Программа элективного курса по математике для учащихся 9-го класса. Тема: "Решение задач повышенной сложности"

«Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности», - писал известный методист и математик Д. Пойа.

Общепризнанно, что решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из основных средств развития мышления школьников и интереса к предмету. От эффективности использования различных задач в обучении математики в значительной мере зависит не только качество обучения, воспитания и развития учащихся школы, но и степень их практической подготовленности к профессиональной деятельности в любой сфере.

Данный элективный курс разработан с целью предпрофильной подготовки учащихся девятого класса к осознанному выбору дальнейшего профиля обучения. Его программа рассчитана на 17 часов.

Основными задачами курса являются:

1. демонстрация красоты математических задач;
2. развитие интереса школьников к математической деятельности;
3. поддержка изучения базового курса предмета и установление преемственности между базовым и элективным курсами;
4. создание условий для развития интеллектуальных и творческих способностей учащихся, для формирования их исследовательских умений.

Курс построен таким образом, что, с одной стороны, все предложенные темы не зависят друг от друга и могут изучаться в любой последовательности, с другой стороны, их можно рассматривать как дополнение к главам «Квадратичная функция» и «Уравнения и системы уравнений» базового курса алгебры девятого класса, что позволяет учащимся изучить обязательный материал на повышенном уровне.

Тема «Графики функций и зависимостей, содержащих знак модуля» выбрана потому, что среди задач повышенной трудности, рассматриваемых при изучении курса алгебры, значительное место занимают задачи на построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля, вызывающие у школьников затруднения. Кроме того, учащиеся имеют возможность рассмотреть элементарные свойства функций с «модулем», преобразования их графиков, познакомиться с зависимостями, не являющимися функциональными, увидеть эстетическую сторону данного вида деятельности.

Тема «Многочлен от одной переменной» выступает как обобщение материала курса алгебры 9 класса по теме «Квадратный трехчлен» и знакомит учеников с теоретическим материалом, дающим возможность решать задачи повышенной сложности с многочленами от одной переменной.

Тема «Задачи с параметрами» позволяет изучить условия расположения корней квадратного трехчлена для решения особо трудных для учащихся задач с параметрами, познакомиться с заданиями исследовательского характера.

При изучении темы «Уравнения, решаемые с помощью замены переменных» ученики знакомятся с видами алгебраических уравнений, решение которых зависит от правильно выбранной замены переменных. Данный материал дополняет тему базового курса «Уравнения с одной переменной».

Методические рекомендации

Отвечая вышеизложенным целям и задачам, данный курс призывает учащихся решать задачи повышенной сложности, т.е. задачи, алгоритм решения которых им еще неизвестен, и на какой учебный материал им опираться тоже неизвестно. Как же помочь учащимся решать такие задачи?

Универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу, к сожалению, нет, так как нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы. Однако опыт передовых учителей, позволяет сформулировать некоторые методические приемы обучения учащихся способам решения задач повышенной сложности.

Прежде всего, научить решать задачи (в том числе и сложные) можно только в том случае, если у учащихся будет желание их решать, т.е. если задачи будут содержательными и интересными с точки зрения ученика. Бесспорно, наибольший интерес вызывают у учащихся задачи, взятые из окружающей жизни, задачи, естественным образом связанные со знакомыми учащимся вещами, опытом, служащие понятной ученику цели.

А если задача не вызывает особого интереса? Учитель, желающий научить школьников решать задачи, должен вызвать у них интерес к задаче, убедить, что от решения математической задачи можно получить такое же удовольствие, как от разгадывания кроссворда или ребуса.

Далее, задачи не должны быть слишком легкими, но и не должны быть слишком трудными, так как учащиеся, не решив задачу или не разобравшись в решении, предложенном учителем, могут потерять веру в свои силы.

Как эффективным образом направить усилия ученика, затрудняющегося самостоятельно начать или продолжить решение задачи? Прежде всего, не следует идти по самому легкому пути – познакомить ученика с готовым решением. Не следует и подсказывать, к какому разделу школьного курса математики относится предложенная задача, какие известные учащимся свойства и теоремы нужно применить при решении.

Решение задачи повышенной сложности – очень сложный процесс, для успешного осуществления которого учащийся должен уметь думать, догадываться. Необходимо также хорошее знание фактического материала, владение общими подходами к решению задач.

В процессе решения каждой задачи целесообразно четко различать четыре ступени:

1. изучение условия задачи;
2. поиск плана решения и его составление;
3. осуществление плана, т.е. оформление найденного решения;
4. изучение полученного решения – критический анализ результата решения и отбор полезной информации.

Наблюдения показывают, что даже при решении несложной задачи учащиеся очень много времени тратят на рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задач, учитель должен уметь поставить себя на место решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений, направить его усилия в наиболее естественное русло. Умелая помощь ученику, оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы, позволит учащемуся развить математические способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь к решению новых задач. Иногда умело поставленные наводящие вопросы, вспомогательная задача помогут учащемуся понять идею решения, и, в конце концов, испытать радость от решения трудной для него задачи.

Для приобретения навыков решения довольно сложных задач следует приучать школьников больше внимания уделять изучению полученного решения. Для этого весьма полезно предлагать учащимся видоизменять условие задачи, чтобы закрепить способ ее решения, придумывать задачи, аналогичные решенным, более или менее трудные, с использованием найденного при решении основной задачи способа решения.

Необходимо помнить, что решение задач является не самоцелью, а средством обучения. Обсуждение найденного решения, поиск других способов решения, закрепление в памяти тех приемов, которые были использованы, выявление условий возможности применения этих приемов, обобщение данной задачи – все это дает возможность школьникам учиться на задаче. Именно через задачи можно узнать и глубоко усвоить новые математические факты, овладеть новыми математическими методами, накопить определенный опыт, сформировать умения самостоятельно и творчески применять полученные знания.

Вся совокупность изложенных рекомендаций имеет целью облегчить поиски того пути, который приведет к решению задачи, уменьшив число бесплодных блужданий, неизбежных для каждого учащегося, опыт которого в решении задач невелик.

Методы деятельности учителя направлены на подготовку и организацию лекций и практических занятий, руководство самостоятельной исследовательской деятельностью учащихся, т.е. им выбираются как объяснительные, так и эвристические (проблемные и поисково-исследовательские) методы на основе личностно ориентированного подхода к обучению.

Формы контроля

Это могут быть самостоятельные или контрольные работы, тесты, исследовательские задания (по желанию); проведение дифференцированного зачета. При итоговой аттестации по результатам изучения курса целесообразно использовать рейтинговую систему – когда каждому самостоятельно выполненному заданию присваивается определенная сумма баллов и устанавливается соответствие между набираемыми баллами и общепринятыми оценками. Рейтинговая оценка способствует усилению мотивации обучения и развитию навыков осознанной самостоятельной деятельности не только на аудиторных занятиях, но и во внеурочное время, заносится в «портфолио» ученика, которое играет определенную роль при выборе профиля обучения.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

(17 ЧАСОВ)

1. Графики функций и зависимостей, содержащих знак модуля, 4 ч.
вида: у = f (| х |), y = | f (x) | , | y | = f (x), а также их комбинаций.
Рациональные способы их построения.
Исследование свойств функций с «модулем».

2. Многочлен от одной переменной. 4 ч.
Деление многочлена на многочлен.
Теорема Безу. Корни многочлена от одной переменной.

3. Задачи с параметрами. 5 ч.
Условия расположения корней квадратного трехчлена.

4. Уравнения, решаемые с помощью замены переменных. 4 ч.
Уравнения, сводящиеся к биквадратному.
Уравнения вида ( х + а )( х + в )( х + с)( х + d ) = m,
если а + в = с + d .
Возвратные уравнения. 

Учебно-тематический план

ЛИТЕРАТУРА для учащихся

1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.; под редакцией Теляковского С.А. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2003
2. Галицкий М.Л., Гольман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1994
3. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н. и др. Алгебра для 8 класса с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1995
4. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н. и др. Алгебра для 9 класса с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1995

Литература для учителя 

1. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов: Книга для учителя.- М.: Просвещение, 1991
2. Пойа Д. Как решать задачу. – М.: Просвещение, 1961
3. Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Просвещение, 1961
4. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. – М.: Просвещение, 1989
5. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи.– М.: Просвещение, 1980
6. Клейменов В.А. Математика. Решение задач повышенной сложности. – М.: «Интеллект-Центр», 2004
7. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998
8. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С. Алгебра и математический анализ для 10 класса с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1995
9. Нелин Е.П., Швец В.А. и др. Алгебра и начала анализа (дополнительные вопросы) для 10 класса с углубленным изучением математики. Под редакцией Нелина Е.П., 1995