Проект по геометрии

Основополагающий вопрос: В чём состоит феномен Ленты Мёбиуса?

Цель:

1. Изучить разнообразные свойства Ленты Мёбиуса, найти, где используются её свойства.

2. Развивать познавательные навыки учащихся: умение самостоятельно конструировать свои знания, ориентироваться в информационном пространстве.

3. Развивать критическое и творческое мышление, умение увидеть, сформулировать и решить проблему.

1. Откуда лента получила такое название?

2. Каковы её свойства, что так волнуют человечество?

3. Почему космический корабль может вернуться к месту старта?

4. Что такое топология?

5. Какова связь между лентой Мёбиуса и жизнью человека?

1. Провести социологический опрос учащихся 10-11-х классов и взрослых (учителей, родителей).

2. Изучить историю возникновения ЛМ, её топологические свойства.

3. Рассмотреть теорию относительности Эйнштейна о Вселенной.

4. Найти сведения применения ЛМ в различных сферах деятельности человека.

5. Составить кроссворд.

6. Составить тест для проверки полученных знаний.

1. Что такое топология?

2. История возникновения ЛМ.

3. Где применяются свойства ЛМ?

1. Результаты соц. опроса учеников и взрослых помещается в бюллетень.

2. Проведение эксперимента на игре «Путешествие по ЛМ».

3. Презентация докладов (на этой же игре в форме ролевой игры по станциям).

4. Информационный бюллетень с развёрнутыми ответами «Лента Мёбиуса. Вариации на старую тему». (Готовится к игре группой учащихся). (Приложение 1).

5. Буклет «Чем знаменита Лента Мёбиуса?». (Выдаётся всем желающим на данной игре). (Приложение 2).

6. Кроссворд помещается в бюллетень. (Приложение 3). Учащиеся, успешно разгадавшие кроссворд, отмечаются на игре призами.

7. Тест проводится в конце игры. (Приложение 4).

Оформление: портреты

• А.Ф.Мёбиуса,

• Иоганна Бенедикта Листинга,

• К.Гаусса,

• Эйнштейна.

Лентой Мёбиуса закручен путь
В какую сторону не иди…
Обязательно увидишь ещё того,
Кого однажды встретил на пути…
Если нужно кого-то догнать,
Не трать сил, времени на ускорение…
Лучше просто подождать или
Двинуться в обратном направлении…

План путешествия по ленте. (Презентация слайд 1).

В подготовке проекта приняли участие учащиеся 11-б класса. (Приложение 5).

Ход занятия

1-ый ведущий: В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений. Мы рассмотрим применение Ленты Мёбиуса в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Уже сейчас ЛМ находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов, магнитофонные ленты и т. д.. Свойства ленты рассмотрим на наглядных примерах.

Взгляд на лихой вид бантика однажды
Вдруг откровение родил в муже отважном,
Заставив его к миру обратиться
И тут во всех законах усомниться.

Вот Лента Мёбиуса вьётся предо мной –
Пришёл момент открыть ей свой
О том, что вечность там таится,
Где не посмела даже и присниться.

Окружность с перекрученной стезёй,
Она скрывает тайну вечности порой.
Вселенную создал Творец по этой схеме,
А мы так глубоко забраться не посмели!
Иду я по ступенькам лестницы отвесной
Постигаю ленты смысл чудесный.

Историческая

1-ый ученик: Август Фердинанд Мёбиус (17.11.1790 – 26.09.1868), немецкий геометр и астроном, профессор Лейпцигского университета. Родился в Шульпфорте. Некоторое время под руководством К.Гаусса изучал астрономию. С 1816 года начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 году стал её директором, а позже – профессором Лейпцигского университета.

2-ой ученик: В научных источниках говорится, что Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул один её конец на пол-оборота (то есть на 180^о), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли научного интереса ради – теперь уже неизвестно. Зато доподлинно известно, что именно так и появилась ещё в прошлом веке знаменитая лента Мёбиуса.

1-ый ученик: Что такое «Лента Мёбиуса»?

2-ой ученик: Она относится к числу «математических неожиданностей». В 1858 г. Мёбиус в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты.

1-ый ученик: Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус – в 1862 г. Открыть свой «лист» Мёбиуса помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.

2-ой ученик: Также известны труды Мёбиуса и по проектной геометрии. В частности, он впервые ввёл систему координат и аналитические методы исследования, установил существование односторонних поверхностей(листов Мёбиуса), многогранников, для которых неприменим «закон рёбер» и которые не имеют объёма. Мёбиус – один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии, теории векторов и многомерной геометрии. Получил важные результаты в теории чисел (функция Мёбиуса).

Практическая

Чем знаменита Лента Мёбиуса?

• формировать умения обрабатывать и обобщать полученную в результате проведения опытов и экспериментов информацию;
• развивать любознательность, интерес к математике.

Оборудование:

• бумага,
• клей,
• ножницы.

1-ый ведущий: Послушай, что бы ты сказал, если бы тебе изготовили рубашку без изнанки?

2-ой ведущий: Значит, её можно было бы надевать с двух сторон? Это было бы здорово.

1-ый ведущий: Нет, тут дело такое: рубашка с одной стороны.

2-ой ведущий: Не морочь мне голову. Таких рубашек не бывает.

1-ый ведущий: Конечно, я пошутил. Но, вообще, такую поверхность можно сконструировать.

2-ой ведущий: А как это можно сделать?

1-ый ведущий: Вот, смотри (берёт длинную прямоугольную полоску и склеивает лист Мёбиуса). Я ставлю жирную точку на одной стороне этой ленты и веду фломастером вправо.

2-ой ведущий: Стой! Давай предложим это сделать ребятам.

Далее ведущие раздают участникам бумажные ленты и листы, каждый из которых разделён на три столбца: вопрос, гипотеза, эксперимент. Второй и третий столбцы учащиеся будут заполнять сами. В первом столбце записаны вопросы к учащимся (Презентация, слайд 2).

1-ый ведущий: А сейчас давайте склеим ЛМ. (Ведущие помогают участникам склеить ЛМ).

2-ой ведущий: Ну что ж, лента готова. Может, сначала предположим, что может получиться, если ленту разрезать вдоль посередине; на расстоянии 1/3 её ширины от края; закрасить ленту; перекрутить дважды? Сможет ли паук добраться до мухи, не переходя через край ленты, если они находятся на разных её сторонах? (Участники заполняют второй столбец «Гипотеза»). После того, как все ученики заполнили столбец гипотез, им предлагается провести соответствующий эксперимент и снова дать ответы на вопросы, заполнив третий столбец таблицы.

1-ый ведущий: Мы видим, что с заданием все справились. Проверим правильность выполнения самостоятельной работы. (Презентация, слайд 3).

2-ой ведущий: Сколько ответов из колонки гипотез совпало с ответами из колонки эксперимента?

1-ый ведущий: Каким удивительным свойством обладает лента Мёбиуса? (поверхность односторонняя).

2-ой ведущий: Какие эксперименты подтверждают это свойство? (закрашивание листа).

1-ый ведущий: Можно, конечно, провести ещё немало опытов с перекручиванием ленты на 3, 4 оборота с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, на расстоянии 1/3 её ширины от края. Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам. Недаром говорят: «Просто, как всё гениальное».

2-ой ведущий: Вот такие интересные метаморфозы таит в себе лента Мёбиуса. Вы можете показать друзьям эти явления, выдавая их за фокусы, тогда как на самом деле вы просто продемонстрируете им математические законы.

1-ый ведущий: Свойства таких поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики – топология. Это название ей дал Иоганн Листинг.

Топологические свойства ленты Мёбиуса.

Цель: Рассмотреть топологические свойства ЛМ; подобные объекты.

Развивать познавательный интерес учащихся.

(В форме презентации, слайды 4 – 10).

Наука и техника.

Цель: Показать практическое применение ЛМ.

(В форме презентации, слайды11 – 15).

Награждение учащихся, верно разгадавших кроссворд.

Тест (рефлексия). (Приложение 3).

(Тест составлен учителем математики Перетягиной Т.М.).

Заключение (стихотворение).  (Презентация, слайды 16-20).

1. Геометрия: учеб. для 11 кл. школ с углубл. изучением математики / А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». – М.: Просвещение, 2006.
2. Журнал. Математика в школе № 3 / 2007 г. Лист Мёбиуса. С.31. Н.Никифорова, А.Устинов.
3. Математика. 9-11 классы: Проектная деятельность учащихся / авт.-сост. М.В.Величко. – Волгоград: Учитель, 2007.
4. INTEL. Обучение для будущего: при поддержке Microsoft.2003 Intel Corporation.
5. file: // D \ материалы%20 из%20интернета\ Лист%20Мёбиуса%20 - %20Википедия.
6. Материал из свободной энциклопедии %20Википедия: «Бутылка Клейна»; «Искусство и технология»; «Открытые проблемы»; «Подобные объекты»; «Геометрия и топология».