Цели:
Методы обучения:
- эвристическая беседа,
- объяснительно-иллюстративный,
- репродуктивный.
Оборудование:
- компьютер с мультимедийным проектором,
- презентация
- экран,
- мультимедийная презентация "Площадь криволинейной трапеции" (приложение1),
- учебник "Алгебра и начала анализа" для 10-11 классов под редакцией Колмогорова А.Н.
Структура урока:
- Орг. момент (1 мин.)
- Актуализация знаний (5 мин.)
- Изучение нового материала (25 мин.)
- Закрепление (10 мин.)
- Подведение итога урока (3 мин.)
- Постановка домашнего задания (1 мин.)
ХОД УРОКА
Орг. Момент
Приветствие класса.
Актуализация знаний
Учащимся предлагается анимированная презентация, на которой предлагаются задания, после обсуждения появляется верные ответы по нажатию клавиши мыши.
Задание 1 (Слайд 2)
У: Дайте определение производной?
Уч-ся: Производной функции f в точке х0
называется число к которому стремится
разностное отношение 
У: Найти производную функции по определению
для функции 
У: Ищем приращение функции по определению.
Уч-ся: 
У: Чему равно отношение 
Уч-ся: 
(Появляется на слайде 2)
У: Устремим 
к чему
стремится отношение 
?
Уч-ся: 
(Появляется
на слайде 2)
Задание 2
Вставьте в место * (Слайд 3)
1.  = ( )/ |
3. 3сos3x= (sin3x)/ |
2.  |
4.  |
У: Чем является выражение, которое должно стоять в скобках?
Уч-ся: Первообразной.
У: Сформулируйте определение первообразной.
Уч-ся: Функция F называется первообразной для f на заданном промежутке, если F/(x)=f(x). (Появляется на слайде 3)
Задание 3
Будут ли первообразными следующие функции (Слайд 4)
для функции 
У: Выполняя задание, какое свойство первообразной вы использовали?
Уч-ся: Основное свойство F(x)+C.
Изучение нового материала
У: Рассмотрим следующие чертежи на слайде. (Слайд 5)
У: Что вы можете сказать про каждую фигуру изображенную на рисунке? Каким общими свойствами обладает?
Уч-ся: Фигура ограничена графиком функции f(x), прямыми а и b, отрезком [а;b].
У: Что вы можете сказать про функцию f(x)? Какими свойствами обладает Даная функция?
Уч-ся: Функция непрерывна и не меняет своего знака на данном отрезке.
У: Как вы можете назвать данные фигуры?
Уч-ся: Криволинейная трапеция.
У: Правильно, такие фигуры называются криволинейными трапециями. Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и оставьте место под тему урока, мы ее сформулируем позже, запишите определение, выведенное на слайде. (Слайд 6)
Фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей свого знака на отрезке [а;b] функцией, прямыми х=а и х= b и отрезком [а;b] называется криволинейной трапецией.
У: Указать криволинейные трапеции, ответ обосновать. (Слайд 7)
У: Итак, что называется криволинейной трапецией?
Уч-ся: Фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей свого знака на отрезке [а;b] функцией, прямыми х=а и х= b и отрезком [а;b] называется криволинейной трапецией.
У: Как вычислить площадь криволинейной трапеции на экране на рисунке 1? (Слайд 8)
Какая геометрическая фигура представлена на чертеже?
Уч-ся: Трапеция. Площадь ее равна произведению полусуммы оснований на высоту.
У: А как вычислить площадь криволинейной трапеции на рисунке 2? (Слайд 8)
Затруднение
У: Можете сформулировать цель нашего урока.
Уч-ся: Научиться вычислять площадь криволинейной трапеции.
У: Тема сегодняшнего урока "Площадь криволинейной трапеции". (Слайд 9)
Записывают тему в тетрадь.
У: Начнем с примера. Вычислить площадь криволинейной трапеции двумя способами (Слайд 10)
У: Используем формулу площади трапеции из геометрии. Скажите, чему равны основания и высота трапеции?
Уч-ся: Основания равны 5 и 3, а высота равна 2.
У: Чему равна площадь трапеции?
Уч-ся: S=8 кв.ед.
У: Теперь вычислите вторым способом.
Найдем первообразную F(x) для f(x) и вычислим площадь по формуле S= F(b)- F(a). Чему равно первообразная?
Уч-ся: F(x)=
У: Чему равно F(3)? Чему равно F(1)?
Уч-ся: F(3)=10,5 , F(1)=2,5.
У: А теперь чему равна площадь по данной формуле?
Уч-ся: S=8 кв.ед. (Слайд 10)
У: Сделайте вывод.
Уч-ся: Площади равны.
У: Следовательно, площадь можно вычислять по данной формуле. Теперь проверим, для всех криволинейных трапеций эта формула справедлива. Оказывается в математике есть теорема. (Слайд 11)
Теорема: Если f - непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, а F - ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b], т.е. S=F(b)-F(a).
Записывают формулировку теоремы в тетрадь и изображают данный рисунок.
У: Что нам дано? Что нужно доказать?
Дано: f - функция непрерывная, неотрицательная на отрезке [a; b], криволинейная трапеция
Док-ть: S=F(b)-F(a)
Доказательство:
По ходу доказательства учащиеся сами фиксируют основные моменты доказательство.
У: Выберем между a и b на оси абсцисс фиксированную точку х и рассмотрим криволинейную трапецию, обозначим ее площадь через S(x). (Слайд 12)
У: Каждому х из отрезка [a; b] соответствует вполне определенное значение S(x), то есть S(x) можно назвать- функцией, зависящей от х.
х=а, то S(a)=0. Если х=b , то S(b)=S (где S-площадь криволинейной трапеции).
У: Функция S(x) обладает интересным свойством S /(x)=f(x). Давайте докажем это свойство функции. (Слайд 13)
У: Рассмотрим криволинейную трапецию на [a; b].
Выберем точку х и дадим приращение 
х, получим точку х+х. Запишем S /(x) используя
определение 
.Для
выбранного участка находим приращение функции S.
S=S(х+х)-S(x).
S (х)- это площадь
криволинейной трапеции, опирающейся на отрезок [x;
x+x] (площадь фигуры
заштрихованной на рисунке)
У: Возьмем прямоугольник, равновеликий этой
криволинейной трапеции и с длиной х. (Слайд 14) Верхнее основание
этого прямоугольника пересекает график функции
в точке с координатами (с;f(c)).Чему равна
площадь прямоугольника?
Уч-ся: 
.
У: Выразим f(c), чему равно?
Уч-ся: 
.
У: А если мы устремим х
, тогда к чему
будет стремится f(x).
Уч-ся: f(c)
f(x), при
х
0.
У: Какой можно сделать вывод из последних двух соотношений? (Появляется на слайде 14)
Уч-ся: 
.
У: Как можно записать левую часть?
Уч-ся: S /(x)=f(x).
У: Таким образом S(x) является первообразной для f(x). Если использовать основное свойство первообразной?
Уч-ся: S(x)= F(х)+С (Слайд 15)
У: Найдем С? Используя условие при х=b S= S(b), S(b)=F(b)+C, при х=а S(а)=F(а)+C, но S(а)=0, получим -F(а)=C.
Уч-ся:S(x)= F(х)- F(а).
У: Но поскольку S= S(b), получим S= F(b)- F(а). Таким образом, мы доказали теорему и в дальнейшем площадь криволинейной трапеции будем вычислять по формуле S= F(b)- F(а). (Появляется на слайде 15)
У: Итак, выделите основные этапы доказательства:
Уч-ся:
- Площадь обозначили за функцию S(x)
- S /(x)=f(x)
- -F(а)=C
- S= F(b)- F(а).
У: Правильно.
Закрепление
Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2, y=0, x=1, x=3.
(Слайд 16)
У: Построим данные линии. Выделите фигуру ограниченную линиями. Что является графиком функции y=x2.
Уч-ся: Парабола, ветви вверх.
У: Найдем первообразную для функции.
Уч-ся: F(х)=
.
У: Применим формулу S= F(b)- F(а), что получим?
Уч-ся: 
,
У: Ответ: 
(Появляется
на слайде 16)
У: Далее решаем номера, записанные на доске: №353(б), №354(а).
№353(б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями y=cosx, y=0, x=0 ,x=
У: Изобразите данную фигуру. <Рисунок1>
Является ли данная фигура криволинейной трапецией?
Уч-ся: Является.
У: Найдите первообразную.
Уч-ся: F(х)=sinx.
У: Найдите F(b) и F(а)
Уч-ся: F(b)=1 F(а)=0
У: S= F(b)- F(а)=1
У: Теперь выделите основные шаги для вычисления площади криволинейной трапеции. Учащиеся называют основные шаги, а на экране появляется последовательность шагов, которую они должны записать себе в тетрадь. (Слайд 17)
№354(а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x3+1,y=0,x=0,x=2.
У: Изобразите данную фигуру. <Рисунок2>
Является ли данная фигура криволинейной трапецией?
Уч-ся: Является.
У: Найдите первообразную.
Уч-ся: F(х)=
У: Найдите F(b) и F(а)
Уч-ся: F(b)=6 F(а)=0
У: S= F(b)- F(а)=6
Подведение итога урока
У: Что сегодня изучили на уроке?
Как вычислить площадь криволинейной трапеции?
Сформулируйте основные шаги вычисления площади криволинейной трапеции.
Постановка домашнего задания
Дома: №353(а,в), №354(б,г).
Спасибо за урок! До свидания.