Исследованию проблем, связанных с усилением социальной функции школьного курса математики на старшей ступени обучения, с воспитанием у школьников убежденности в значимости и действенности получаемых знаний, посвящены фундаментальные исследования многих отечественных педагогов, психологов и методистов. Содержательная и методологическая связь школьного курса математики с профессиональной составляющей образования осуществляется за счет его прикладной направленности.
Изучение математики предполагает не только запоминание и воспроизведение, но и узнавание, понимание и анализ фактов. Даже выполнение скучных и рутинных преобразований опосредованно способствует выработке таких качеств личности как собранность и систематичность. Именно процесс обучения математике формирует у учащихся рационалистический стиль мышления. Заниматься математикой необходимо для интеллектуального здоровья так же, как заниматься физкультурой - для здоровья телесного. Большая работа проводится по формированию в процессе изучения математики таких качеств как критичность, алгоритмичность, экономичность и т. д. С этой целью на уроках раскрывается взаимосвязь между понятиями, вырабатывается умение рассуждать доказательно, последовательно, лаконично. Особое внимание уделяется нестандартным и многовариантным способам решения. Проводятся так называемые уроки одной задачи, на которых рассматриваются различные способы ее решения с последующей аргументацией более рационального, подбираются комплексные упражнения, позволяющие проследить взаимосвязь теоретических положений и способов рассуждений из различных разделов математики. Для создания новых технологий, изобретения новых механизмов, для управления современным производством нужен человек, обладающий необходимой системой знаний, определенным складом ума, развитым мышлением и умением принимать оптимальное решение в зависимости от возникшей ситуации. Основы такой подготовки и закладываются при изучении математики, именно на уроках математики формируются универсальные умения и навыки, являющиеся основой существования человека в социуме. И прикладной аспект этой школьной дисциплины заключается в развитии универсальных способностей, которые могут применяться в различных областях знаний и сферах деятельности.
Как известно, знаниевая парадигма в современной школе уступила место компетентностной. В настоящее время все нормативные документы в области образования указывают на то, что одной из главных целей обучения математике является подготовка учащихся к практической жизни развитие школьников средствами самого предмета.
Практическая направленность обучения математике выполняет две взаимосвязанные функции: мировоззренческую и социально педагогическую. Мировоззренческая функция реализуется в процессе изучения элементов истории возникновения математических понятий, в процессе установления связей математики с другими дисциплинами, в процессе составления алгоритмов. Социально-педагогическая функция реализуется через решение задач профессиональной ориентации средствами математики, при осуществлении экономического воспитания, при решении задач оптимизации технологических процессов в современном производстве и т.д.
Одним из основных средств, применение которых создает хорошие условия для достижения прикладной и практической направленности обучения математике, являются задачи с практическим содержанием.
Важным средством, обеспечивающим достижение прикладной и практической направленности обучения математике, является применение в ней межпредметных связей. Возможность подобных связей обусловлена тем, что в математике и смежных дисциплинах изучаются одноименные понятия, а математические средства выражения зависимостей между величинами (формулы, графики, таблицы, уравнения, неравенства и их системы) находят применение при изучении смежных дисциплин. Такое взаимное проникновение знаний и методов в различные учебные предметы не только имеет прикладную и практическую значимость, но и отражает современные тенденции развития науки, создает благоприятные условия для формирования научного мировоззрения.
Со 2 класса в нашем лицее изучается систематический курс Основ экономических знаний. И поэтому математике принадлежит особая роль, т. к. усвоить и проанализировать смысл важнейших экономических понятий и соотношений между ними порой невозможно без математического аппарата. Первой попыткой в рассмотрении вопросов экономической математики было составление программы и организация факультативных занятий по курсу
“ Элементы финансовой математики” для учащихся 10- 11 классов. Вместе с соответствующими экономическими и юридическими дисциплинами вопросы финансовой математики ориентируют учащихся на актуарную сферу деятельности.
Среди вопросов программы были такие как: основные понятия и сущность кредитной операции, ее основные показатели, основная формула начисления по схеме простых процентов, современное значение денег, учет векселей и т. д.
Такие понятия как депозит, акция, курс валют и т. д. знакомы школьникам из повседневной жизни. Поэтому факультативное изучение элементов финансовой математики интересно с точки зрения практического жизненного опыта, но оно способствует и повышению математической культуры, т. к. в нем излагаются наиболее простые понятия финансовой математики, опирающиеся на знания школьников, полученные ими на уроках алгебры.
Изучение материала осуществлялось на различных уровнях сложности, порой на иллюстративном с привлечением практического опыта. Занятия проводились в форме лекций, практикумов, на которых приведенные теоретические положения подкреплялись реальными практическими фактами (например, поиск обоснованного ответа на вопрос “ какой вид вклада эффективнее?”).
С точки зрения самой математики, финансовая математика опирается на арифметику, что соответствует повседневной жизни, поэтому вопросы программы факультативного курса предполагают решение вычислительных примеров с анализом данных и задач на проценты. Но в каждой коммерческой операции нужно учитывать много факторов и их взаимодействие, необходим количественный анализ. Поэтому на занятиях использовались алгебраические методы, методы математического анализа. В этом курсе большое внимание обращалось не только на правильное решение предложенных задач, но и на решение задач, самостоятельно составленных учениками. Этот элемент активизировал и пробуждал познавательные интересы учащихся, показывал динамику экономического процесса и возможности математических методов для их анализа. В ходе данного факультативного курса реализовывались межпредметные связи не только с экономикой, но и информатикой. Мы анализировали с математической точки зрения элементы некоторых программ по банковским вкладам, работали с электронными таблицами, анализируя, например, рост банковского капитала с помощью различного вида диаграмм, графиков, представленных на экране компьютера. Использование различных компьютерных программ обеспечивало современный уровень восприятия информации.
Факультативный курс “ Математика для экономистов” включает более широкий спектр вопросов. Основу в нем составляют чисто математические вопросы (для подготовки к поступлению в вуз.) и показывается, как с их помощью решаются некоторые экономические задачи. Теоретические вопросы чередуются с прикладными. Этот факультативный курс решает задачу профильного обучения и способствует облегчению перехода к изучению применяемого в высшей школе математического материала. Выбор вопросов программы обусловлен тем, что знакомство с методом математической индукции, элементами математической логики, различными приемами и способами доказательств математических утверждений развивает логическое мышление учащихся. Изучение числовых последовательностей и прогрессий помогает школьникам в предстоящей работе с массивами статистических или расчетных данных. Знакомство с теорией графов, элементами матричного исчисления, изучение основ моделирования послужит переходом к применению математики в экономических ситуациях и исследованиях.
Взаимное влияние и взаимосвязь чисто математических и прикладных вопросов можно проиллюстрировать на конкретных примерах:
- Решение задач линейного программирования и других задач на оптимизацию.
- Рассмотрение дескриптивных моделей, основанных на дифференциальном исчислении.
- Активная работа с так называемым кусочными функциями, заданными различными формулами на различных промежутках.
Именно кусочные функции являются во многих случаях математическими моделями реальных ситуаций. Их использование способствует преодолению обычного заблуждения многих учащихся, отождествляющих функцию только с ее аналитическим заданием в виде некоторой формулы. Как в пропедевтическом, так и в мотивационном плане кусочные функции подготавливают учащихся к восприятию понятия непрерывности.
Представления о математическом моделировании необходимо формировать у учеников постепенно и дифференцированно. При обучении математике на базовом уровне на примерах простых задач, возникающих в окружающей действительности, смежных дисциплинах, целесообразно раскрыть в общих чертах сущность данного метода. При этом сообщение трехэтапной схемы в явном виде не является обязательным. Важно направить мысль учеников в нужное русло. В разработанном элективном курсе для учащихся профильного информационно-технологического класса сущность математического моделирования описывается более детально. На лекционных занятиях рассматриваются следующие теоретические вопросы: моделирование как метод познания, схема процесса моделирования, формы представления моделей, понятие формализации, материальные и информационные модели, основные этапы разработки исследования на компьютере. Конечно, на практических занятиях уделено внимание работе с конкретными математическими моделями: уравнениями, неравенствами и их системами, графиками. Но основное время отведено на самостоятельную творческую работу учащихся над примерами математических моделей, применяемых в различных областях знаний с последующим общим обсуждением. Приведу пример плана такого занятия по теме:“ Дескриптивные модели”.
Оборудование:
- компьютер,
- мультимедийный проектор,
- настенные таблицы.
Цель занятия.
Рассмотреть примеры дескриптивных математических моделей, предназначенных для описания различных процессов, и проанализировать примененный в них математический аппарат.
Ход занятия
Вступительное слово учителя.
(Приложение. Слайд 1) Еще древние греки изучали связи математики с природой, стремясь найти во всех ее проявлениях порядок, гармонию и совершенство: начиная со строения человеческого тела и заканчивая движением небесных светил. Труды многих античных ученых только укрепляли веру людей в то, что в основе построения Вселенной лежат математические принципы и что именно законы математики - ключ к пониманию природы. Невозможно постичь тайны природы и оценить ее красоту, не понимая языка, на котором она говорит.
“Книга природы написана на языке математики”,- писал Г.Галилей. Это язык формул и фигур. Он универсален, ибо точен и лаконичен.
“Во всякой науке столько истины, сколько в ней математики”, - отмечал И.Кант. Если попытаться одной фразой ответить на вопрос: “Каким образом современная математика применяется к изучению физических, астрономических, биологических, экономических, гуманитарных и других явлений”, то ответ будет таким: “С помощью построения и анализа математических моделей”
Определение, принципы построения математических моделей мы рассмотрели на предыдущих занятиях. Цель сегодняшнего - рассмотреть примеры дескриптивных математических моделей, предназначенных для описания различных процессов.
Введение в занятие.
График – наиболее наглядный элемент математического моделирования.
Изобразите с помощью графика смысл следующих поговорок:
- Чем дальше в лес, тем больше дров.
- Выше меры конь не прыгнет
- Пересев хуже недосева (вековой опыт человечества свидетельствует, что урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посевов, дальше он снижается, т.к. при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга).
(Приложение. Слайды 2-4)
Учащиеся делают построения на пластиковых досках, затем их действия обсуждаются.
Заслушивание подготовленных учащимися сообщений о примерах дескриптивных моделей.
- Знакомство с примерами дескриптивных математических моделей логично начать с древнейшей науки- астрономии, сумевшей с помощью математики приоткрыть человеку некоторые тайны мироздания. Тема выступления Кудрявцева Ильи “Дескриптивные модели в астрономии.
- Архитектура - удивительная область человеческой деятельности. Архитектура триедина: она извечно сочетает в себе логику ученого, ремесло мастера и вдохновение художника. “Прочность – польза – красота”. Такова знаменитая формула единого архитектурного целого. Роль математики в формировании “ прочности” и “пользы” архитектуры очевидна. Именно геометрические модели составляют “подводную” часть архитектурного айсберга. Тема работы Соловьева Сергея “Золотое сечение в архитектуре”.
- Карпов Сергей выступит с сообщением о математических моделях в современной математике – фрактальной.
- Козлачкова Марина, Стафеевы Надя и Наташа познакомят с примерами математических моделей, применяемых в диагностической деятельности учителя.
Заключительное слово учителя.
Развитие математического аппарата и внедрение мощных современных компьютеров позволили математическому моделированию проникнуть сегодня практически во все области человеческой деятельности – в экономику, биологию, лингвистику и т.д. По мере усложнения объектов исследования роль математических моделей изучаемых явлений существенно возрастает. (Приложение. Слайд 6)
Итог занятия.
Свои пожелания всем присутствующим мне хочется сопроводить вот такой математической моделью (Приложение. Слайд 7) и словами:
Неугомонные года остановить не в вашей власти, так
Пусть же будет так всегда: чем больше лет, тем больше счастья.
Важным средством достижения прикладной и практической направленности обучения математике служит планомерное развитие у школьников навыков выполнения вычислений и измерений, построения и чтения графиков, составления и применения таблиц, пользования справочной литературой. Возможны различные пути формирования подобных навыков, в том числе путем изменения форм организации учебного процесса: внедрение практических и лабораторных работ, вычислительных практикумов с использованием компьютера.
Реализация принципа практической направленности обучения математике привела к усилению деятельностного компонента, повлияла на изменение типа и структуры урока. Осуществляется интеграция с другими предметами. Разработаны интегрированные уроки с географией, физикой, экономикой, информатикой. Широко применяются ИК-технологии. На их основе организуется проектно-исследовательская деятельность лицеистов. Результаты этой деятельности представляются на организованных в лицее выставках, научно-практических конференциях. Наиболее интересный опыт был представлен на Всероссийском фестивале исследовательских и творческих работ учащихся “Портфолио” (“Элементы фрактальной геометрии”, “История Коломны в задачах для школьников 5-6 классов”, “Геометрические прогулки по Коломне” и др.). Учащимся предлагаются задания, связанные с историей математических открытий и их ролью в развитии конкретной науки, отрасли, дисциплины (например, древние задачи земледелия, астрономии, архитектуры и т. д.), что дает возможность не только пробуждать интерес школьников к математике, но и формировать научное мировоззрение, совершенствовать параметры индивидуального стиля учебной деятельности ученика.
Таким образом реализация прикладного аспекта в преподавании математики способствует решению одной из главных задач современного образования - его индивидуализации, а также развивает исследовательские навыки учащихся, расширяет возможности их социализации через овладение ИКТ, что должно привести к планомерному развитию универсальных ключевых компетентностей, позволяющих выпускнику современной профильной школы адаптироваться в меняющихся жизненных ситуациях.
Литература.
- Бутузов В. Ф., Колягин Ю.М. и др. Математика. Учебник для экономистов. - М.: Сантакс-Пресс, 1996.
- Коршунова Н.И., Плясунов В.С.Математика в экономике:- М.: Вита-Пресс, 1996.
- Симонов А.С. О математических моделях экономики в школьном курсе математики// Математика в школе, 1997, №5
- Симонов А. С, Экономические задачи на уроках математики// Математика. Приложение к газете “ Первое сентября” , 1997, № 4,5, 6.
- Симонов А.С. Экономика на уроках математики. - М.: Школа-Пресс, 1999
- Горстко А. Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. - М.: Знание, 1991
- Шестаков С.А. О школьном математическом образовании и образовании вообще //Математика, 2003, №36
- Денищева Л.О. , Глазков Ю.А., Краснянская К.А. Проверка компетентности выпускников средней школы при оценке образовательных достижений по математике // Математика в школе, 2008, №6.