Пояснительная записка.
Изучению тем «Многочлены», «Показательная функция» в программе по математике основной и старшей школы уделяется большое внимание. Изучаются стандартные методы решений алгебраических и показательных уравнений. При подготовке к Е.Г.Э. эти задачи входят в группы А и В.
Для того чтобы решать задания группы. С необходимо овладеть нестандартными методами решений уравнений, такими как функциональный подход, введение параметрической плоскости.
При изучении тем «Многочлены», «Показательная функция» данный элективный курс поможет учащимся освоить такие свойства функции как монотонность, использование свойств симметрии аналитических выражений, экстремальные свойства, а так же область значений функции.
Углубление темы «Алгебраические уравнения» происходит за счет изучения возвратный, симметрических, кососимметрических уравнений.
Решение показательных и алгебраических уравнений с параметром позволяет систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, содействует развитию исследовательских способностей.
Выполняя довольно сложные математические преобразования при решении уравнений, школьникам придется постоянно анализировать, классифицировать, перебирать различные методы решений, отыскивать наиболее рациональные при выполнении тестов, выполнять самоанализ и при этом быть предельно внимательным и точным.
Проводя цепочку логических рассуждений, выбирая правильный метод решения, учащиеся понимают, что даже самые сложные уравнения становятся решаемыми, нужно только правильно выбрать метод решения.
Цель курса:
- Научить решать алгебраические и показательные уравнения различными методами;
- Уметь применять свойства функций при решении задач с параметрами;
- Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности.
Задачи курса:
- Изучить основные теоретические положения для решения алгебраических уравнений;
- Изучить схему Горнера;
- Научить учащихся решать возвратные уравнения, однородные уравнения, уметь использовать метод замены переменных;
- Научить учащихся решать показательные уравнения с параметром, сводящиеся к квадратным;
- Научить учащихся использовать свойства функции при решении уравнений.
Весь теоретический материал используется без строгого доказательства, иллюстрируется для учащихся конкретными примерами.
Основное содержание курса опирается на необходимый минимум знаний, но предназначен он для учащихся, интересующихся математикой. Предлагаются задания различной степени сложности, которые должны удовлетворять запросу учащихся с различными учебными возможностями.
При проведении курса предлагается классно-урочная форма занятий. Каждая тема заканчивается самостоятельной проверочной работой, выполняя которую учащиеся должны убедиться, что основной материал ими понят и усвоен. Используются уроки-семинары.
Учитель создает творческую атмосферу на уроках, используя элементы разноуровнего обучения, предлагая задачи поисково-исследовательского характера.
Содержательная часть.
Глава 1. Алгебраические уравнения.
Исторические сведения о решении алгебраических уравнений.
Схема Горнера, алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, уравнения, сводящиеся к алгебраическим.
Возвратные уравнения и методы их решения.
Метод замены переменной.
Различные виды уравнений четвертой степени, в результате преобразований и замены, сводящиеся к квадратным.
Метод неопределенных коэффициентов.
Алгебраические уравнения с параметрами, использование параметра как равноправной переменной. Использование параметрической плоскости.
Глава 2. Показательные уравнения.
Решение показательных уравнений с параметрами вида 
, 
аналитическим и графическим способом, а так же использование параметрической плоскости.
Показательные уравнения с параметрами, сводящиеся к квадратным. Условия существования корней квадратного трехчлена. Знаки корней. Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки.
Использование области значений функции при решении задач с параметрами.
Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнения. Применение метода оценки левой и правой частей, входящих в уравнение или неравенство. «Полезные неравенства»: сумма двух взаимно-обратных чисел, неравенство для синуса и косинуса, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел.
Свойства монотонных функций. Теоремы о монотонных функциях
1) 
2) 
3) 
4) 
Использование симметрии аналитических выражений.
Определение симметричной системы относительно одной переменной, двух переменных. Условия единственности решения в симметричных системах.
Учебно-тематический план.
| № п/п | Наименование темы. | Количество часов. |
| Алгебраические уравнения | 7 часов | |
| 1 | Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами. | 1 час |
| 2 | Возвратные уравнения и методы их решения. | 1 час |
| 3-4 | Различные методы решений алгебраических уравнений. | 2 часа |
| 5 | Алгебраические уравнения с параметрами. | 1 час |
| 6 | Использование параметрической плоскости. | 1 час |
| 7 | Обобщающий урок по теме «Алгебраические уравнения» | 1 час |
| Показательные уравнения | 10 часов | |
| 8-9 | Решение показательных уравнений с параметрами вида  ,  |
2 часа |
| 10 | Показательные уравнения с параметром, сводящиеся к квадратным. | 1 час |
| 11 | Область значений функции | 1 час |
| 12-13 | Экстремальные свойства функции. | 2 часа |
| 14-15 | Монотонность. | 2 часа |
| 16-17 | Использование симметрии аналитических выражений. | 2 часа |
Методическая часть
I. Требования к знаниям и умениям учащихся.
В результате изучения программы учащиеся получают возможность
Знать:
- Схему Горнера;
- Теорему Безу и следствия из нее;
- Схему решения возвратных уравнения, однородных уравнений;
- Метод замены переменной при решении уравнений высших степеней;
- Метод неопределенных коэффициентов;
- Аналитические и графические методы решения уравнений с параметрами;
- Схему решения показательных уравнений с параметром, сводящихся к квадратным;
- Основу метода оценок;
- Свойства и теоремы о монотонности;
- Определения симметричных выражений, условия единственности симметричных систем и уравнений;
- Применить схему Горнера при делении многочленов;
- Распознавать и решать возвратные, однородные алгебраические уравнения высших степеней;
- Решать уравнения высших степеней методом замены переменных;
- Решать алгебраические уравнения высших степеней с использованием параметрической плоскости;
- Исследовать показательные уравнения вида
и 
в зависимости от параметра 
; - Исследовать показательные уравнения с параметрами, сводящимся к квадратным;
- Использовать область значений функции при решении уравнений;
- Использовать экстремальные свойства функций при решении уравнений;
- Применять свойства и теоремы монотонности при решении уравнений;
- Использовать симметрию в системах показательных уравнений.
II. Основополагающая линия занятий курса – поисковый метод.
Учитель только сталкивает учащихся с незнанием, направляет их мыслительную деятельность. Школьники сами пытаются решить проблему, применить теорию на практике, сделать выводы. Для закрепления теоретического материала используются уроки-практикумы. При изучении новой темы или обобщения материала проводятся уроки-семинары. Каждая тема заканчивается проверкой уровня усвоения. Проверочные работы оцениваются отметками («3», «4», «5»).
Учащимся сообщается, что по мере изучения курса они должны написать творческую работу или доклад и принять участие в научно-практической конференции районного уровня.
Лучшие творческие работы учитель предлагает отправить на «Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся «Портфолио».
Литература- Амелькин В.В., Рабцевич В.А. «Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике», МН: ООО «Асор», 2004
- Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С. и др. «Алгебра и математический анализ: Учебное пособие для углубленного изучения математики в 10 классе.
- Галицкий М.А. и др. «Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа», М., «Просвещение», 1996
- Галицкий М.А. и др. «Сборник задач по алгебре для 8-9 классов», М., «Просвещение», 1992
- Гормштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С., «Задачи с параметрами», «Илекса», «Гимназия», Москва-Харьков, 2003
- Галицкий М.Ф., Мошкович М.М., Шварцбург С.И., «Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа», М., «Просвещение», 1997
- Гольдич В.А., «Решение уравнений и неравенств. Алгебра», Издательский дом «Литера», СпБ, 2004
- Еремин М.А., «Уравнения высших степеней», Арзамас, 2003
- Малышев И.Г., Малышев А.И., «Многочлены в школьном курсе математики и на вступительных экзаменах», учебное пособие, изд-во Нижегородского госуниверситета, Нижний Новгород, 2006
- Олехник С.Н., Потапов М.К. и др. «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств», изд-во МГУ, 1991.