Длительность урока 40 мин. Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала они могут переходить в следующую по уровню подготовки группу.
Цель урока:
Обобщить теоретические знания по темам “Показательная функция, свойства показательной функции” и “Решение показательных уравнений”, рассмотреть методы решения показательных уравнений базового и повышенного уровня сложности. Организовать работу учащихся по указанным темам на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.
Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал.
1 этап урока – организационный (1 минута)
Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.
2 этап урока (5 минут)
– фронтальный опрос.Повторение теоретического материала по теме “Показательная функция и ее свойства”.
? Учитель обращается к учащимся с вопросом: “Какую функцию называют показательной?”
(Учащиеся дают свои варианты определений; важно, чтобы прозвучало определение “Функцию вида у = ах, где а > 0, a ? 1 называется показательной функцией с основанием а”.)
? Учитель: “Какими основными свойствами обладает показательная функция?”
(Учащиеся указывают область определения функции, множество значений функции, характер монотонности в зависимости от значения параметра а, точку пересечения графика функции с осью ординат.)
Должны прозвучать ответы:
– Область определения функции – множество R действительных чисел;
– Множество значений функции – множество R+ всех положительных действительных чисел;
– Если а > 1, то функция возрастает на всей числовой прямой; если 0 < а < 1, то функция убывает на всей числовой прямой (на множестве R);
– График функции пересекает ось ординат в точке (0; 1), пересечения с осью абсцисс нет.
Учитель демонстрирует графики функций, обращая внимание на то, как определить значение параметра а относительно 1 и значения функции при х = а.
(Используя интерактивную доску (или виде слайдов), проектируются слайды, на которых изображены графики функций:
1) у = ах, при а > 1
2) у = ах, при 0 < а < 1).
? Учитель: “Какие виды преобразования графиков вы знаете и как определить смещение точек вдоль осей координат?”
(На доске изображены графики функций: 1) у = 3–х; 2) у = 3 – х +1; 3) у = 3 х + 1;
учащиеся отвечают на вопросы, важно услышать:
– для построения графика функции f (x) + b , где b – постоянное число, надо перенести график функции f(x) на вектор (0; b) вдоль оси ординат.
– для построения графика функции f (x + a), где a – постоянное число, надо перенести график функции f (x) на вектор (– а; 0) вдоль оси абсцисс.)
Ответы учащихся иллюстрируются на доске (слайды или анимации, учитель показывает вектор смещения, используя интерактивную доску).
3 этап урока (5–7 мин)
Устная работа по решению простейших задач на тему “Показательная функция, ее свойства”.
(Задания можно предложить с использованием интерактивной доски, слайдов презентации или раздаточного материала.)
Учитель предлагает учащимся применить только, что сформулированные теоретические факты к решению задач.
1. На одном из рисунков изображен эскиз график
функции 
.
Укажите этот рисунок.
(Изображены графики функций: 1) y = 3x; 2) 
; 3) y = 
; 4) y = log3
x)
(Ответ № 2)
2. Укажите область значений функции 
.
1) (2; + 
); 2) (5; + 
); 3) (- ; + ); 4) (3; + )
(Ответ № 4)
3. На одном из рисунков изображен эскиз график
функции 
.
Укажите этот рисунок.
(Изображены графики: 1) у = 2 х – 1; 2) у = 2 – х +1; 3) у = 2 – х + 1; 4) у = 2 х + 1).
(Ответ № 4)
4. Для каждого из рисунков (см. задание 3) укажите функцию.
(Ответы: 1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
).
5. Укажите характер монотонности функций:
а) у = 5х; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
(Ответы: 1) монотонно возрастающая; 2) монотонно убывающая; 3) монотонно возрастающая; 4) монотонно убывающая; 5) монотонно убывающая).
(Учащиеся по очереди отвечают на сформулированные вопросы, обосновывая свой ответ, при этом ссылаясь на теоретический материал, учитель вносит коррективы при необходимости.)
4 этап урока (7 – 8 мин)
Повторение теоретического материала по теме “Равносильные уравнения. Решение показательных уравнений”.
С учетом подготовки учащихся возникла необходимость повторения теоретического материала. Фронтальный опрос проводился по следующим вопросам:
– какие уравнения называются равносильными?
– что можно сказать о корнях равносильных уравнений?
– что называют областью допустимых значений уравнения f(x) = g(x)?
– какие способы решения уравнений вы знаете?
(Должны прозвучать ответы:
1) два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.
2) корни равносильных уравнений совпадают.
3) областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения f(x) = g(x) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x).
4) графический метод и аналитический: вынесение общего множителя за скобки, введение новой переменной, сведение к простейшему путем тождественных преобразований.
Каждый ответ сопровождается примером учащегося, учитель следит за соответствием ответа и примера.)
? Учитель: “Когда возникает необходимость в проверке полученных корней уравнения?”
(Должен прозвучать ответ: если при решении уравнения, мы на каком-то шаге выполняем преобразования без учета ОДЗ (вводим новую переменную, возводим в квадрат или четную степень, освобождаемся от знаменателя (умножаем на общий знаменатель), сокращаем на общий множитель.)
? Учитель: “Какое уравнение называется простейшим показательным уравнением?”
Ответ: Простейшим показательным уравнением называют уравнение вида
ах = b, где a > 0, a 
1.
? Учитель: “Что вы можете сказать о корнях этого уравнения?”
Ответ: Уравнение имеет единственное решение
при b > 0, при b 
0
уравнение корней не имеет.
? Учитель: “Как найти корень уравнения?”
Ответ: х = log ab. Если же b = ac, то х = с.
Учитель предлагает учащимся привести
примеры простейших показательных уравнений и
записать их решение. Это могут быть примеры типа:
3 х = 5; 
; 2 х
= 2; 
, важно,
чтобы примеры были с целыми и дробными
основаниям; равные 1 (вспомнить а0 = 1) и чтобы
b нельзя было представить в виде степени с
основанием а. Учащиеся комментируют свои
решения.
Учитель приглашает одного из учащихся (более
подготовленного) к доске для решения уравнения: 
, класс
записывает в тетрадь решение.
Ответ: х = 1.
? Учитель: “Нужно ли делать проверку?”
Ответ: Нет, так как при решении был совершен равносильный переход.
Задание классу: решить уравнение 9х – 8•3х – 9 = 0.
(Предварительно обсудив алгоритм его решения:
- ввести новую переменную, учесть ОДЗ для введенной переменной (с учетом свойств показательной функции);
- решить квадратное уравнение,
- сделать обратную замену
- выписать ответ.)
Решение проверяется по заранее записанному решению на доске: это может быть затемненный экран интерактивной доски или слайд в презентации, или решение за закрытой доской в зависимости от возможностей кабинета.
Ответ: 2.
Учитель обращает внимание учащихся, что в
основании показательной функции может стоять
функция и тогда уравнение приобретает вид: 
, которое
равносильно совокупности систем (предлагается
записать сильному учащемуся на доске):
5 этап урока (15 минут)
Разноуровневая самостоятельная работа.
Учитель выдает задания для самостоятельной работы (лежат на столе учащихся), сообщая, что на ее выполнение отводится 15 минут. Работа в четырех уровнях, не менее трех вариантов для каждого уровня.
- 1-й уровень – учащиеся со слабой математической подготовкой (0–5 баллов при выполнении диагностической работы из 12 возможных),
- 2-й уровень – учащиеся с недостаточной математической подготовкой (6–8 баллов при выполнении диагностической работы),
- 3-й уровень – учащиеся с хорошей математической подготовкой (9–11 баллов при выполнении диагностической работы)
- 4-й уровень – учащиеся с высокой математической подготовкой (12 баллов).
Задания 1 уровня.
Задания аналогичные тем, по которым у них уже были успехи и задания, которые разбирались на уроке. Все задания базового уровня сложности. Правильные ответы отмечены *. Можно предложить следующие задания.
1. Вычислите: 
.
1) 
; 2) 30; 3) 10; 4)*
15.
2. Упростите выражение 
.
1) 4m4; 2) 
;
3)* 
: 4) 4m.
3. Какое из следующих чисел не входит
в множество значений функции 
.
1) 1,5; 2) 2; 3) 
; 4)*
0.
4. На одном из рисунков изображен график
функции .
Укажите этот рисунок.
(Изображены графики функций: 1) у = 
; 2) у = 2 х – 1; 3) 
; 4) )
Ответ: 4.
5. Решите уравнение: 
.
Ответ: 1,75.
6. Решите уравнение: 16 • 3х – 3х = 15.
Ответ: 0.
Задания 2 уровня .
Задания базового уровня сложности, но среди них есть задания, которые не разбирались на уроке, одно задание повышенного уровня сложности, которое разбиралось на уроке.
1. Вычислите: 
.
1) 7,25;
2) 7,1;
3)* 7,01;
4) 9,5.
2. Укажите область определения функции 
.
| 1) |  |
3) |  |
| 2)* |  |
4) |  |
3. График какой функции изображен на рисунке?.
|
Рис. 1
1) 
2) 
; 3) 
; 4) 
Ответ: 4.
4. Укажите наименьшее целое значение
функции 
.
1) – 1; 2) 0; 3)* 1; 4) 
.
5. Решите уравнение 
.
Ответ: 0,5.
Задания 3 уровня сложности.
Учащимся 3 группы были даны задания из книги “Тестовые задания по алгебре и началам анализа” Е.А. Семенко с вложенными бланками для ответов и номерами варианта, который должен выполнять каждый учащийся (6 вариантов по теме “Показательные уравнения” с. 98), 2 учащийся решают свои задания на доске, для последующей проверки./ Можно предложить задания с полной записью решения.
Решить уравнения:
а) 2 2х + 1 = 4;
б) 
;
в) (7 3-х) 3 = 49;
г) (2 х)2 • 2 – 3 = 2 5х;
д) 625 . 25 х = 
;
е) 
.
Задания 4 уровня сложности.
(Задания выполняются в тетрадях, с последующими комментариями учителя; уровень подготовки класса не позволяет обсуждать это решение со всеми, т. к. в классе большинство учащихся имеют слабую математическую подготовку и для них полезнее обсуждение заданий 3 уровня). В своих работах учащиеся этой группы должны были предоставить краткий ответ на первое задание и развернутое решение второго.
Вариант 1
Найдите решение уравнения 
, принадлежащее области
определения функции 
.
Ответ: – 1.
Решите уравнение 
.
Ответ: – 1.
Вариант 2
1. Решите уравнение 
.
Ответ: 0.
2. Решите уравнение 
.
Ответ: 3.
Во время выполнения работы учитель, при необходимости, помогает учащимся 1 группы выполнять задания наводящими вопросами и контролирует решение задач на доске.
По истечении времени учащиеся сдают работы.
6 этап урока (5 минут)
Обсуждение решений записанных на доске.
На доске учащиеся решали две задачи (голубая карточка), это задачи из “Тестовых заданий по алгебре и началам анализа” Е.А. Семенко. Учащиеся, выполнявшие задания на доске, комментируют решения, отвечают на вопросы одноклассников, а остальные вносят, при необходимости, коррективы.
7 этап урока (2 минуты)
Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.
Учитель еще раз обращает внимание на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет оценки за работу на уроке.
Домашнее задание: обменяться вариантами
заданий в группах и решить их; учащимся более
подготовленным предлагается еще решить
уравнение 
.
Ответ: 9.