Методическая разработка урока по алгебре "Тождественные преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции"

Гнеушева Елена Петровна

Разделы: Математика

Цель урока: расширить и систематизировать знания учащихся об обратных тригонометрических функциях

Задачи урока:

освоение предметных компетенций: закрепление понятия обратных тригонометрических функций; знакомство с их новыми свойствами
развитие у учащихся ключевых компетенций: учебных, исследовательских, социально-личностных, коммуникативных, коммуникационных.
формирование нравственных качеств личности.

Проспект урока

1 этап

2 этап (устно)

3 этап

4 этап

5 этап

Появление новых формул

6 этап

7 этап

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие, постановка учебной задачи: сегодня мы будем заниматься тождественными преобразованиями выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

2. Актуализация опорных знаний

Вспомним основные определения и свойства. Работа по группам.

1, 2, 3, 4 группы: рассказать об arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a . (Каждой группе в произвольном выборе достается одно из предложенных понятий)

План ответа: учащихся

Дать определение понятия
Записать формулу для вычислений с отрицательным аргументом
Привести примеры вычислений

5 группа: найдите значение выражения: sin (2 arcsin - 3 arccos (-))

6 группа: упростите выражения:

a) arccos t + arccos (-t)=
b) arcsin t + arcsin (-t)=

Примерное время на подготовку ответов групп – 3 мин, после чего заслушиваются ответы . Представленные сведения можно свести в таблицу

Функция	arcsin а	arccos а	аrctg а	arcctg а
Область определения	[-1;1]	[-1;1]	R	R
Область значений	[]	[0;]	()	(0;)
Характер монотонности	возрастает	убывает	возрастает	убывает

Наиболее часто встречающиеся неотрицательные значения параметра а, такие что 0 ≤а≤ 1, и соответствующие им значения обратных тригонометрических функций удобно свести в следующие таблицы:

Значения параметра а	а = 0	а =	а =	а =	а =1
arcsin а	0
arccos а					0

Значения параметра а	а = 0	а =	а =1	а =
arctg а	0
arcctg а

Вопрос классу: Где мы применяем аркусы?

3. Устная работа

1. Решите уравнения:

a)sin х =

b)sin х = -

c)cos х=

d)tg х=2

2. Задание: Исправь ошибки (если таковые есть)!

№	Реши уравнение	Ответ
1	sin 2х - =0
2	cosх =
3	sin(x-) =

(Учащиеся отмечают: в первом уравнении верный ответ ; во второй строке ошибок нет; в третьем уравнении решений нет.)

4. Постановка проблемного вопроса

Найдите значение выражения

а). sin (arccos)

б) tg (arcsin)

в) cos ( arcsin 0,6 ) - ?

г) cos ( arctg 3/4 ) - ?

(Используя таблицу значений обратных тригонометрических функций для некоторых углов, учащиеся находят значение первого и второго выражений, но затрудняются в третьем и четвертом)

5. Презентация новых знаний (Приложение 1)

Появление новых формул

№	Формулы	Доказательство
I	сos (arccos а ) = а; а[-1;1] sin (arcsin а) = а; а [-1;1] tg (arctg а) = а; а R ctg (arcctg а)= а; аR	Док-во: По определению: arccos а = x , х принадлежит [0;]. Тогда cos x = а. Вместо x, во второе выражение, подставим то, чему он равен, т.е. arccos а = x. Получим сos (arccos а ) = а.
II	cos (arcsin а) =; а [-1;1] sin (arccos а) = tg (arccos а) =	Док-во: 1. Выведем первое тождество. Возьмем arcsin а за t: arcsin а = t, t принадлежит []. Тогда по определению sin t = a Так как arcsin а принадлежит [], то cos (arcsin а) ≥ 0, откуда по основному тригонометрическому тождеству: 2. Вывод второго тождества делается аналогично. 3. tg (arccos а)==
III.	arcsin а + arccos а = arctg а + arcctg а =	Док-во: Применим формулу синуса суммы двух аргументов. sin (arcsin а + arccos а) = sin (arcsin а) · cos (arccos а) + cos (arcsin а) · sin (arccos а) = а ·а + · = a² + 1 - a² = 1. Таким образом, sin (arcsin а + arccos а) =1 На числовой окружности это самая верхняя точка. Возьмем координату, которая удовлетворяет ОДЗ : -≤arcsin а + arccos а ≤ , и эта точка . Из этого следует, что arcsin а + arccos а =

№

Формулы

Доказательство

сos (arccos а ) = а; а[-1;1]

sin (arcsin а) = а; а [-1;1]

tg (arctg а) = а; а R

ctg (arcctg а)= а; аR

Док-во: По определению: arccos а = x , х принадлежит [0;]. Тогда cos x = а. Вместо x, во второе выражение, подставим то, чему он равен, т.е. arccos а = x. Получим сos (arccos а ) = а.

cos (arcsin а) =;