Многие школьные учебники и большинство пособий по математике не содержат информацию по анализу эффективности решения конкретных задач тем или иным способом. Поэтому основная масса школьников, доверяясь рекомендациям, изложенным в указанных источниках, выбирает зачастую единственный путь решения предложенной задачи. Естественным следствием подобной ситуации является игнорирования школьником задач, сопряженных с большим объемом (по мнению школьника) работы по преодолению технических трудностей.
Многое, вероятно, объясняется отсутствием навыков, но не исключено, что школьник и не предполагает о наличии тех или иных эффектных ходов, тактических тонкостей при реализации выбранной схемы решения, которые давно практикуются многими учителями.
Речь идет об очень эффективном методе решения неравенств - методе замены множителей, который я применяю при решении различных видов неравенств в 9 - 11 классах. Он позволяет быстро и эффективно решать целый класс неравенств повышенной сложности, переводя их тем самым в разряд "стандартных задач".
Удивительно, что этот метод оказался вне поля зрения многих авторов учебников по математике для средних школ, и многие учителя просто не знают о его существовании. Последнее время я широко пропагандирую этот метод. По этому поводу выступала на секции учителей математики городской августовской конференции учителей 2008 года. Для большинства присутствующих учителей было полным откровением мгновенное преобразование сложного неравенства
в простейшую систему рациональных неравенств
Также для учителей математики я давала в ноябре этого года "Мастер - класс", где было показано, каким образом можно эффективно решать трудные неравенства.
Целью настоящей публикации является также пропаганда этого метода, изложение основных методических рекомендаций в овладении этим методом.
Основная идея метода.
Методом замены множителей решаются неравенства, приводимые к виду
Где символ "
" обозначает один из четырех
возможных знаков неравенства:
.
При решении неравенства (1) нас интересует только знак любого множителя в числителе или знаменателе, а не абсолютная его величина. Поэтому, если по каким-то причинам нам неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой знакосовпадающий с ним в области определения неравенства и имеющий в этой области те же корни.
Это и определяет основную идею метода замены множителей. Важно зафиксировать тот факт, что замена множителей осуществляется только при условии приведения неравенства к виду (1), то есть, когда требуется сравнить произведение с нулем.
Основная часть замены обусловлена двумя следующими равносильными утверждениями.
Утверждение 1. Функция 
есть строго возрастающая
тогда и только тогда, когда для любых значений
из
области определения функции разность 
совпадает
по знаку с разностью 
, то есть
, (
означает знакосовпадение)
Утверждение 2. Функция есть строго убывающая тогда и
только тогда, когда для любых значений
из
области определения функции разность
совпадает по знаку с разностью
, то есть 
Обоснование этих утверждений непосредственно следует из определения строго монотонной функции. Согласно этим утверждениям можно установить, что
Разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания от единицы, то есть
Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение основания от единицы, то есть
Тот факт, что разность неотрицательных величин совпадает по знаку с разностью квадратов этих величин, позволяет осуществить следующие замены:
Замена знакопостоянных множителей - это
есть один из случаев замены не вытекающих из
утверждений 1 и 2. Всюду положительные множители
заменяем на 1 или просто убираем, всюду
отрицательные заменяем на (
1). Популярный
знакопостоянный множитель квадратный трехчлен a
+ b x + c
с отрицательным
дискриминантом можно заменить на старший
коэффициент или на свободный член, то есть a
+ bx + c
.
Так как область значений показательной функции
y =
представляет собой все положительные числа, то
любая сумма значений показательных функций
является знокопостоянной положительной
величиной, поэтому 
.
Положительной величиной является сумма неотрицательных слагаемых, если ни в одной точке области определения неравенства все слагаемые одновременно не равны нулю. Очевидно, что при объявленном ограничении на слагаемые сумма всегда является положительной величиной. Поэтому в силу определения арифметического корня и неотрицательности модуля любого числа получаем право на следующие замены:
.
Наиболее часто используемые замены (без учета О Д З).
а) Замена знакопостоянных множителей.
1) 
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10) 
11) 
б) Замена незнакопостоянных множителей с модулем.
12)
13) 
14) 
15) 
16) 
, 
17)
.
18) 
.
19) 
.
20) 
21) 
.
22)
23) 
24) 
в) Замена незнакопостоянных множителей с показательными и логарифмическими выражениями.
25) 
26)
, 
27) 
28) 
31
32) 
.
33) 
.
Решение неравенств.
Привожу относительно подробные решения двух сложных неравенств методом замены множителей.
Решение. ОДЗ:
.
Замена множителей:
1) 
2)
Имеем систему:
В этом неравенстве уже нельзя множители
и
рассматривать как разности неотрицательных
величин, так как выражения 1
и 
ОДЗ могут принимать
как положительные так и отрицательные значения.
при 
, а 
2) 
Имеем систему:
Замена множителей:
2)
Имеем систему:
Замена множителей:
2)
Имеем систему:
Замена множителей:
2)
Имеем систему:
В итоге имеем: х 
Литература.
1. Голубев В.И., Тарасов В.А. Эффективные пути
решения неравенств. Львов, Квантор,1992. №10.
2. Голубев В.И. Школа решения нестандартных задач, газета "Математика", 2005, №7.