Игры с вероятностями

В связи с введением в 2004 учебном году в школьную программу элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики, передо мной встала задача: как, познакомив учащихся с теорией по этим темам, дать им возможность почувствовать, как вероятность проявляется, как она “работает”. Все понимают, что в жизни следует поступать так, чтобы шансы были наибольшими, хотя это и не даст полной гарантии успеха.Чтобы почувствовать вероятность и оценить шансы, лучше всего с вероятностями поиграть.

Приложение 1

Игра 1. Минное поле (к изучению геометрических вероятностей).

Играют в нее вдвоем. Каждый рисует на двух листочках по квадрату со стороной в 10 клеток. Под одним квадратом подписывает: “Минирую”, а под другим – “Перехожу”. Каждый игрок втайне от другого минирует соответствующий квадрат одной точкой, которую он ставит в любом месте квадрата. Потом берется заранее заготовленный след (площадь его примерно две клетки), вырезанный из картона, и изображает три следа на квадрате “Перехожу”. Шаги можно делать как угодно, важно, чтобы они полностью уместились в квадрате. Далее игроки открывают друг другу квадраты и смотрят, кто кого подорвал. Если точка-мина легла в след противника, значит, тот подорвался. Это легко проверяется на просвет – наложением одного квадрата на другой или, если квадрат “Минирую” изготовлен отдельно на кальке или полиэтилене.

<Рисунок 1>

Подсчитаем вероятность события А - подорваться. S_кв.=100(клеток), s_сл.=2(клетки)

Итак, 3 шанса из 50 подорваться, и 47 шансов из 50 пройти благополучно по минному полю. Пошел бы ты через такое поле? Подведем общий результат по количеству “взрывов” в классе, сделаем вывод, что относительная частота события – подорваться меньше, как и теоретически рассчитанная вероятность того же события.

Прежде, чем мы познакомимся со следующей игрой, поговорим об играх справедливых и несправедливых.

Справедливая игра – это та игра, при которой в начале игры участники имеют равные шансы на выигрыш, то есть вероятности сделать ход у каждого игрока равны.

Несправедливая игра – это та, в которой у игроков неравные шансы на выигрыш.

Игра 2. Морской бой (к изучению геометрических вероятностей).

Как и в предыдущей игре, у каждого из двух игроков есть два одинаковых по размерам бумажных квадрата. Пусть сторона каждого квадрата составляет 10 клеток. Игрок 1 на квадрате “Мои корабли” штрихует (занимает кораблями) 10 клеток, а игрок 2 штрихует на своем квадрате 20 клеток. Игрок 1 на квадрате “Мои цели” ставит точки в центре 30 клеток, которые он выбирает совершенно произвольно. Свои 30 точек ставит на своем квадрате “Мои цели” и игрок 2.

< Рисунок 2>.

Далее накладываем на просвет квадрат “Мои цели” 1-го игрока на квадрат “Мои корабли” 2-го игрока и подсчитываем число попаданий в корабли; обозначим это число через n₁. Соответственно накладываем на просвет квадрат “Мои цели” 2-го игрока на квадрат “Мои корабли” 1-го игрока и тоже подсчитываем число попаданий – n₂. Можно убедиться по результатам, что n₁ приблизительно в 2 раза больше, чем n₂ (легко сообразить, что вероятность попасть в корабли 2-го игрока в 2 раза больше вероятности попасть в корабли 1-го игрока, так как корабли 2-го игрока занимают в 2 раза больше клеток). Является ли данная игра справедливой для 2-го игрока? Как сделать ее справедливой?

Игра 3. Два варианта игры “Пристеночники против оконников” (к изучению классической вероятности).

Необычное название игры возникло из-за того, что из двух соседей по парте один сидит ближе к окну (он – оконник), а другой ближе к стене, где нет окон (он – пристеночник). В игру играют двое – оконник и пристеночник.

1 вариант игры: с монетками.

Два игрока имеют по фишке, которую они передвигают по дорожке после каждого результативного хода. Например, оконник продвигается вперед на одну клеточку, если после броска двух монет, выпадет одна решка, а пристеночник , если выпадут две решки. Если решка не выпадет, оба игрока остаются на месте. Выигрывает тот, кто первым достигнет финиша.

Пройдя по дорожке несколько раз, ученики убеждаются, что за большинством столов выигрывает пристеночник. А дальше, уже вместе с учителем разбираются, почему это произошло. Для броска двух монет: N=4, из них одна решка выпадает в двух исходах: РО, ОР. Вероятность сделать ход пристеночнику . Две решки выпадут только при одном исходе из четырех: РР. Вероятность сделать ход оконнику , она в 2 раза меньше. Изначально игра была несправедливой. Как следует изменить правила игры, чтобы она стала справедливой? Варианты:

1. изменить правила игры: оконник делает ход, если стороны монет разные Р=0,5;пристеночник, если стороны монет одинаковые Р=0,5.
2. изменить длину пути: тот, у кого вероятность выиграть при каждом броске в 2 раза больше, должен пройти до финиша вдвое более длинный путь.
3. изменить число шагов: оконник делает каждый раз ход на 2 клетки вперед, а пристеночник - на одну клетку по дорожке.

2 вариант игры: с игральными кубиками.

Оба игрока бросают одновременно по кубику, и всякий раз подсчитывают сумму выпавших очков. Сумма очков может быть от двух до двенадцати. Условимся, что при выпадении сумм, равных 5,6,7,8,9 ход выигрывает оконник, а при выпадении 2,3, 4,10,11,12 выигрыш хода за пристеночником.

Оба игрока имеют по фишке, которую они передвигают по дорожке после каждого результативного хода. Выигрывает тот, кто первым достигнет финиша. Пройдя по дорожке несколько раз, ученики убеждаются, что за большинством столов выигрывает оконник. А дальше, уже вместе с учителем разбираются, почему это произошло.

Для этого составляется, вместе с учениками, таблица распределения сумм очков на двух кубиках и подсчитывается вероятность выпадения каждой суммы. n=6*6=36 – общее число равновозможных исходов

Найдем вероятности сделать ход для каждого игрока:

Р(ок.)= ++++==; Р(пр.)= +++++==

Вероятность сделать ход у оконника в 2 раза больше, поэтому игра справедливой не является. Вероятность хода для каждого игрока можно подсчитать и без применения теоремы сложения вероятностей несовместных событий, а по формуле классической вероятности: m(ок.)=4+5+6+5+4=24, m(пр.)=1+2+3+3+2+1=12. Как сделать ее справедливой? Используя таблицу распределения суммы очков на двух кубиках, учащиеся придумывают новые правила игры. Например, оконник делает ход при выпадении 2,3,4,5,6 и 10, а пристеночник при выпадении 7,8,9,11 и 12, тогда вероятность сделать ход у каждого игрока будет равна 0,5.

Игра 4. Игра-угадайка “Одинаковые или разные?” (к изучению классической вероятности).

Берутся три монетки на каждого ученика и бросаются им одновременно. Предлагается угадать число одинаковых сторон, которые при этом выпадут. Какие исходы возможны?

• 1 исход: все три стороны будут одинаковы;
• 2 исход: две стороны одинаковы, третья от них отличается.

Эти два исхода равновероятны? На что вы поставите?

Сначала каждый учащийся выдвигает гипотезу, выбирая один из исходов, а затем она проверяется практически и теоретически.

1.Практическая часть: каждый ученик выполняет 30 бросков трех монеток. При этом в 10 бросках каждый предлагает соседу угадать, какой из исходов наступит. Результаты заносятся в таблицу, которая состоит из двух столбцов: в первом фиксируются исходы с тремя одинаковыми сторонами, общее количество обозначим n₁, во втором – с двумя одинаковыми сторонами, общее количество обозначим n₂. Общее число исходов: N=30. По окончании эксперимента каждый ученик подсчитывает относительную частоту каждого из исходов по формулам: ; . Нетрудно убедиться, что , так как n₁<n₂.

2.Теоретическая часть: Для расчета вероятности каждого из исходов по формуле классической вероятности, можно использовать построение дерева возможных вариантов или комбинаторику.

1 способ: Дерево возможных вариантов

<Рисунок 3>.

n=8;  m₁=2;  m₂=6;  P₁= =0,25;  P₂==0,75 ; P₁<P₂ в 3 раза, поэтому вероятнее исход с двумя одинаковыми сторонами.

2 способ: по правилу произведения n=2³=8 (исходов)

1 исход m₁ = =1+1=2

2 исход m₂ ==3+3=6

Распределение исходов относительно орла или решки соответствует третьей строчке треугольника Паскаля: 1 3 3 1

Игра 5. Звездочет и палач (к изучению теоремы сложения вероятностей несовместных событий и теоремы умножения вероятностей независимых событий).

Некий грозный властелин разгневался как-то на своего звездочета, который по звездам предсказал конец света – и не угадал. Повелел властелин палачу отрубить звездочету голову. Однако в последний момент он смягчился – все-таки хорошо, что звездочет ошибся. Пусть же у него останется возможность спастись. Властелин взял два черных и два белых шара и предложил звездочету произвольным образом распределить их по двум вазам из непрозрачного стекла. Палач должен выбрать наугад одну из ваз и наугад вытащить из нее шар. Если шар окажется белым, звездочет будет помилован, а если черным, казнен.

- О, всемилостивейший! – взмолился звездочет. – Моя жизнь будет дважды зависеть от случая! Никто не ведает, какую вазу выберет палач. Никто не ведает, какой шар подвернется под руку палачу.
- На случай надейся, а сам не плошай, - усмехнулся властитель. – Сообрази, как надо распределить шары по вазам, чтобы получить наибольшее число шансов спастись.

Поможем звездочету выжить, ведь от волнения он может выбрать не тот вариант. Учитель обсуждает с учениками различные варианты распределения шаров по вазам.

Теоретическая часть:

Всего вариантов четыре. Каждый вариант изображается в виде дерева возможных вариантов, а затем, с помощью теорем сложения несовместных событий и умножения независимых событий, подсчитывается вероятность вытащить белый шар в каждом варианте распределения.

<Рисунок 4>.

1 вариант. Найдем вероятности вытащить белый шар из урны: Р(Б)=Р₁(Б)+Р₂(Б)=

2 вариант. Здесь белый шар можно вынуть из обеих урн, поэтому, сначала найдем вероятности достать белый шар из каждой урны:

Р₁(Б)=, Р₂(Б)=, а затем, по теореме сложения вероятностей несовместных событий: Р(Б)=Р₁(Б)+Р₂(Б)=.

3 вариант. Р₁(Б)=; Р₂(Б)=; Р(Б)=Р₁(Б)+Р₂(Б)=.

4 вариант. Р₁(Б)=; Р₂(Б)==0; Р(Б) =Р₁(Б)+Р₂(Б) =

Таким образом, наибольший шанс вынуть белый шар в третьем варианте распределения, где Р(Б)=, а наименьший в четвертом варианте, где Р(Б)= .

А сейчас проверим, как проявит себя вероятность.

1 этап игры. Сначала распределим шары по двум одинаковым мешкам согласно варианту 3.Учитель приглашает к мешкам по очереди учеников класса, пока каждый из них выходит, учитель подбрасыванием монетки определяет, к какому из двух мешков должен подойти игрок. Затем уже сам игрок, закрыв глаза, запускает руку в мешок и наугад вынимает шар. Если шар белый, игрок отходит к окну (он спасен), а если черный, возвращается на место (он казнен). Вынутый шар возвращают обратно в мешок. В результате у окна скапливается некоторая кучка счастливцев, которым случай благоволил.

2 этап игры. А теперь мы выберем распределение согласно варианту 4. Все повторяется так же, как на первом этапе игры. Теперь у окна скопилось заметно меньше счастливцев, чем на первом этапе. Вот и проявилось различие между наибольшим и наименьшим количеством шансов, проявила себя вероятность.

Игра 6. Долина Спящих Чудовищ (к изучению теоремы сложения вероятностей несовместных событий и теоремы умножения вероятностей независимых событий).

Играют две команды, у каждой на столе карта долины, описание игры, маршрутный лист, граф-схема, игральный кубик. Игра состоит из практической и теоретической частей. Сначала каждая команда, ознакомившись с описанием игры, выполняет 10 попыток пройти по долине с помощью маршрутного листа. Подсчитывает относительную частоту события: спастись при движении по долине, а далее рассчитывает теоретически ту же вероятность.

Получена радиограмма: “В воде найдена бутылка и в ней записка: “Умоляем о помощи. Цунами закинуло нас на остров Чудовищ. Точные координаты неизвестны, корабль разрушен, скрываемся в устье реки, передвижение по суше невозможно. Нужны спасатели”. Есть карта с пояснениями, как осуществлять движение по этому острову.

Описание долины Спящих Чудовищ.

Вы плывете по реке в долине Спящих Чудовищ. На многих участках будет спокойно, но опасность подстерегает там, где ее не ждешь. Если на 2-й развилке вы повернули налево, то перед вами вскоре появится огромная грязно- зеленая преграда. Но вы без потерь перетащите свою лодку через это скользкое чешуйчатое бревно. Плывите дальше. Если после 5-й развилки вы не свернули направо, то вы погибли, так как разбуженный вашим ползанием по хвосту брахиозавр неминуемо проглотит вас с вашей лодкой. Если вы пришли к 5-й развилке другим путем, не тронув хвоста, то отделаетесь легким испугом. Это не единственная опасность. На 6-ю развилку мутным глазом поглядывает кровожадный спинозавр. Если подплыть к ней коротким путем, то он непременно схватит вас и будет долго пережевывать. Но если вы будете плыть долгим путем, то мирный плеск воды от ваших весел усыпит его, и 6 развилку вы проплывете успешно, содрогаясь от громкого храпа спинозавра. Попутного вам ветра!

Маршрутный лист.

Прямо, если подошли долгим путем от 3-й развилки 6 развилка гибель.

На каждой развилке команды бросают игральный кубик, в соответствии с выпавшим очком на грани, по маршрутному листу продвигаются по карте долины.

Карта долины Спящих Чудовищ.

<Рисунок 5 >.

Выполнив, 10 попыток прохода по долине, учащиеся убеждаются, что из них спастись исходов больше, чем погибнуть, таким образом, команды подходят к теоретической части – расчету вероятности спастись при передвижении по долине.

Граф-схема: Итак, достигнуть цели можно, если пройти одним из четырех маршрутов:

1 маршрут. 1 2 цель;  Р₁=

2 маршрут. 1 2 5 цель; Р₂=

3 маршрут. 1 3 цель; Р₃=

4 маршрут.  1 3 4 цель; Р₄=

Р(спастись)=Р₁+Р₂+Р₃+Р₄=, а Р(погибнуть)= (вероятность противоположного события).Таким образом, вероятность спастись в 3 раза больше, чем вероятность погибнуть.

Игра7. Бухта подводных мутантов (к изучению теоремы сложения вероятностей несовместных событий и теоремы умножения вероятностей независимых событий).

Играют две команды, у каждой на столе карта, описание игры, маршрутный лист, граф-схема, игральный кубик. Игра состоит из практической и теоретической частей. Сначала каждая команда, ознакомившись с описанием игры, выполняет 10 попыток пройти по бухте с помощью маршрутного листа. Подсчитывает относительную частоту события: спастись при движении по бухте, а далее рассчитывает теоретически ту же вероятность.

Радиограмма:

“В результате захоронения радиоактивных отходов на дне Мирового океана в бухте расплодились мутанты, отличающиеся от нормальных животных повышенной агрессивностью, склонностью к людоедству и огромными размерами. Сооружение стены, отгораживающей бухту от океана, заканчивается. Необходимо состыковать две плиты под водой. Сотрудники института подводных мутантов запретили стыковку обычными способами, так как это повредит подводному животному миру. Для стыковки необходимо проплыть над дном через всю бухту целой бригаде сварщиков. Смельчаков пока не нашлось”.

Описание маршрута:

Вы пробираетесь по узким тропинкам, протоптанным в зарослях морской капусты с ядовитыми шипами, которые втрое выше человеческого роста. Если после 1-й развилки вы повернули направо, то некоторое время вы идете спокойно, стряхивая с себя кровососущих головастиков, но вдруг, обернувшись на страшный звук, видите зубастую пасть акулы. Ваши ласты мелькают перед самым ее носом, но ей не до вас. Повернув на 3-й развилке влево, вы спасетесь, юркнув в ворота, которые слишком малы для акулы. Но если вы повернули направо, то можно не надеяться на спасение, так как впереди вас ждет тупик, из которого никто никогда не уплывал. Если на 1-й развилке вы повернули налево, то вскоре увидите громадного осьминога. Один раз в час он просыпается, и при этом расправляет свои щупальца так, что скала слева от одной из тропинок с грохотом врезается в правую, и тут же возвращается на свое место. Если поторопиться, то можно пробраться между скалами за полчаса. Проснувшись, чудовище начинает охотиться, хватая щупальцами все, что подвернется, и отправляет в огромный рот. Идти в пределах досягаемости щупалец по левой тропинке 10 минут и, что особенно ужасно, вступая в эту зону смерти, человек не знает, охотится осьминог сейчас или нет. За 10 минут осьминог успевает напихать в рот достаточно пищи и 50 минут переваривает ее, не обращая ни на что внимание. Есть шансы проскочить. Счастливого пути!

Маршрутный лист:

На каждой развилке команды бросают игральный кубик, в соответствии с выпавшим очком на грани, по маршрутному листу продвигаются по карте бухты.

Выполнив, 10 попыток прохода по бухте, учащиеся убеждаются, что благополучных исходов: достичь цели, больше, чем исходов погибнуть, таким образом, команды подходят к теоретической части – расчету вероятности спастись при передвижении по бухте.

Карта бухты подводных мутантов

Граф-схема

< Рисунок 6 >.

Граф-схема: Итак, достигнуть цели можно, если пройти одним из трех маршрутов:

1 маршрут.  1 2 осьминог цель; Р₁=; осьминог: 10 минут кушает, 10 минут пробираться, 20 минут риска из 60 минут, тогда Р(спастись) = .

2 маршрут.  1 2 скалы цель;  Р₂=; скалы: 30 минут из 60 риска, тогда Р(спастись) = .

3 маршрут.  1 3 цель; Р₃=. Р(спастись)= Р₁+Р₂+Р₃=, а Р(погибнуть)=, очевидно, что вероятность спастись больше.

Карта бухты подводных мутантов.

Для проведения игр можно использовать слайды презентации:

Приложение 1