было указать функцию, график которой изображен на рисунке 2? (Методом исключения)

1)
2)
3)
4)

Исключаем сразу функции под номерами 2) и 3). Ответом является функция под номером 4).

2. Давайте рассмотрим еще задание, в котором можно провести простой анализ ответов.

А 9: cos 2x = – 1.

1) ;
2) ;
3) ;
4) .

Исключаем сразу ответы 3) и 4), а затем 1). Остаётся ответ под 2).

3. Решить неравенство:

A10: log₅ (x – 7) < 3.

1) [7;10);
2) (0;17);
3) (7;132);
4) ( ;32).

Исключаем ответы под номерами 1) и 4), из оставшихся ответов, вероятнее всего ответ под номером 3), т.к. 5 ³ > 17.

IV. Рассмотрим задание, в котором надо найти наименьшее значение функции

y = log_0,5 (0,25 – x²).

Можно, конечно, стандартным способом с помощью производной исследовать логарифмическую функцию, но кто-то вдруг забыл формулу производной. Вместо того, чтобы тратить время на попытки её вспомнить, можно пойти таким путём:

I способ:

1) Какая функция y = log_0,5 t ? (монотонно убывающая)
2) Где эта функция определена? (–0,5;0,5)
3) Что за функция (0,25 – x²)? (квадратичная)
4) Что является ее графиком? (парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной (0;0,25) )
5) Значит, в точке x = 0 эта функция достигает своего какого значения? (наибольшего)
6) А т.к. y = log_0,5 t убывающая, то свое наименьшее значение она достигнет когда? (при наибольшем 0,25 – x², т.е. при х = 0)
7) Значит, при х = 0 y(0) = 2 – наименьшее значение.

II способ:

– Наибольшее число под логарифмом может быть только 0,25 при х = 0, но т.к. функция убывающая, то наименьшее значение логарифмическая функция достигает при х = 0 и оно равно 2.

– Как вы думаете, из какого раздела было это задание? Из В или С ? (из В)

– Кому оно показалось невероятно трудным?

Никому?.. Молодцы! Идем дальше!

– Вы, наверное, хотите решить задание из раздела С ? Пойдет к доске (…).

Найти множество значений функции: (с помощью учителя).

V. Решить уравнения из раздела С2 (условия записаны на доске).

1)

Пойдёт к доске (…).

(Решает с объяснением вслух)

Решение. Уравнение будет иметь решение только тогда, когда ,
тогда ,
,
,
,

1) ,
,
.

2) .

Ответ: .

2) Решить самостоятельно уравнение

Решение.

, ,

, ,

a + b + c = 0,

, .

Ответ: 2,5.

3) Послушаем решение готовившегося у доски (…).

Решение. . Найти Е (у).

1) ;
2) , т.к. lg t – возрастающая, то
3) ;
4) ;
5) т.к. – убывает на [3; ), то , ;
6) т.к. убывает на (0; ), то на промежутке (0;100] она имеет наименьшее значение .

Ответ: .

Запишите решение в тетради.

VI. Решим задачу из раздела В.

Насос может выкачать из бассейна 2/5 воды за 10 минут. Проработав 0,25 часа, насос остановился. Найдите вместимость бассейна, если после остановки насоса в бассейне еще осталось 50 м³ воды.

Решение. 0,25 ч = 15 мин = 10 мин + 5 мин.

;
,
,
.

Ответ: 125 м³.

VII. Устные задания по теореме Виета и по нахождению координаты середины отрезка.

1) Если даны корни приведенного квадратного уравнения: х₁ = 2b + 5, х₂ = 3b, чему равно произведение корней? Чему равна сумма корней?

(x₁ · x₂ = 6 b ² + 15 b; x₁ + x₂ = 5 b + 5)

2) Если даны два корня: х₁ = –4, х₂ = 8, от какой точки они равноудалены?

(Надо найти середину отрезка [–4; 8], воспользуемся формулой координаты середины отрезка ).

3) Используя знания предыдущих пунктов, найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня, равноудаленных от точки х = 42 (анализ фронтальный).

Решение. Пусть t = log ₃ x , уравнение примет вид: , его корни по теореме Виета – числа x ₁ = a, x ₂ = a + 3, т.е.
log ₃ x = а,
x = 3 ^a,

log ₃ x = а
x = 3 ^a + 3,
тогда , , , , a = 1.

Ответ: а = 1.

VII. Выполнение заданий А1-А10 из В-27, 28 [3] и проверка по таблице ответов.

IX. Домашнее задание.

1. Решить неравенство .
2. Найти наименьшее значение функции .
3. А1-А10, В-29 [3].

X. Итог урока.

Урок достиг цели, хорошо работали на уроке: (…). Вы хорошо мыслили. Знания можно забыть, а умение мыслить останется с человеком навсегда, поэтому “математика – ум в порядок приводит”. Спасибо вам за урок и успехов в подготовке к ЕГЭ.

Литература:

1. Галицкий М. Л. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. // Просвещение, 1997 г.
2. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ. 10 класс. // Просвещение, 1998 г.
3. Лысенко Ф. Ф. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2009. Вступительные испытания. – Ростов-на-Дону: Легион, 2008 г.