«Чем больше знаем,
тем больше понимаем»
Цели урока:
- обработка умений и навыков применения формул n-го члена геометрической прогрессии;
- вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии;
- развитие познавательной активности и логического мышления;
- воспитание интереса к изучению математики.
Формы работы: индивидуальная, групповая.
Методы: практические.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, диск «Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Уроки алгебры, 9 класс».
Ход урока
1. Организационный момент.
Проверка готовности класса и учащихся к уроку, проверка отсутствующих.
2. Постановка целей урока. Определение плана урока.
Учителем ставится цель на предстоящий урок, определяется план урока:
- повторить формулу n–го члена геометрической прогрессии, свойства степеней с целым показателем;
- вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии;
- рассмотреть возможные способы применения данной формулы.
3. Проверка домашней работы (карточка для учащегося).
Дана последовательность (bn) – геометрическая прогрессия. Второй член данной последовательности равен 6, четвёртый – 24. Найдите шестой член данной последовательности.
Ответ: 96.
Решение проанализировать всем классом. Ответ в задаче оказался независим от различных значений знаменателя. Почему результат не зависит от значения q? Сделать устную проверку.
4. Устная работа с классом.
а) упростите выражение:
(23 ∙ 25) : ( 2-2 ∙ (23)3) = ?
Ответ: 2
3n+1 : 3n-1 = ?
Ответ: 9
б) проверьте, какая из последовательностей геометрическая прогрессия:
1; 4; 7; 10; …
2; -6; 18; -54; …
7; 0; 0; …
20; 10; 5; 2,5; …
В случае положительного ответа назовите первый член и знаменатель прогрессии.
Итог проделанной работы делает учитель.
5. Вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Хочется начать словами великого мыслителя Востока О.Хайяма, который тоже занимался математикой, в частности решением уравнений третьей степени.
«С тех пор как существует мирозданье,
Такого нет, кто б не стремился к знаньям!»
Примеры арифметической прогрессии встречаются в клинописных табличках вавилонян, в египетских пирамидах ещё во II в. до н. э. А вот о геометрической прогрессии люди узнали только в начале новой эры. Легенда, дошедшая до нас, гласит, что индийский царь Ширам (Сирам), восхищенный остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, призвал к себе её создателя, ученого Сету, и сказал ему:
«Я желаю достойно наградить тебя за прекрасную игру. Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твоё желание».
Сета попросил принца положить на первую клетку 1 пшеничное зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 и т. д.
Спросим себя, смог ли царь выполнить желание Сеты?
Решение:
Рассмотрим последовательность чисел 1; 2; 4; 8; … то есть 1; 2; 22 ; 23 ; … 264 - геометрическая прогрессия, где b = 1, q = 2, n = 64. Необходимо найти сумму 64 слагаемых. Оказалось, что такое количество зерна можно собрать с площади в 2000 раз больше площади Земли или за все время до сегодняшнего дня. А найти ответ позволит формула, по которой находится сумма n первых членов геометрической прогрессии.
Записываем в тетрадях формулу:
Проводится сравнительный анализ формул. Внимание учащихся обращается на настенную таблицу с соответствующими формулами.
6. Решение задачи.
Решается задача о покупке лошади, задача из задачника Магницкого:
Купец хотел продать лошадь за 156 рублей, но покупатель посчитал, что это дорого и отказался покупать лошадь. Тогда ему было предложено купить только гвозди для подков, причем за 1 гвоздь нужно было заплатить 1\4 копейки, за второй – 1\2 коп., за 3 – 1 коп. и т. д., а лошадь продавец обещал отдать даром, и сделка состоялась.
Спрашивается, кто остался в выигрыше?
Задача решается на доске и в тетрадях, делается вывод.
7. Закрепление изученного материала.
Закрепляем тему решением № 408(а), № 409 (а) – самостоятельно в тетрадях.
Решение сверяем с решением на доске (готовится заранее).
Дополняем уже выведенные формулы другими, то есть для q < 1.
8. Подведение итога.
Подводится итог урока.
Для самостоятельной работы предлагается задание:
Дана последовательность 3; -6; … - геометрическая прогрессия. Найдите сумму шести членов этой прогрессии.
Ответ: -63
Оценивается работа правильно решивших первых двух учеников.
9. Домашнее задание.
Задание на дом: п.19, № 408(б), № 409 (в, г), № 417, № 418.