Многие школьные учебники и большинство пособий по математике не содержат информацию по анализу эффективности решения конкретных задач тем или иным способом. Поэтому основная масса школьников, доверяясь рекомендациям, изложенным в указанных источниках, выбирает зачастую единственный путь решения предложенной задачи. Естественным следствием подобной ситуации является игнорирования школьником задач, сопряженных с большим объемом (по мнению школьника) работы по преодолению технических трудностей.

Многое, вероятно, объясняется отсутствием навыков, но не исключено, что школьник и не предполагает о наличии тех или иных эффектных ходов, тактических тонкостей при реализации выбранной схемы решения, которые давно практикуются многими учителями.

Речь идет об очень эффективном методе решения неравенств - методе замены множителей, который я применяю при решении различных видов неравенств в 9 - 11 классах. Он позволяет быстро и эффективно решать целый класс неравенств повышенной сложности, переводя их тем самым в разряд "стандартных задач".

Удивительно, что этот метод оказался вне поля зрения многих авторов учебников по математике для средних школ, и многие учителя просто не знают о его существовании. Последнее время я широко пропагандирую этот метод. По этому поводу выступала на секции учителей математики городской августовской конференции учителей 2008 года. Для большинства присутствующих учителей было полным откровением мгновенное преобразование сложного неравенства

в простейшую систему рациональных неравенств

Также для учителей математики я давала в ноябре этого года "Мастер - класс", где было показано, каким образом можно эффективно решать трудные неравенства.

Целью настоящей публикации является также пропаганда этого метода, изложение основных методических рекомендаций в овладении этим методом.

Основная идея метода.

Методом замены множителей решаются неравенства, приводимые к виду

Где символ "" обозначает один из четырех возможных знаков неравенства:.

При решении неравенства (1) нас интересует только знак любого множителя в числителе или знаменателе, а не абсолютная его величина. Поэтому, если по каким-то причинам нам неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой знакосовпадающий с ним в области определения неравенства и имеющий в этой области те же корни.

Это и определяет основную идею метода замены множителей. Важно зафиксировать тот факт, что замена множителей осуществляется только при условии приведения неравенства к виду (1), то есть, когда требуется сравнить произведение с нулем.

Основная часть замены обусловлена двумя следующими равносильными утверждениями.

Утверждение 1. Функция есть строго возрастающая тогда и только тогда, когда для любых значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью , то есть, (означает знакосовпадение)

Утверждение 2. Функция есть строго убывающая тогда и только тогда, когда для любых значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью , то есть

Обоснование этих утверждений непосредственно следует из определения строго монотонной функции. Согласно этим утверждениям можно установить, что

Разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания от единицы, то есть

.

Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение основания от единицы, то есть

.

Тот факт, что разность неотрицательных величин совпадает по знаку с разностью квадратов этих величин, позволяет осуществить следующие замены:

Замена знакопостоянных множителей - это есть один из случаев замены не вытекающих из утверждений 1 и 2. Всюду положительные множители заменяем на 1 или просто убираем, всюду отрицательные заменяем на (1). Популярный знакопостоянный множитель квадратный трехчлен a+ b x + cс отрицательным дискриминантом можно заменить на старший коэффициент или на свободный член, то есть a+ bx + c.

Так как область значений показательной функции y = представляет собой все положительные числа, то любая сумма значений показательных функций является знокопостоянной положительной величиной, поэтому .

Положительной величиной является сумма неотрицательных слагаемых, если ни в одной точке области определения неравенства все слагаемые одновременно не равны нулю. Очевидно, что при объявленном ограничении на слагаемые сумма всегда является положительной величиной. Поэтому в силу определения арифметического корня и неотрицательности модуля любого числа получаем право на следующие замены:

.

Наиболее часто используемые замены (без учета О Д З).

а) Замена знакопостоянных множителей.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

б) Замена незнакопостоянных множителей с модулем.

12)

13)

14)

15)

16) ,

17).

18) .

19) .

20)

21) .

22)

23)

24)

в) Замена незнакопостоянных множителей с показательными и логарифмическими выражениями.

25)

26),

27)

28)

31

32) .

33) .

Решение неравенств.

Привожу относительно подробные решения двух сложных неравенств методом замены множителей.

Решение. ОДЗ:.

Замена множителей:

1)

2)

.

Имеем систему:

В этом неравенстве уже нельзя множителии

рассматривать как разности неотрицательных величин, так как выражения 1 и ОДЗ могут принимать как положительные так и отрицательные значения.

при , а

, а

=

2)

Имеем систему:

, а

Замена множителей:

2)

Имеем систему:

, а

Замена множителей:

2)

Имеем систему:

, а

Замена множителей:

2)

Имеем систему:

В итоге имеем: х

Литература.

1. Голубев В.И., Тарасов В.А. Эффективные пути решения неравенств. Львов, Квантор,1992. №10.

2. Голубев В.И. Школа решения нестандартных задач, газета "Математика", 2005, №7.