Знакомство с опытом работы выдающихся педагогов, лучших учителей углубляет знания о педагогическом процессе, заставляется задуматься над вопросом: что объединяет творцов опыта, что общего в их методике? Ведь только это общее, являющееся основным, можно позаимствовать, конечно, после творческого преобразования с учётом личностных особенностей, условий работы, конкретных детей. Давно интересуюсь опытом мастеров опережающего обучения, которые умеют, говоря образно, обучая «на копейку, развивать на рубль», чем обеспечивают надёжную базу для интенсивного обучения новому в ближайшем будущем.
Общеобразовательная роль тригонометрии очень важна. Материал должен изучаться индуктивно - от тригонометрии острого угла к тригонометрии любого угла и затем к тригонометрическим функциям действительного аргумента. Полноценное изучение тригонометрии требует достаточно большого объёма времени. В общеобразовательной школе в силу целого ряда причин времени вообще катастрофически не хватает и на тригонометрию в частности. В методической литературе всё чаще и настойчивее звучат голоса в пользу более раннего знакомства детей с единичной окружностью. Мне близка и понятна система работы в этом направлении Г.Д. Герасимовой, изложенная в статье «Как важно работать «на перспективу»», №3 журнал «Математика в школе» за 2008 год,
Э.С. Беляевой «Единичная окружность в подготовительном курсе тригонометрии», журнал №8 «Математика в школе» за 2000 год и Н.А. Иванчук и Н.А.Резник «Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла», журнал №8 «Математика в школе» за 2003 год.
Мой многолетний опыт преподавания в школе показывает, что должна предшествовать отдалённая по времени отработка решений простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Это полезно не только в общеобразовательном плане, но и для облегчения нагрузки на наши общеобразовательные 10-е и 11-е классы.
Тема «Координатная плоскость» в 6-м классе невелика. У детей среднего возраста она неизменно вызывает интерес. Они не только с удовольствием изображают отдельные объекты и даже целые сюжеты по заданным координатам, но и самостоятельно составляют их, определяя координаты узловых точек. Несмотря на привлекательность таких заданий, дидактическая цель остаётся неизменной: определять координаты точек, заданных на плоскости, и уметь строить точки по их координатам. Педагогический опыт показывает, что, вкрапливая в эту тему другие задания, можно использовать и иные дидактические их возможности.
В учебнике встречаются задания на нахождение координат точки пересечения окружности произвольного радиуса с осями координат. Таким упражнениям всегда уделяю особое внимание. Умение их выполнять считаю, наряду со знанием порядка записи координат, одним из основных результатов знакомства учащихся с координатной плоскостью. Именно они дают хорошую возможность поработать «на перспективу». Здесь нужен не просто результат. а высокий результат. Чтобы его добиться, с опорой на наглядность, вместе с учениками конструируем мнемоническое правило:
- абсцисса равна нулю у точек, которые расположены на оси ординат;
- ордината равна нулю у точек, расположенных на оси абсцисс,
а затем каждый ученик его раскрывает. На этом первый этап завершен.
Второй этап начинается с введения окружности единичного радиуса в координатную плоскость. С опорой на ранее изученное правило конструируем новое, теперь уже для окружности единичного радиуса:
- точка справа имеет самую большую абсциссу, равную единице, и ординату, равную нулю;
- точка слева имеет самую маленькую абсциссу, равную минус единице, и ординату равную нулю;
- точка вверху имеет самую большую ординату, равную единице, и абсциссу равную нулю;
- точка внизу имеет самую маленькую ординату, равную минус единице, и абсциссу равную нулю;
- абсцисса равна нулю у точек, которые расположены на оси ординат (вертикальная ось);
- ордината равна нулю у точек, расположенных на оси абсцисс(горизонтальная ось).
Этап считаю завершенным, если вижу свободное владение окружностью единичного радиуса, находящейся в координатной плоскости, каждым.
На следующем этапе продолжаем работать с единичной окружностью (рис.1) Отметив точки, с помощью цветных карандашей в тетрадях, мелков на доске, разноцветных магнитных полосок на магнитной доске медленно, шаг за шагом, отмечаем, выделяем, измеряем абсциссы и ординаты точек А, В, С, Д, М, К, Р окружности, устанавливаем взаимное расположение элементов, анализируем длины отрезков геометрически, выясняем в каких координатных четвертях находятся эти точки, определяем четверть, в которой абсцисса(ордината) точки принимает отрицательное или положительное значения.
Рисунок 1
Цель таких заданий не только в осознании мнемонического правила, порядка записи координат точек плоскости, их названий, значений, но и хорошая возможность развития вычислительных навыков с десятичными дробями, положительными и отрицательными числами. Создаётся ситуация, когда учащиеся могут, путём вычисления суммы квадратов абсциссы и ординаты точки единичной окружности (на миллиметровой бумаге удобнее) не только применить округление чисел, использовать микрокалькулятор, но и «приблизиться» к основному тригонометрическому тождеству, то есть готовить себя к изучению систематического курса алгебры и геометрии.
Убедившись, что у учащихся хорошо отработаны навыки оперирования с единичной окружностью, перехожу на новый уровень. В VI классе ученикам уже предлагаются задания на построение и чтение графиков, выражающие зависимость между различными величинами. Им также известно, что длина окружности радиуса R равна 2πR, где π ≈ 3,14. Выясняем, что если R=1, длина окружности равна 2π и охватывает она четыре угла по 90° и что по окружности можно двигаться как по часовой стрелке, так и против. Тогда развёрнутый угол выразится числом π, прямой угол числом
и т.д. Кроме построения графиков на зависимость температуры от времени суток и т.д., предлагаю строить график зависимости абсцисс (ординат) от положения точки на единичной окружности. Несколько характерных точек сразу наносим на график. Для ординат это: (0;0),
, (π;0) (
), (2π;0)
, (-π;0) (
), (-2π;0). Дополнительные точки «считываем» с окружности. Так, точка за точкой появляется аккуратная синусоида (рис. 2) Аналогично поступаем с абсциссами.
Рисунок 2
Познавательной деятельности учащихся можно придать большую привлекательность, если в работе использовать компьютер. Но при всём при этом надо помнить, что шестые классы в силу возраста по своей природе буферные. Перегрузка в этом возрасте особенно недопустима. Поэтому всё должно происходить осторожно, не в ущерб делу, в зависимости от подбора детей.
Предлагаемые фрагменты опыта работы могут служить одним из средств пропедевтического преподавания. При всей кажущейся нестрогости изложения описанные понятия появляются в продуманной последовательности. Их образы соответствуют определениям и складываются в системную картинку. Как показывает многолетний опыт работы, элементы пропедевтического курса тригонометрии, ранний подход и такая организация изучения позволяют эту тему из разряда сложных сделать одной из самых любимых для учеников, усиливают прочность усвоения детьми учебного материала, повышают качество знаний школьников. Это подтверждают в частности результаты единого государственного экзамена по математике. В 2008 году при успеваемости 100 процентов качество знаний составило 84 процента.